精品解析：山东省聊城第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（二）

2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（二） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】特殊值法代入计算判断B，C，D，再结合已知条件判断A. 【详解】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 2. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 3. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 4. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和的性质化简，可得，再结合解出，即可得解. 【详解】由等比数列的性质得，故， 得． 由，得，则，所以． 故选：C. 5. 已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出两点的坐标，再代入椭圆方程，再结合椭圆的离心率公式即可得解． 【详解】由椭圆的对称性可得， 因为为直角三角形 则， 则不妨设， 将点的坐标代入得：， 所以， 所以的离心率． 故选：B. 6. 设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由的关系，作差，确定为等差数列，即可求解； 【详解】由， 可得：， 则， 两式相减化简可得：， 所以为，公差为4的等差数列， 易得，， 所以当时，最小， 故选：A 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，，，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面夹角的正弦值为 D. 点C到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于B，由平面法向量求解即可；对于C，运用向量夹角余弦值公式计算即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】如图， 对于A，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故A错误； 对于B，由， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量， 因为（为实数），故B错误； 对于C， ， 则， 则直线CF与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D，， 点到平面的距离为，故D错误. 故选：C 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由外角平分线的性质可得到，然后利用三角形的面积公式把两三角形的面积用表示出来，求值域即可. 【详解】设，由已知得， 由外角平分线性质得， 所以，所以， 设，则， 所以的面积与的面积之比为 ， 因为，所以． 故选：C． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（     ） A. 设是两个随机事件，且，则 B. 若，则事件与事件相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 【答案】BD 【解析】 【分析】由互斥事件可判断A；由相互独立事件可判断B；由对立事件可判断C；由古典概率可判断D. 【详解】对于A，是两个随机事件，且， 当互斥时，则，故A错误； 对于B，若，则， ，所以事件与事件相互独立，故B正确； 对于C，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C错误； 对于D，从中任取2个不同的数，可能的情况有：， 取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：， 所以其概率为：，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系代入即可求解AC，根据递推关系可证明是首项为，公比为的等比数列，可得，即可利用分组求和法，结合等比求和公式求解判断BD. 【详解】当时，可得，又因为，所以，故A正确； 由，得， 所以，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，故C错误； 由B选项可得，所以， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 直线与抛物线相切 C. 已知点，则的周长最小值为 D. 若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，将方程化成标准方程得解；对B，将直线与抛物线方程联立，由判别式等于0，判断；对C，过点向准线作垂线，垂足为，结合抛物线定义可得当三点共线时，最小，此时的周长最小，得解；对D，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，即可得到，再由，得，即可求出，再由面积公式计算即可判断D. 【详解】对于A，由，得抛物线的标准方程为，所以焦点为，故A错误； 对于B，由，得，代入化简得，， 所以直线与抛物线相切，故B正确； 对于C，如图，，所以当最小时，的周长最小， 过点向准线作垂线，垂足为，则，当三点共线时，最小，最小值为5， 所以的周长的最小值为，故C正确； 对于D，由题直线的斜率一定存在，设直线， 代入，整理得，， 设，，则， 由，得，解得或，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【详解】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 13. 已知数列，满足，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件转化式子得出，进而求出数列的通项公式即得数列的通项公式，再求出数列的通项公式，进一步求出答案即可. 【详解】，，，， ， ，即：， 是以首项为，公差为的等差数列， ，， ， . 故答案为：. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，连接，求得，再设，求得，在直角中，由，得出方程，进而求得双曲线的离心率. 【详解】如图所示，设圆心为，直线与圆相切于点，连接， 又由双曲线的焦点，半径，则， 由，可得， 所以， 因为轴，且，设，则， 又因为，解得， 在直角中，可得， 因为，整理得，即，解得或， 又因为，所以，即双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； （2）利用对立事件的概率关系及相互独立事件概率乘法公式即可求出的值. 【小问1详解】 设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. 【小问2详解】 设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 16. 设正项数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，求证： 【答案】（1）； （2） ∴. 又，所以. 【解析】 【分析】（1）应用关系及已知递推关系得，结合等差数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及裂项相消法求，即可证. 【小问1详解】 当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用面面角的向量法，即可求解； （2）根据条件得，结合条件，利用线面角的向量法建立等量关系，即可求解. 【小问1详解】 因为平面平面，又平面平面，平面， 所以平面 因为平面，所以， 又四边形为直角梯形且， 则，故两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，设， 则，取，则，从而， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，则，又， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，从而， 假设存在满足题意，设与平面所成角为， 则， 化简得，解得或． 故存在或，使得与平面所成角的正弦值为. 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，，当时，单调递减，从而可得. 【小问1详解】 由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 解得； 【小问3详解】 若，对于恒成立， 即，对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时， ， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以， 故实数的取值范围为． 19. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）： 由题知，可设直线方程为，. 联立，得，且 ， 所以， 所以， 如图，，直线的方程为， 直线方程为， 联立两方程得， 所以，则点的纵坐标恒为4，即点在定直线上. （ii）1. 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，以及椭圆的概念，根据参数写出椭圆标准方程即可. （2）根据直线与椭圆的位置关系，以及韦达定理，判断点在定直线上；再根据向量的线性运算，写出点的坐标，进而求出代数式的表达式，再求出最值. 【小问1详解】 如图，由题意知，，可知，所以， 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则， 所以 的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）有，设，又，且， 则，则， ， 故当 时，的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（二） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 数列的一个通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在等比数列中，，且，则（ ） A. 36 B. 27 C. 18 D. 9 5. 已知椭圆，为坐标原点，直线与椭圆交于、两点，若为直角三角形，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，，，，则取最小值时的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，，，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 直线与平面夹角的正弦值为 D. 点C到平面的距离为 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（     ） A. 设是两个随机事件，且，则 B. 若，则事件与事件相互独立 C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件 D. 从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 10. 已知数列满足，，设的前项和为，下列结论中正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 11. 已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 直线与抛物线相切 C. 已知点，则的周长最小值为 D. 若，则的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，若、、共面，则_____. 13. 已知数列，满足，，，则______. 14. 已知双曲线的焦点为，若过且斜率为正的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于点，且轴，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. （1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 16. 设正项数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和，求证： 17. 如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，平面平面，．． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）若点在上，且．是否存在，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $