精品解析：上海市奉贤区2025-2026学年上学期 八年级数学期末卷（1月）

2025学年第一学期期末练习卷 八年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简和同类二次根式的概念，能与合并的二次根式必须是化为最简二次根式后被开方数为3，据此求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； C、与不是同类二次根式，故不能与合并，不符合题意； D、与是同类二次根式，故能与合并，符合题意； 故选：D． 2. 二次根式的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题. 【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根, B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根, C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根, D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根, 故选B. 【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键. 4. 下列线段、、中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理：若一个三角形的三边、、满足，则该三角形为直角三角形，对每个选项分别验证三边是否满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：A、，能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，能组成直角三角形； D、设，，，则，能组成直角三角形． 故选：B． 5. 为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并找到等量关系是解题关键． 由于提前10天完成，则原计划时间减去实际时间等于10天． 【详解】解：∵原计划每日安装台，实际每日安装台，总任务3600台， ∴原计划时间为天，实际时间为天， ∵ 提前10天完成， ∴． 故选：B． 6. 在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，据此可判断③；根据等边对等角和三角形外角的性质可判断②；根据直角三角形两锐角互余得到，则，据此可判断①；根据现有条件无法证明，则可判断④． 【详解】解：如图所示，∵在中，，是斜边上的中线， ∴，即，故③正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故①正确； 根据现有条件无法证明，故④错误； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 8. 二次根式有意义的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数必须大于或等于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 9. 若，则化简___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，核心知识点是二次根式的性质，以及绝对值的化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 已知，化简的结果是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，先根据判断绝对值和根号内表达式的正负，再进行化简计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：1． 11. 方程的根是___________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分母不为零． 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 12. 已知一元二次方程的根为，，写出一个满足条件的方程___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，当二次项系数为1时，设满足题意的方程为，根据根与系数的关系确定b、c的值即可得到答案． 【详解】解：当二次项系数为1时，设满足题意的方程为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴满足题意的方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 在实数范围内因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解：令， 解得：； ∴； 故答案为. 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 【答案】##42度 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再由垂线的定义得到，则同理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． 【答案】18 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际生活中的运用能力，是解题的关键． 由题意得，在直角三角形中，已知两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，进而可得这棵水杉折断之前的高度． 【详解】解：∵， ∴折断的部分长为（m）， ∴折断前高度为（m）． 故答案为：18． 16. 如图，中，，平分．若，，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查角平分线定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是关键． 作，垂足为，由三角形面积公式可得，，又根据角平分线定理可得，． 【详解】解：如图，作，垂足为，   ∵平分． 又∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：4． 17. 小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， 解得或， 故答案为：或． 18. 在中，，，，点在射线上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．当时，的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题结合旋转的性质考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是利用旋转的性质(，)，通过构造全等三角形来求解的长度．解题时需分两种情况讨论：点在线段上，或点在的延长线上． 【详解】解：分两种情况： ①如图，点在线段上，过点作，交的延长线于，此时． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中： ， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 在中，； ②如图，点在的延长线上，此时． 同理可得， ∴，． ∵，， ∴． 在中，． 综上，的长为或． 三、简答题（本大题共3题，每题6分，满分18分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先展开完全平方项，再对分式进行分母有理化，最后合并同类项完成计算． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 21. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是先将二次项系数化为，然后移项、配方，最后求解． 【详解】解：原方程为， 两边同除以得， 移项，得， 配方，两边加上，得， 即， 开平方，得， 解得； 所以原方程的根为：，． 四、解答题（本大题共5题，第22、23、24题每题7分，第25题9分，第27题10分，满分40分） 22. 已知方程的一个根是，求k的值及这个方程的另一个根． 【答案】，这个方程的另一个根为 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：设这个方程的另一个根为m，由题意得： ，， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 23. 公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用(“每每”问题)，先设出涨价金额，再分别表示出单个利润和对应的销售量，最后根据总利润为元列方程求解，并结合“让顾客得到实惠”的条件选择较小的涨价金额． 【详解】解：设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 24. 如图（）、（）、（）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点、、都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． （1）点是格点，在图（）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； （2）在图（）中，求作一点，使且；并作出的高； （3）如图（），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 【答案】（1）如图，，，，为所求； （2）如图，点，即为所求作； （3）如图，点即为所求作． 【解析】 【分析】（1）取点，，，，使，，连接，，，，，，，，则，，，为所求； （2）取点，，连接，，并延长交于点，使，点，即为所求作； （3）取点，使，连接，交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：， 如图，取点，，，，使，，连接，，，，，，，，则，，，为所求； 符合题意的点有个； 【小问2详解】 解：如图，取点，，连接，，并延长交于点，点，即为所求作； 理由：如图，取点，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：如图，取点，连接交于点，点即为所求作． 理由：如图，取点，， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 由图看出为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查网格作图．熟练掌握等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形角的性质和斜边上中线的性质，是解题的关键． 25. 如图，在中，，平分，于点，点在边上，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）若点、分别是、的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】（1） 证明：∵，平分，， ∴,, 在和中 ∴, ∴． （2） （3） 证明：如下图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）证明即可得到答案； （2）先证明得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； （3）延长至点，使得，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明；连接，证明，由全等三角形的性质可得，易得，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴, ∵， ∴, 在和中 ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵，由勾股定理得：, ∴, 由（1）得, ∴, 设，， 在中，, ∴， 解得：， ∴． 【小问3详解】 略 26. 综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【答案】（1）；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ， ， 即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键． （1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可； （2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可； （3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末练习卷 八年级数学试卷 （考试时间：100分钟满分：100分） 一、单项选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式的一个有理化因式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列线段、、中，不能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 为加快新能源汽车配套设施建设，某新能源公司原计划每日安装一定数量的充电桩．若实际每日比原计划多安装5台，则3600台充电桩的安装任务可提前10天完成．设原计划每日安装台充电桩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，是斜边上的中线，那么下列结论正确的有（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 的平方根是_______． 8. 二次根式有意义的条件是___________． 9. 若，则化简___________． 10. 已知，化简的结果是___________． 11. 方程的根是___________． 12. 已知一元二次方程的根为，，写出一个满足条件的方程___________． 13. 在实数范围内因式分解：___________ 14. 在中，，，垂足为，，那么的大小是___________． 15. 水杉是一种非常著名且独特的树种，被誉为植物界的“活化石”．如图，一棵水杉在离地5米（点）处折断，水杉的顶端（点）落在离水杉底端（点）12米处，则这棵水杉折断之前的高度为___________米． 16. 如图，中，，平分．若，，则___________． 17. 小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 18. 在中，，，，点在射线上，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、．当时，的长为___________． 三、简答题（本大题共3题，每题6分，满分18分） 19. 计算：． 20. 解不等式：． 21. 用配方法解方程：． 四、解答题（本大题共5题，第22、23、24题每题7分，第25题9分，第27题10分，满分40分） 22. 已知方程的一个根是，求k的值及这个方程的另一个根． 23. 公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 24. 如图（）、（）、（）是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边叫做格线．点、、都是格点，请仅用一根无刻度直尺作图在网格图中完成下列画图，画图结果用实线表示（不要求说明理由，需保留必要的作图痕迹，写出结论）． （1）点是格点，在图（）中作出一个以为腰的等腰，符合题意的点有___________个； （2）在图（）中，求作一点，使且；并作出的高； （3）如图（），边与格线交于点，则在边上作一点，使得． 25. 如图，在中，，平分，于点，点在边上，． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）若点、分别是、的中点，连接并延长交于点，求证：． 26. 综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $