第10课时： 平面直角坐标系及函数相关概念 2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第10课时 平面直角坐标系及函数相关概念 一、核心知识 （一）平面直角坐标系基础 构成：由两条互相______垂直______且有公共原点的数轴组成，水平数轴叫______x 轴（横轴） ，竖直数轴叫______y 轴（纵轴） ，交点为原点 O (0,0)。 象限划分：x 轴与 y 轴将平面分为四个象限，各象限点的坐标符号： 第一象限 （+，+） ； 第二象限 （-，+） ； 第三象限 （-，-） ； 第四象限 （+，-） ； 坐标轴上的点（x 轴或 y 轴）______不属于______任何象限。 点的坐标特征： 点 P (x,y) 到 x 轴的距离是______|y| ，到 y 轴的距离 是 |x|______； x 轴上的点： y=0 ；y 轴上的点： x=0 ；原点： x=0 且 y=0 。 对称点坐标规律（点 P (x,y)）： 关于 x 轴对称： （x，-y） ； 关于 y 轴对称： （-x，y） ； 关于原点对称： （-x，-y） 。 点的平移规律（“右加左减、上加下减”）： 向右平移 a 个单位： （x+a，y） ； 向左平移 a 个单位： （x-a，y） ； 向上平移 b 个单位： （x，y+b） ； 向下平移 b 个单位： （x，y-b） 。 （二）函数相关概念 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个______确定______的值，y 都有______唯一______确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数，x 是自变量。 自变量取值范围： 整式函数（如 y=2x+1）：取值范围是______全体实数______； 分式函数（如 y=）：取值范围是______x≠2______； 二次根式函数（如 y=）：取值范围是______x≥-3_____； 实际问题（如人数、长度）：需符合______实际意义______（如正整数、正数）。 函数的三种表示方法： 解析法(等式形式） 、 列表法（表格形式） 、 图象法（坐标系中的曲线） 。 函数图象：由函数自变量 x 的取值范围内所有点（x,y）组成的图形，画图象的步骤： 列表→描点→连线 。 二、核心能力 （一）平面直角坐标系相关题型 题型1.点的坐标与象限判断 解题思路 根据象限符号特征，结合点的坐标正负判断所在象限；利用点到坐标轴的距离公式求坐标或参数，注意距离为非负数。 题型2.对称与平移问题： 解题思路 牢记对称点坐标规律和平移法则，先确定原点点坐标，再按要求变形，复杂问题可结合数轴辅助分析。 题型3.坐标与几何图形结合 解题思路 根据图形性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理），结合坐标计算边长、面积，或求未知点坐标。 （二）函数概念与图象题型 题型4.函数定义判断 解题思路 紧扣 “一个 x 对应唯一 y”，排除 “一对多” 的情况，注意含参数的函数需验证对应关系。 题型5.自变量取值范围求解 解题思路 分类型（整式、分式、二次根式）套用取值规则，实际问题需额外添加符合题意的限制条件（如 x>0）。 题型6.函数图象识别与分析 解题思路 根据函数表达式特征（如一次函数斜率、常数项）判断图象形状；结合实际问题中变量的变化趋势（如递增、递减）匹配图象。 三、易错警示 （一）高频易错点警示 象限符号混淆 错误：认为点 (-3,2) 在第三象限（实际在第二象限）； 提醒：象限符号先 x 后 y，牢记 “左负右正、上正下负”，可画图辅助记忆。 对称点坐标错误 错误：点 (2,-5) 关于 x 轴对称的点写成 (-2,-5)（正确为 (2,5)）； 提醒：关于 x 轴对称 “x 不变，y 变号”，关于 y 轴对称 “y 不变，x 变号”，关于原点对称 “x、y 都变号”。 自变量取值范围遗漏 错误：函数 y= 的自变量取值范围仅写 x≥1（遗漏 x≠2）； 提醒：同时含二次根式和分式时，需满足 “被开方数≥0” 且 “分母≠0”，多个条件同时成立。 平移规律应用错误 错误：点 (1,3) 向左平移 2 个单位得 (3,3)（正确为 (-1,3)）； 提醒：“左减右加” 针对 x 坐标，“上加下减” 针对 y 坐标，方向不要混淆。 函数图象理解偏差 错误：认为 y=kx+b（k>0）的图象是递减的（实际递增）； 提醒：一次函数斜率 k>0 时图象从左到右递增，k<0 时递减，常数项 b 决定与 y 轴交点。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·福建模拟）下列选项中，不是函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了函数，根据函数的定义：自变量每取一个值，都有唯一确定的值与之对应，则叫的函数，据此即可得判断求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【解答】解：、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，有两个值和它对应， 不是函数，该选项符合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 、自变量每取一个值，都有唯一确定的值和它对应， 是函数，该选项不合题意； 故选：． 2.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【解答】解：，，， 点在第二象限； 故选． 3.（25-26·湖南月考）若点，在第二象限，那么的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组．在第二象限，可得，即可解得答案． 【解答】解：点在第二象限， ， 解得：； 故选： 4.（24-25·陕西模拟）若点在一次函数的图象上，则点到轴的距离等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查点到坐标轴的距离，已知自变量值求函数值等．根据题意先得出，后即可得到本题答案． 【解答】解：点在一次函数的图象上， ， ， 点到轴的距离等于， 故选：． 5. （24-25·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【解答】解：正方形的边长为，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋 转．得到正方形． ，在轴上，， ， ，， ， 故选： 6.（25-26·全国期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求解即可． 【解答】解：点 关于轴对称点的坐标是， 故选：． 7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了一次函数的性质．要求解的取值范围，关键是确定对称点的临界点的坐标，从而根据点求出直线，进而确定的取值范围． 【解答】解：如图，过点作轴的平行线，分别交，于点，， ，直线， 点落在内，由对称的性质可知点在直线上， ， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时， 直线， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时，直线， ． 8. （25-26·甘肃期中）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A.点 B.点 C.点 D.点 【答案】D 【解析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 【解答】解：由图可知，点在第四象限； 故选． 9.（25-26·全国期中）在直角坐标系中，点与点关于轴对称，则将点平移到点的过程可以是（    ） A.向上平移个单位 B.向下平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【答案】B 【解析】本题主要考查直角坐标系的坐标变换，根据关于轴的对称点坐标为 ，然后根据平移的特点即可解答． 【解答】解：点与点关于轴对称， ， 将点平移到点的过程可以是向下平移个单位． 故选：． 10.（25-26·甘肃期中）若点与点关于轴对称，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于轴对称的点的坐标 规律：关于轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数． 利用关于轴对称的点的坐标规律可知：与互为相反数，等于，即可求得的值． 【解答】 点与点关于轴对称． ，． ． 故选：． 11.（24-25·陕西模拟）已知抛物线，抛物线与关于轴对称，两抛物线的顶点相距，则的值为（    ） A. B.或 C. D.或 【答案】D 【解析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据题意分别表示出抛物线与的顶点坐标是解题的关键．根据题意分别表示出抛物线与的顶点坐标，再结合两抛物线的顶点相距建立关于的方程进行计算即可． 【解答】解：由题知，， 所以抛物线的顶点坐标为 因为抛物线与关于轴对称， 所以抛物线的顶点坐标为 因为两抛物线的顶点相距， 所以或， 解得或 故选：． 12.（24-25·山西中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【解答】解：， 与成正比例，即是的正比例函数， ， 故选：． 13.（25-26·全国同步）对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为次．利用周期性规律，确定第次运算后的结果． 【解答】解：初始点：（第次运算）． 第次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得 到点． 第次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得 到点． 第次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点， 与初始点相同， 即三次一循环， ， 第次运算后对应点与第次运算后的点相同，即． 故选：．  14.（24-25·广西中考）生态学家通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“”形曲线．下列说法正确的是（   ） A.第天的种群数量为个 B.前天种群数量持续增长 C.第天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同 【答案】B 【解析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【解答】解： 第天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合 题意； 前天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； 第天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：．  15.（25-26·辽宁模拟）如图，在 中，，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点、．直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，到达点时停止运动；同时，直线从点出发，沿方向以相同的速度向点运动，到达点时停止运动．若运动过程中直线、及围成的多边形的面积是 ，直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查的是动点图象问题，涉及到解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．分别求出当和时的与之间函数关系式即可判断． 【解答】解：中，，过点 向作垂线， ， ， ， 同理 ，， ， 在中，运用勾股定理得， ，， 由得：， 当时，， 由，得：，， ， ； 当时， ． ，根据函数解析式判断选项符合题意， 故选：． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，满足，则点在第________四________象限． 【答案】四 【解析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点所在的象限即可． 【解答】解：， ， ， 点的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 17.（25-26·全国同步）如图，点与点关于直线对称，则_____−5_______． 【答案】 【解析】根据点与点关于直线对称求得，的值，最后代入求解即可． 【解答】解：点与点关于直线对称 ，,解得 故答案为−5  18.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为________________． 【答案】 【解析】本题考查含度角的直角三角形，一次函数与几何的综合应用，矩形的判定和性质，两点间的距离，以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，利用含度角的直角三角形的性质，求出点的坐标，得到点在直线上运动，求出点分别与重合时，点的坐标，利用两点间的距离公式进行求解即可． 【解答】解：以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则， 则：， ， ， ， ， ， ， 过点作，则：， ， ，，， 四边形为矩形， ， ， 为的中点， ， 令， 则：， 点在直线上运动， 当点与重合时，，此时， 当点与重合时，，此时， 点所经过的路径长为； 故答案为：． 19.（24-25·江西模拟）已知二次函数关于轴对称的图象经过点，则的值为________2____________． 【答案】 【解析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【解答】二次函数关于轴对称的的图象经过点， 二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2 20.（25-26·湖南模拟）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是___________． 【答案】 【解析】本题考查了点坐标与轴对称、点坐标与平移，熟练掌握轴对称变换和平移变换规律是解题关键．先根据点坐标与轴对称变换规律可得点的坐标为，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【解答】解：在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点， ， 将点向右平移个单位长度得到点， ，即， 故答案为：． 21.（23-24·山西中考）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为____________． 【答案】 【解析】本题主要考查了求函数值，正确理解题意是解题的关键．直接把代入到中确定，再代入进行求解即可． 【解答】解：， ， 解得：， 故答案为：． 22.（24-25·新疆模拟）函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】此题暂无解析 【解答】解：在实数范围内有意义， ， ， 故答案为． 23.（24-25·湖南中考）甲、乙两人在一次米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填_____甲_______（“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【解析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【解答】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， 甲先到达终点， 故答案为：甲． 24.（25-26·贵州月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则 的最小值为_____5______ 【答案】 【解析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先取点关于直线的对称点，连交直线于点，连接，，得到， ，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时， 的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【解答】解：如图，取点关于直线的对称点，连交直线于点，连接， ， ，， ， 当三点共线时，的最小值为， 轴， 轴， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： ． 25.（23-24·四川中考）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为       ． 【答案】 【解析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，． 【解答】解：直线与轴负半轴交于点，点坐标为， ， 过，，作轴交轴于点轴交于点，交轴于点，    为等边三角形， ， ， ， ， 当时，，解得， ，， ， ， ， 当时，，解得， ； 而， 同理可得的横坐标为， 点的横坐标为． （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   26.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 【答案】作图见解答， 作图见解答， 【解析】（1）根据题意画出即可；关于轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变； （2）根据网格结构找出点、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）先求出，再由旋转角等于，利用弧长公式即可求出． 【解答】（1）解：如图，为所求；点的坐标为， （2）如图，为所求；， （3）， 点旋转到点的过程中所经过的路径长． 27.（2012·黑龙江中考）在直角坐标系中，，，″，，，． （1） 结合坐标系用坐标填空．(2, 2) 点与关于点___(−1, 3)_____对称； 点与″关于点___(2, 2)_____对称；点与关于点 ____(−1, 2)____对称； （2）设点关于点的对称点是点，若的面积等于，求值． 【答案】,, 或或． 【解析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可； （2）先求出点的坐标，再根据的大小分类讨论．当时，根据求得；当当时，根据求得；当时，求得． 【解答】（1）解：由图可知，点与关于点对称； 点与″关于点 对称；点与关于点对称； （2） 点关于点的对称点，过作轴垂线交轴于点， 如图，当时，则， ， 解得，． 如图，当时，， ， 解得（舍），（舍）， 如图，当时，， ， 解得或（舍）． 综合可得，的值为或或．  28.（25-26·山东复习）如图，在中，、、． （1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； （2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是__ ___； （3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 【答案】 是， 【解析】（1）根据轴对称的性质和关于轴对称的点的坐标即可求出点的坐标； （2）利用网格将图形逆时针绕点逆时针旋转即可得到点的坐标； （3）连接与对应点的线段，线段的垂直平分线即为对称轴解析式． 【解答】（1）解：由图可知，点的对称点的坐标是， 故答案为：； （2）解：由图可知，点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3） 解：由图可知，对称轴经过点和点 假设对称轴的解析式为 将两个点的坐标代入解析式得： 解得 对称轴的解析式为： 故答案为：． 29.（24-25·广西中考）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】 叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【解析】（1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【解答】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2） 原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．  30.（25-26·江苏模拟）在同一平面直角坐标系中，关于轴对称的两点，分别在一次函数＝与的图象上，求点的坐标． 【答案】 【解析】根据平面直角坐标系内直线上点的特征，可设，设，再利用关于轴对称的点的特征即可求解． 【解答】解：点在一次函数的图象上，设，点在一次函数 的图象上，设， ， 解得， ．  31.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是___300__，的值是___2____； （2）在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距． 【答案】， 或或 【解析】（1）根据货车的图象得到、两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【解答】（1）解：由图象可知，、两地的距离为，、两地的距离为， ， 轿车的速度为：， 轿车从开往地所需的时间为：， ； 故答案为：，； （2）轿车比货车晚到达终点， 货车到达地所用时间为：， ， 货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地， ， 设， ，解得：， ； （3） 由可知，货车的速度为：， 当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距．  32.（25-26·广东月考）平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，， （1）若与关于轴对称，作出，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】画图见解答， 【解析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】（1）解：如图所示：即为所求， 其中，； （2）． 33.（25-26·河南期中）平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 【答案】作图见解答 【解析】（1）利用旋转变换的性质分别找到点的对应点即可； 由中的作图写出坐标即可； 利用网格求三角形面积即可； 本题考查了旋转作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握旋转的性质是解题的关键． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可得，点的坐标为； （3）解：． 34.（25-26·广东月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标，_______； （2）的面积为_____5______； （3）在轴上画点，使最小． 【答案】作图见解答， 见解答 【解析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． 【解答】（1）解：如图所示：即为所求， ， 故答案为：， （2） 的面积为： ； 故答案为：； （3） 如图所示：点即为所求．   35.（24-25·北京中考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日可取，，或的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐 减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为___6____时，的值首次超过； （2）写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第____7___日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这日中应安排小腾先进行___1____日的模拟练习． 【答案】 ；画图见解析 ①；② 【解析】（1）找图象上的值首次超过时的值； （2）根据第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第日比第日多试制个合格产品，可知第日比第日多个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于个合格品的只有与， 时，得；，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【解答】（1）解：由曲线看出，当整数的值为时，的值首次超过 故答案为： （2） 解：日的模拟练习时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前 一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第日单日制成的合格品 个，第日单日制成的合格品个 相差（个）， 把分成两个接近的数，， 第日增加个，第日增加个， ， 画出时的曲线： （3） 解：①单日制成不少于个合格品的只有与， 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ； 日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ， ， 故小云最早在完成理论学习后的第日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：； ②当模拟练习日时， 日内的试制时间日， 日的合格产品分别是，，，， 合格产品共有； 当模拟练习日时， 日内的试制时间日， 日的合格产品分别是，，， 合格产品共有； 当模拟练习日时， 日内的试制时间日， 日的合格产品分别是，， 合格产品共有； 当模拟练习日时， 日内的试制时间日， 日的合格产品是； ， 希望小腾在完成理论学习后的日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这日中应安排小腾先进行日的模拟练习． 故答案为： 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 +易错警示 + 真题演练） 第10课时 平面直角坐标系及函数相关概念 一、核心知识 （一）平面直角坐标系基础 构成：由两条互相____________且有公共原点的数轴组成，水平数轴叫______ ，竖直数轴叫______ ，交点为原点 O (0,0)。 象限划分：x 轴与 y 轴将平面分为四个象限，各象限点的坐标符号： 第一象限 ； 第二象限 ； 第三象限 ； 第四象限 ； 坐标轴上的点（x 轴或 y 轴）____________任何象限。 点的坐标特征： 点 P (x,y) 到 x 轴的距离是______ ，到 y 轴的距离 是 ____； x 轴上的点： ；y 轴上的点： ；原点： 。 对称点坐标规律（点 P (x,y)）： 关于 x 轴对称： ； 关于 y 轴对称： ； 关于原点对称： 。 点的平移规律（“右加左减、上加下减”）： 向右平移 a 个单位： ； 向左平移 a 个单位： ； 向上平移 b 个单位： ； 向下平移 b 个单位： 。 （二）函数相关概念 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个____________的值，y 都有___________确定的值与之对应，则 y 是 x 的函数，x 是自变量。 自变量取值范围： 整式函数（如 y=2x+1）：取值范围是___________； 分式函数（如 y=）：取值范围是____________； 二次根式函数（如 y=）：取值范围是___________； 实际问题（如人数、长度）：需符合___________（如正整数、正数）。 函数的三种表示方法： 、 、 。 函数图象：由函数自变量 x 的取值范围内所有点（x,y）组成的图形，画图象的步骤： 。 二、核心能力 （一）平面直角坐标系相关题型 题型1.点的坐标与象限判断 解题思路 根据象限符号特征，结合点的坐标正负判断所在象限；利用点到坐标轴的距离公式求坐标或参数，注意距离为非负数。 题型2.对称与平移问题： 解题思路 牢记对称点坐标规律和平移法则，先确定原点点坐标，再按要求变形，复杂问题可结合数轴辅助分析。 题型3.坐标与几何图形结合 解题思路 根据图形性质（如矩形对边相等、直角三角形勾股定理），结合坐标计算边长、面积，或求未知点坐标。 （二）函数概念与图象题型 题型4.函数定义判断 解题思路 紧扣 “一个 x 对应唯一 y”，排除 “一对多” 的情况，注意含参数的函数需验证对应关系。 题型5.自变量取值范围求解 解题思路 分类型（整式、分式、二次根式）套用取值规则，实际问题需额外添加符合题意的限制条件（如 x>0）。 题型6.函数图象识别与分析 解题思路 根据函数表达式特征（如一次函数斜率、常数项）判断图象形状；结合实际问题中变量的变化趋势（如递增、递减）匹配图象。 三、易错警示 象限符号混淆 错误：认为点 (-3,2) 在第三象限（实际在第二象限）； 提醒：象限符号先 x 后 y，牢记 “左负右正、上正下负”，可画图辅助记忆。 对称点坐标错误 错误：点 (2,-5) 关于 x 轴对称的点写成 (-2,-5)（正确为 (2,5)）； 提醒：关于 x 轴对称 “x 不变，y 变号”，关于 y 轴对称 “y 不变，x 变号”，关于原点对称 “x、y 都变号”。 自变量取值范围遗漏 错误：函数 y= 的自变量取值范围仅写 x≥1（遗漏 x≠2）； 提醒：同时含二次根式和分式时，需满足 “被开方数≥0” 且 “分母≠0”，多个条件同时成立。 平移规律应用错误 错误：点 (1,3) 向左平移 2 个单位得 (3,3)（正确为 (-1,3)）； 提醒：“左减右加” 针对 x 坐标，“上加下减” 针对 y 坐标，方向不要混淆。 函数图象理解偏差 错误：认为 y=kx+b（k>0）的图象是递减的（实际递增）； 提醒：一次函数斜率 k>0 时图象从左到右递增，k<0 时递减，常数项 b 决定与 y 轴交点。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·福建模拟）下列选项中，不是函数的是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（25-26·湖南月考）若点，在第二象限，那么的取值范围是（    ） A. B. C. D. 4.（24-25·陕西模拟）若点在一次函数的图象上，则点到轴的距离等于（   ） A. B. C. D. 5. （24-25·四川中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 6.（25-26·全国期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（    ） A. B. C. D. 7.（25-26·全国同步）如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. （25-26·甘肃期中）如图，在平面直角坐标系中有，，，四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A.点 B.点 C.点 D.点 9.（25-26·全国期中）在直角坐标系中，点与点关于轴对称，则将点平移到点的过程可以是（    ） A.向上平移个单位 B.向下平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 10.（25-26·甘肃期中）若点与点关于轴对称，则（   ） A. B. C. D. 11.（24-25·陕西模拟）已知抛物线，抛物线与关于轴对称，两抛物线的顶点相距，则的值为（    ） A. B.或 C. D.或 12.（24-25·山西中考）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 13.（25-26·全国同步）对于正整数，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A. B. C. D. 14. （24-25·广西中考）生态学家通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“”形曲线．下列说法正确的是（   ） A.第天的种群数量为个 B.前天种群数量持续增长 C.第天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同  15.（25-26·辽宁模拟）如图，在 中，，，，过点 向作垂线，垂足为．直线垂直于，直线分别与相交于点，直线分别与相交于点、．直线从点出发，沿方向以的速度向点运动，到达点时停止运动；同时，直线从点出发，沿方向以相同的速度向点运动，到达点时停止运动．若运动过程中直线、及围成的多边形的面积是 ，直线的运动时间是，则与之间函数关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（24-25·四川中考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，满足，则点在第______________象限． 17. （25-26·全国同步）如图，点与点关于直线对称，则___________． 18.（24-25·四川模拟）如图，在中，，，．点在边上，过点作，垂足为，过点作，垂足为．连接，取的中点．在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长为_______________． 19.（24-25·江西模拟）已知二次函数关于轴对称的图象经过点，则的值为_________________． 20.（25-26·湖南模拟）在平面直角坐标系中，作点关于轴的对称点，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标是___________． 21.（23-24·山西中考）国际上常用的温标有华氏温标、摄氏温标和热力学温标．已知华氏温标与摄氏温标之间的函数关系为，热力学温标与摄氏温标之间的函数关系为．当热力学温度时，所对应的华氏温度为____________． 22.（24-25·新疆模拟）函数中，自变量的取值范围是__________． 23.（24-25·湖南中考）甲、乙两人在一次米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填___________（“甲”或“乙”）先到终点： 24.（25-26·贵州月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则 的最小值为_________ 25.（23-24·四川中考）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为       ． （三）解答题 演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   26.（23-24·黑龙江中考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留） 27.（2012·黑龙江中考）在直角坐标系中，，，″，，，． （1） 结合坐标系用坐标填空．(2, 2) 点与关于点_______对称； 点与″关于点________对称；点与关于点 _______对称； （2）设点关于点的对称点是点，若的面积等于，求值．  28.（25-26·山东复习）如图，在中，、、． （1）是关于轴的对称图形，则点的对称点的坐标是_____； （2）将绕点逆时针旋转得到，则点的对应点的坐标是_____； （3）与是否关于某条直线成轴对称？若成轴对称，写出对称轴解析式_____． 29.（24-25·广西中考）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． （1）写出两点的坐标； （2）求叶瓣①的周长；（结果保留） （3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．  30.（25-26·江苏模拟）在同一平面直角坐标系中，关于轴对称的两点，分别在一次函数＝与的图象上，求点的坐标． 31.（24-25·黑龙江中考）一条公路上依次有、、三地，一辆轿车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆货车从地出发，送货到达地后立即原路原速返回地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离（单位：）与轿车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中的值是_____，的值是_____； （2）在货车从地返回地的过程中，求货车距出发地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距． 32.（25-26·广东月考）平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，， （1）若与关于轴对称，作出，并写出的坐标； （2）求的面积． 33.（25-26·河南期中）平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 34.（25-26·广东月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示． （1）作出关于轴对称的，并写出点的坐标，______； （2）的面积为___________； （3）在轴上画点，使最小． 35.（24-25·北京中考）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期日可取，，或的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第日单日制成的合格品的个数为，根据以往的培训经验，对于给定的，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下： 时的值 时的值 时，从试制阶段的第日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐 减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． （1）观察曲线，当整数的值为_______时，的值首次超过； （2）写出表中的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； （3）新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 第 1 页 共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $