上海市普陀区部分学校2025-2026学年高三上学期1月学业质量监测数学试卷

2025学年第一学期高三年级1月学业质量监测 数学学科 (时间120分钟，满分150分) 学生注意： 1。本试卷包括试题纸和答题纸两部分。 2。在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题。 3。可使用符合规定的计算器答题。 一.填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答 题纸的相应位置直接填写结果， 1.设集合A=1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=· 2.不等式2x-1k3的解集为 3.己知i是虚数单位，(+1)1-2)是纯虚数，则实数的值为 4.在(x+2)的展开式中x3的系数为 5.己知a、b为实数，且函数y=x2+r+1,x∈b,4]是偶函数，则a-b= 6.某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）为：9.6,9.9,9.2,9.4， 9.9,10.1,10.2,9.7,9.6,9.3,10.0,10.4,则这组数据的第25百分位数为 7设椭圆cX+31(>b>0)的左、石焦点分别为、乃)左顶点为A,者 C的心车为，则的值为】 3 AF 8.若圆锥PO的体积为 2W2π ，它的母线与底面所成的角的余弦值为二，则圆锥PO的表面积 为 高三数学第1页共5页 D 9.设1∈R,在如图所示的平行六面体ABCD-AB,CD中， B ∠44B=AAD=∠B4D-子A4=2,AB=AD=1,点M是技 CD的中点，AN=AD,若AM.CN=2,则2的值为 第9题图 a线号 =1的左、右焦点分别为E和E,若以点F,为焦 点的抛物线C2:y=2px(p>0)与C1在第一象限交于点P,且∠PE=二， 则C的离心率 4 为 11.2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段.在 飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次.己知“神舟十九 号？飞船船体实际长度为H,且在照片上飞船船体长度为h,比较两张照片，相对于照片中的同 一固定参照物飞船上升了.假设该记者连按拍照键间的反应时间为t,并忽略相机曝光时长， 若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 (用含有H、h、、t的 式子表示) 12.己知项数为10的数列{a}中任一项均为集合{x|1≤x≤10，x∈N乃中的元素，且相邻两项 满足an<an+1+3,n=1,2,,9.若{an}中任意两项都不相等，则满足条件的数列{a}有 个 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且 只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。 13.设4b∈R,则“a+b>0”是“a>0且b>0”的 A.充分非必要条件： B.必要非充分条件： C.充要条件： D.既非充分又非必要条件 高三数学第2页共5页 14.下列函数中，在区间(0，+∞)上是严格增函数且存在零点的是（) A.y=e B.y=vx+2 C.y=-logx D.y=(x-2)2 15.设a>0且a≠1，k、m、n都是正整数，数列{a,}的通项公式为 4n= (a-⑥n+210≤”≤m,记数列a}中前k项的最小值为么，由所有么的值所组成的 d-3 (n>m) 集合记为A,若集合A中仅有四个元素，则下列说法中错误的是 …( A.当1=3时，a的取值范围是(1,6) B.不存在a和m的值，使得aA C.当m=4时，a的取值范围是(3,6) D.存在a和m的值，使得a∈A 16.设数列{a}的前四项分别为4、4，、4、44，对于以下两个命题，说法正确的是()· ①存在等比数列{an}以及锐角a,使{sinc,cos,tan={a,a2,4}成立. ②对任意等差数列{a}以及锐角a,均不能使{sia,cosc,tan,cot}=-{a,a2,4,a,}成立. A.①是真命题，②是真命题 B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题 D.①是假命题，②是假命题 三.解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步 骤 17.(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分) 设函数fw)=x+4,xe(0,0)U(0,+). (1)求函数y=f(x)的单调区间： (2)求不等式f(x)<2x的解集. 高三数学第3页共5页 18。(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 如图所示，正三棱锥A-BCD的侧面是边长为2的正 三角形 (①)求正三棱锥A-BCD的体积V: (2)设E、F、G分别是线段AC、AD、BC的中 点 B D 求证：①CD/平面EFG; ②若平面EFG交BD于点H,则四边形 EFHG是正方形. 19.(本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分) 第七届中国国际进口博览会于2024年11月5日至10日在上海举办，某公司生产的A、B、 C三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下 表：（单位：个) 产品A 产品B 产品C 普通装 n 180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个. (1)求n的值： (2)用分层抽样的方法在C款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取2个产品， 求其中至少有一个精品装产品的概率： (3)对抽取到的B款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的B款产品的某种指标的总体方差. 高三数学第4页共5页 20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设a>0,m>0,耳、乃分别是双曲线r:二-严=1的左、右焦点，直线1：-m-2=0经 过点F,与T的右支交于A、B两点，点O是坐标原点 (1)若点M是T上的一点，M=2,求M的值： (2)设2、L∈R,点P在直线x=6上，若点O、A、P、B满足：OA=BP,OB=AP, 求点P的坐标： (3)设AO的延长线与T交于G点，若向量OA与OB满足：OA·OB≥17，求△GAB的面积 S的取值范围. 21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 设a∈R,Eg-)-f@x∈a-1a)U(a.a+-1).若函数=f满足r(>0恒成 x-a 立，则称函数y=f(x)具有性质P(a. (1)判断y=sinx是否具有性质P(O),并说明理由； (2)设f(x)=e*-x,若函数y=f(x)具有性质P(a,求实数a的取值范围： (3)设函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a∈R以及t∈(0,1)，都有 F(a-t)<F(a+t).若当x<0时，恒有f(x)<0.求证：函数y=f(x)对任意实数a均具有 性质P(a. 高三数学第5页共5页 高三数学试卷答案与评分标准 -、1.{3,5};2.(-1,2):3.-2;4.40 5.4 6.9.5 H 7.28.4π 9.3 10.√2+1 11. 12.13122 ht 二、13。B: 14。C: 15。C: 16。A. 由1 4 三、17。(1)y'=1- -0,解得x=2x=2. 4 可知原函数的驻点为x=-2,x=2, 列表如下： x (-0,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 (2,+0) f(x) + 0 0 + f(x) 极大值4 ↓ ↓ 极小值4 个 所以，该函数的严格单调增区间为(-0，一2)和(2，十0) 严格单调减区间为(-2,0)和(0,2) af)<2x,x-4>0, x2-4 >0,故x∈(-2,0)U(2,+0). 181)证明：设该四棱锥的高为h,则体积V-Se×h=}×3×4h=45 3 从而h=√ 等腰△PAB中，设边AB的中点为E,易知PE⊥AB 在Rt△PAE中，PA=3,AE=2,所以PE=√5 所以该四棱锥的高为h即为PE=√5 即PE⊥底面ABCD,又PE∈面PAB 所以面PAB⊥底面ABCD (2)因为AB//CD, 所以∠PCD即为异面直线PC和AB所成的角或其补角； 由(1)知平面PAB⊥底面ABCD,且平面PAB∩底面ABCD=AB 矩形ABCD中，CB⊥AB,所以CB⊥面PAB,从而CB⊥PB Rt△PBC中，PB=BC=3,所以PC=3√2 同理可得PD=3√2 △PCD中，PC=PD=3W2,CD=4 由余弦定理可得cos∠PCD=PC+CD-PD=18+16-18_V2 2PC.CD 2×3W2×43 所以异面直线PC和AB所成角的余弦值为V2 19.解：(1)根据题意，该工厂一天所生产的产品总数为+300+180+420+400+600=n+1900. 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 10030 +1900600’解得n=100: 则有 (2)设所抽取的样本中有p个精品装产品，则2=600 解得p=3, 51000 所以，容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 则至少有一个精品装产品的概率为 CC+C_6+3_9 C 1010 (3)根据题意，在B款产品30个数据的样本中，有21个精品装产品，9个普通装产品.其均 值为r 9x10+21x12=114, 30 -可+2-可 0[s-+(-+6ya+g-可 2---可+2-+20。- g+9。--21+20。-司] 92+90-1n0+21x18+202-140月-28=27 20.(1)由直线1：x-y-2=0经过右焦点F,得，点F,的坐标为(2,0)， 则a=√5， 由双曲线的定义得，ME引-M=2a=2V3，则MF=2+25 (2)设P(6,),A(x,),B(x2,y2), 由3=1 x2 得，(m2-3)y2+4y+1=0, x-y-2=0 4m 则片+43=-，4m-3 由于A、B两点在双曲线的右支，且m>0, 根据双曲线的性质可得， 1、V3 ,即0<m<V5, m 3 由OA=BP,OB=LAP得，四边形OAPB为平行四边形， 则OP=OA+OB,即(6，)=(x+x,y+2),即 x1+x2=6 y+y=t 3-m+4,即4m2 则+=m0y+为)+4=，m '3=m2,即m=1,则1=2， 则所求的点P的坐标为(6,2) (3)因为OAOB=xx2+yy2=(1+m2)yy2+20y+2)+4, 所以由(2)得， 04.0B=1+m 8m +4=11+3m m2-31m2- 3-1m2 11+3m2 由OAOB≥17得， ≥17， 3-m2 又由(2)得，0<m<√5，则√≤m<√5， 由双曲线的性质得，点A与点G关于原点O对称，则SA4B=2SAoB, 即S=2xpk-为小24-y=216m40㎡-)》 m2-3 即S 2W12m2+12 12(m2+1) m-3 V(m2-3)2 令h=m2+1,又V2≤m<V3,则h∈[3,4)， 12h 则S=2R-8h+16 4V5 h 6-8 令e网-h投则g侧=1片 当h∈[3,4)时，g(h<0,则函数g(=h +1在区间3,4)内为严格减函数。 h 即ge8, 25 则S∈[12，+w) 21.(1)记R()m-0-_s血tx∈（仁10U(O1)显然是偶函数 x-0 x 当x∈(0,1)时，sinx>0,故(x)>0, 所以E(x)>0对x∈(-1,0)U(0,1)恒成立，y=sinx具有性质P(O). (2)f'(x)=e*-1, 当x>0时f'(x)>0,y=f(x)严格增：当x<0时f'(x)<0,y=f(x)严格减 函数y=了具有性质P(a,故r)=f)-f@0对x∈a-La)U(a.a+l恒成立， x-a 若a≥1，则a-1≥0，函数y=f(x)在(a-1,+o)上严格增，F(x)>0恒成立， 此时函数y=f(x)具有性质P(a). 若a≤0，则两数=)在[a-1a上严格减.5(a司 f(a) <0, 2 故函数y=f(x)不具有性质P(a).若0<a<1,则函数y=f(x)在[a,a+1]上严格增，“F(x)>0对x∈ 综上，a的取值范围是 (3)对任意aeR及te(o,1,都有r(a-)<Ra+)a-f@fa+）-/@,即 -t 对任意t∈(0，)，x∈R都有f(x)-f(x-t)<f(x+t)-f(x)(*). 假设存在bR使得y=f(x)不具有性质P(b),则存在x。∈(b-1,b)U(b,b+1)使得 E(x)≤0 若x。∈(b-1,b),则b-∈(0,1)，f()≥f(b) 当f(xo)>f(b)时，则在(*)中取t=b-x。∈(0,1)，对任意n≥1，n∈N有 f(b-(n-1))-f(b-)<<f(b-)-f(b-2)<f(b)-f(x),于是 f(b)-f(b-)<n[f(b)-f(x)门，即f(b-)-f(b)>n[f(x)-f(b)] 2.-f⑥）云}时，b-t<0,fb-m)<0,故有 而当n>mx{f(x,)-fb f(b-)-f(b)<-f(b)<n[f(x)-f(b)],矛盾. 当，)=o时，记=5，则x=6-0,由知 f)-1)f⑥)-f),得)f)<F)-f,]+[U)-】-0. 2 故f(x)>f(x),x-x∈(0,1)： 与当f(x)>f(b)时同理，可得矛盾， 若x。∈(b,b+1),则x。-b∈(0,1)，f(b)≥f(x。),与x。∈(b-1,b)时同理，可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数y=f(x)对任意实数a均具有性质P(a)