精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高一上学期期末质量调查数学试卷

天津一中2025－2026－1高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2－3页.考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义及诱导公式可得结果. 【详解】由角的终边与单位圆的交点为，所以. 再由诱导公式得. 故选：A 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的规则，先求出图象向右平移后的解析式，再求周期变换后的解析式． 【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 5. 若，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得，结合正弦的二倍角公式可得，根据对数函数的单调性可得，从而可得答案. 【详解】由于函数在R上单调递减，且，故， ， 由于函数在上单调递增，且， 故， 故. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D 9. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 10. 对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义计算，结合两角和与差的余弦公式展开化简可得． 【详解】由题意 ． 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 12. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为， 中间等边的面积为， 所以莱洛三角形的面积是，周长为， 故面积与周长之比为． 故答案为： 13. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系和诱导公式求解. 【详解】由，得， 又，则， 有， 则. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数在上单调递减可得 ，且二次函数在 上单调递减，所以，且，从而可得答案． 【详解】由题分段函数在上单调递减可得 又因为二次函数图像开口向上，所以，解得 且， 将代入可得，解得 所以的取值范围是 【点睛】本题考查分段函数的单调性，解题的关键是明确且属于一般题． 15. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式对原函数进行化简，根据函数有两个零点列不等式即可求出答案. 【详解】由题意可得， 令，解得， 因为，所以， 因为在上恰有两个零点，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16. 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题等价于函数与的图象有4个公共点，再画出函数与的图象，数形结合分别求出4个临界位置可得. 【详解】方程恰有4个根等价于函数与的图象有4个公共点， 画出函数与的图象， 分别求出4个临界位置，分别为与相切､经过和， 求得直线方程为+6， 所以. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图像，得到，，求得，再由，列出方程，求得，即可求解； （2）由（1）知，根据正弦型函数的性质，即可求解； （3）由，可得，根据，求得和，结合，利用两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图像，可得，且， 所以，则，所以， 当时，可得，即， 可得，所以， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，解得， 所以函数单调递增区间为. 【小问3详解】 因为，可得， 又由，可得，即， 则， 所以 . 18. 已知． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； （3）若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为 （2），此时；，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换将原式转化为，再求周期即可； （2）利用正弦函数的性质可求得最值及此时的值； （3）利用数形结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以，即， 所以，此时，解得； ，此时，解得； 【小问3详解】 由函数在区间上恰有一个实根， 可得和在区间上恰有一个交点， 画出函数在区间上的图像如图所示： 根据与有唯一公共点，可得或， 所以实数的取值范围为． 19. 已知函数. （1）求f(x)的定义域与最小正周期; （2）设，若，求α的大小. 【答案】（1）x∈Rx≠,k∈Z, （2）α= 【解析】 【分析】(1)根据正切函数性质求定义域与最小正周期； (2)根据两角和正切公式以及二倍角余弦公式化简等式为sin 2α=，再根据角范围求结果. 【小问1详解】 由2x++kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z, 所以f(x)定义域为x∈Rx≠，k∈Z. f(x)的最小正周期. 【小问2详解】 由=2cos 2α，得tan=2cos 2α, 即， 整理得. 因为α∈,所以sin α+cos α≠0. 因此(cos α-sin α)2=,即sin 2α=. 由α∈，得2α∈，所以2α=，即α=. 20. 已知函数在上为奇函数，，． （1）求实数的值； （2）求在上的值域； （3）已知，若对任意，任意不等式 都成立，求正数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得出恒成立，即可求解； （2）由（1）化简函数，结合复合函数的单调性的判定方法，得到在上的减函数，求得的最小值与最大值，即可得到函数的值域； （3）根据单调性和奇偶性，转化为，得到，利用基本不等式求得，令，利用函数的性质，得出，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为函数在上为奇函数， 所以， 所以恒成立， 因为，可得. 【小问2详解】 解：由（1）知， 设，可得函数为上的减函数， 因为，函数为单调递增函数， 根据复合函数的单调性，可得函数为上的减函数，所以为上的减函数， 则，， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 解：由不等式， 即， 因为为奇函数，所以， 所以， 又因为函数为上的减函数， 所以， 因为，即，即， 又因， 当且仅当时，即时，等号成立，所以 因，令， 则，即，所以， 因为在上为增函数，所以， 则，即，所以， 因为，所以，解得， 所以正数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025－2026－1高一年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟. 第Ⅰ卷为第1页，第Ⅱ卷为第2－3页.考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数在区间的图象大致为（ ） A B. C. D. 4. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A B. C. D. 5. 若，，，则（     ） A B. C D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（ ） A. B. C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题：（每小题4分，共24分） 11. 已知且，则______． 12. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为_____________． 13. 已知，，则的值为______． 14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是_________. 15. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是______. 16. 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 三、解答题：（本大题共4小题共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知函数的图象如图所示． （1）求解析式； （2）求函数的单调递增区间； （3）若，，求的值． 18. 已知． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值与最小值并求出取得最大值与最小值时的值； （3）若函数在区间上恰有一个实根，求实数的取值范围． 19. 已知函数. （1）求f(x)的定义域与最小正周期; （2）设，若，求α的大小. 20. 已知函数在上为奇函数，，． （1）求实数的值； （2）求在上的值域； （3）已知，若对任意，任意不等式 都成立，求正数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $