精品解析：北京市延庆区2025-2026学年高二上学期期末数学试题

延庆区2025-2026学年高二（上）期末考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知点在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 过椭圆的中心作一条直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______． 12. 双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 13. 函数的值域为______． 14. 已知中，，，，则______，______． 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，是坐标原点.给出下列四个结论： ①的最大值为； ②的最大值为； ③若，则的面积为； ④斜率为1的直线不经过坐标原点，而且与椭圆相交于、两点，为线段的中点，那么直线和不能垂直. 其中，所有正确结论的序号为______． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）以，为直径的两个端点的圆； （3）圆心在直线上，且过和点． 17. 如图，已知点，，圆． （1）求过点的圆的切线方程； （2）设过点、的直线交圆于、两点，求线段的长； （3）求经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的取值范围； （3）求的最大值． 20. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于、（不重合）两点，坐标原点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在直线，使得线段的中点的横坐标为1，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）若点在以为直径的圆上，求直线的方程． 21. 已知集合，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为集合的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）已知是“好集合”，求出满足条件的所有“好数阵”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延庆区2025-2026学年高二（上）期末考试 数学 （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集，即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：A 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据复数的除法运算化简，再求虚部. 【详解】由题意可知，， 所以的虚部为2. 故选：D 3. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点坐标设抛物线方程，求出焦半径，即得抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，故可设其标准方程为，， 因，解得，故抛物线的标准方程是. 故选：C 4. 已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 5. 已知动点到的距离与到的距离相等，则的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定点的轨迹，再求直线方程. 【详解】由条件可知，点的轨迹是线段的垂直平分线， 线段的中点为，，所以所求直线的斜率为， 直线方程为，整理为. 故选：D 6. 已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，再结合充分，必要条件，即可判断. 【详解】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若双曲线的方程为，则它的离心率和渐近线的方程分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求，再求离心率和渐近线方程. 【详解】由双曲线方程可知，焦点在轴上，其中，，， 所以离心率，渐近线方程. 故选：D 8. 已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】代入焦半径公式求，再用坐标表示线段的中点到轴的距离，即可求解. 【详解】由抛物线方程可知，，设，， ，所以， 线段的中点到轴的距离为. 故选：C 9. 已知点在抛物线上，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式，结合的取值范围，即可求解. 【详解】设，， ， 当时，取得最小值2. 故选：A 10. 过椭圆的中心作一条直线交椭圆于、两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称性可得到，然后结合椭圆的定义可求得的周长的最小值. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，则根据椭圆的定义可得，. 因为直线过椭圆的中心，所以关于原点对称，那么有. 那么的周长为. 当为椭圆的短轴时，的周长取最小值， 此时的周长为. 故选：B. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据真数为正数，列式，即可求解. 【详解】令，整理为， 解得：或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 12. 双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点，则双曲线的实轴长为______，标准方程为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的焦点坐标设出双曲线的方程，然后结合双曲线经过的点坐标求出，进而可得到双曲线的实轴长和标准方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点坐标是，所以，设该双曲线的方程为. 由于双曲线经过点，所以， 又，两式联立得， 化简得，由于，所以解得. 所以，所以双曲线的实轴长为，标准方程为. 故答案为：①；②. 13. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数，分别求两段区间的值域，再求两段值域的并集. 【详解】在区间单调递减，在区间上的值域为， 函数在区间单调递增，在区间的值域为， 综上可知，函数的值域为. 故答案为： 14. 已知中，，，，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】代入正弦定理，即可求解. 【详解】由正弦定理可知，可知， 且，所以，所以， ，所以， ，. 故答案为：； 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，是坐标原点.给出下列四个结论： ①的最大值为； ②的最大值为； ③若，则的面积为； ④斜率为1的直线不经过坐标原点，而且与椭圆相交于、两点，为线段的中点，那么直线和不能垂直. 其中，所有正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据焦半径的最值，直接判断①②，再代入焦点三角形的面积公式判断③，再根据点差法判断④. 【详解】对于命题①的最大值为,故①正确； 对于命题②的最大值为，此时点为右顶点，的最大值为，此时点为左右顶点，所以当点为右顶点时，的最大值为，故②正确； 对于命题③设，又， 则，故③错误； 对于命题④设，， 则，两式相减得， 整理为， ，且，所以， 因为，，所以， 所以直线和不能垂直，故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 根据下列条件，求圆的标准方程． （1）圆心在，且过点； （2）以，为直径的两个端点的圆； （3）圆心在直线上，且过和点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 ，所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； 【小问3详解】 设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 17. 如图，已知点，，圆． （1）求过点的圆的切线方程； （2）设过点、的直线交圆于、两点，求线段的长； （3）求经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程． 【答案】（1）或. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点的斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离相等，列式求解； （2）首先求直线所在的直线方程，再代入弦长公式，即可求解； （3）首先确定所求弦所以直线与垂直，再代入点斜式求直线方程. 【小问1详解】 当过点，且斜率不存在时，直线与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为， 则圆心到切线的距离，解得：， 所以切线方程为，整理为， 综上可知过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 ，所以直线为，即， 圆心到直线的距离， 所以； 【小问3详解】 当点是弦的中点时，此时弦长最短，此时和所求弦所在直线垂直， ，所以所求直线的斜率为， 所以弦所在直线方程为，整理为， 所以弦长最短的直线方程为. 18. 如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点． （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出的坐标和平面法向量的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出与平面所成角的正弦值. （2）求出平面的一个法向量坐标，结合（1）中求出的平面的法向量的坐标，根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. （3）先求出的坐标，然后根据点到平面的距离公式求出结果即可. 【小问1详解】 如图，在棱长为2的正方体中， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 所以有，令，则，所以. 所以与平面所成角的正弦值为 . 【小问2详解】 由（1）可知，平面的法向量为. 而平面的一个法向量为， 所以二面角的余弦值为 . 【小问3详解】 因为，所以. 由（1）知平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 . 19. 已知椭圆的两个焦点分别是、，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于4，为坐标原点，直线与椭圆相交于、两点（不重合）． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的取值范围； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，根据，即可求解； （3）根据韦达定理求，再根据的取值求最大值. 【小问1详解】 由条件可知椭圆的焦点在轴，，，所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 联立，整理为， 若直线与椭圆有2个不同的交点，则， 解得：， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 设，， ，， ， 当时，最大，最大值为， 所以的最大值为. 20. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于、（不重合）两点，坐标原点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在直线，使得线段的中点的横坐标为1，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由； （3）若点在以为直径的圆上，求直线的方程． 【答案】（1） （2）不存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由和离心率，算出椭圆的标准方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理计算，最后验证. （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，韦达定理，向量表示原点在以为直径的圆上，最后计算. 【小问1详解】 依题意，设椭圆标准方程为；， 则，，，解得 ， 故椭圆的标准方程为 【小问2详解】 由图知，直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立，消元整理得， 由可得, 设，，由韦达定理，, 因线段的中点的横坐标为1，则， 解得，因,故不存在直线. 如图： 【小问3详解】 因点在以为直径的圆上，则，即（*）, 由（2）中韦达定理;,, 代入上式，可得, 代入（*）可得，解得 因此，直线的方程为；， 即，. 21. 已知集合，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为集合的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； （2）已知是“好集合”，求出满足条件的所有“好数阵”． 【答案】（1），， ， （2），，， 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值； （2）根据是“好集合”得到，，然后分类讨论逐一验证即可求解. 【小问1详解】 由“好数阵”的定义知，，， 则，，，，进一步得到，， 故，， ，. 【小问2详解】 当时，，由， 可得，又因为， 所以， 联立，解得，，因为， ①若，则由可得，由可得或或， 当，时，由可得，， 所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 当，时，由可得，， 所以或， 当时，，符合题意的“好数阵”为； 当时，，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 当，时，由可得，， 所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； ②若，则由可得，由可得或或， 当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 当，时，由可得，，所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 当，时，由可得，，所以，则，符合题意的“好数阵”为； ③若，则由可得，由可得或或， 当，时，由可得，， 所以，则，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 当，时，由可得，， 所以，则，符合题意的“好数阵”为； 当，时，由可得，， 所以或， 当时，，符合题意的“好数阵”为； 当时，，逐一验证得此时没有满足题意的“好数阵”； 若，则不合题意； 若，则不合题意； 综上所述，满足题意的“好数阵”有 ，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $