精品解析：云南省石屏县第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式的性质求函数的定义域和值域，再应用集合的交运算求集合. 【详解】由，， 所以. 故选：D. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解. 【详解】由，可得，， 则， 故选：B 3. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再求得导函数在处的函数值. 【详解】因为，则， 所以， 故选：A. 4. 已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体法，结合正弦函数的性质，结合极值点的定义即可求解. 【详解】令，， 所以，解得，即a的最大值为. 故选：A． 5. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【详解】， ， 故选：C. 6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7. 已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到，根据勾股定理得到，计算得到答案. 【详解】为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点 故，故 ，故即 故选： 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 8. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 【答案】C 【解析】 【分析】根据青年人的占比和青年人中选择自助游人数的占比可得答案. 【详解】设2024年到该地旅游的游客总人数为，则游客中青年人的人数为， 其中选择自助游的青年人的人数为， 所以估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 当在上单调递增时， B. 当时，为曲线的切线 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，的极大值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合，即可判断A，根据导数的几何意义，判断B，根据的值，判断C，求函数的极大值点，即可判断D. 【详解】A. 若在上单调递增时，则，故A错误； B. 当时，，，得，此时， 那么曲线在处的切线方程为，故B正确； C.，所以曲线的对称中心为，故C正确； D. ，，得， 若，得或，，得， 所以函数的增区间是和，减区间是， 所以函数的极大值点，，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出、后可得函数解析式，故可判断AB的正误，求出后可判断C的正误，求出的范围后结合正弦函数的零点可判断D的正误 . 【详解】由图像可得，故，故，故A正确； 故，而，故， 故，而，故，故B正确； 因为，故为偶函数，故C错误； 故，当时，， 因为在上的零点为， 故在上有两个不同的零点，故D正确， 故选：ABD. 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式列出关于和的方程组，再结合选项，即可判断. 【详解】由得，所以①， 因为数列是以1为公差的等差数列， 所以，化简得， 所以，即②， 由①②解得， 所以，，，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则_____________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】因为，则，则，即； 又. 故答案为：4. 13. 复数的虚部是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的值的周期性特点，将原式化简并重新按照四项为一组进行分组求和即得. 【详解】 ， 则的虚部为. 故答案为：. 14. 已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据极值点及已知可得，则，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴有，即可得. 【详解】因为是的极大值点， 所以，，即， 又，故，所以， 当时，，在有两个零点和三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用，可得解析式； （2）利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号“f”，再考虑到定义域即可求出a的范围． 【小问1详解】 因为为奇函数，，设，则， 则, 因为为奇函数，则 ， 则． 【小问2详解】 当时，为单调递增函数， 由奇函数可知是定义在[﹣3，3]上的增函数， 又∵，∴， 故有：，则有，解得： 所以实数a取值范围是： 16. 为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 （1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； （2）估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 【答案】（1），，，作图如下： （2）众数为95分；平均数为83分；第75百分位数是93分． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合频数、频率的关系即可求得，的值，并作图； （2）结合众数、中位数和第p百分位数的含义即可求得它们的值. 【小问1详解】 由，解得， ，． 而每组的频率/组距分别为0.005、0.010、0.020、0.030、0.035， 所以频率分布直方图如下所示： 【小问2详解】 由题意，众数为频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点， 即众数为95分； 平均值为每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和， 即， 所以估计平均值为83分； 前四组频率和为， 所以第75百分位数在内，设第百分位数为， 则，解得，所以估计第75百分位数是93分． 17. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． （2）存在；或或或或或 【解析】 【分析】（1）化简题干信息即可求得，结合等差数列的定义即可判断； （2）求出数列的通项公式，再利用等比数列化简得出，结合均为正整数的条件即可求出所有值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 18. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 【答案】（1） 因为点在底面上的射影是与的交点， 所以平面，又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以． （2） （3）当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，最大角的正弦值为 【解析】 【分析】（1）由题意得到平面，即得，再由可证平面，由线面垂直可得； （2）过在平面内作于，连接，证明平面，得到为二面角的平面角，在中，利用三角函数的定义求解即得； （3）由平面得到到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积求得，设直线与平面所成的角为，求得，推得当时，最小，从而的值最大，由此即得点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过在平面内作于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，、平面，所以平面， 又平面，所以，故为二面角的平面角， 因菱形中，，则，， 又是等边三角形，故， 由，知， 在中，，故二面角的正切值为. 【小问3详解】 因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离， 因为，所以， 即， 所以， 设直线与平面所成的角为，则，， 因正弦函数在第一象限单调递增，故要使最大，即使最大，则需使最小， 此时，由对称性知，， 所以，此时， 故当点在线段上靠近点的处时，直线与平面所成的角最大，且最大角的正弦值为. 19. 设的内角的对边分别为，是边的中点，. （1）若，求面积的最大值； （2）若的面积为且 ，求的值; （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值； （2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出； （3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果. 【小问1详解】 如图，将放在坐标系中，为原点， 设，， 因为，所以， 又， 所以， 解得， 即，即，又， 可得， 又面积， 所以当时，面积的最大，且为. 【小问2详解】 在中，的面积为， 因为是中点，所以的面积是面积的一半， 即，所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，即， 所以. 【小问3详解】 如图，以为原点，建立坐标系， 则，设，则， 又， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以，， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知为椭圆M:+=1和双曲线N:-=1的公共焦点，为它们的一个公共点，且，那么椭圆M和双曲线N的离心率之积为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2024年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游比例，如图所示，则估计2024年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的（ ） A. 45% B. 30% C. 13.5% D. 13% 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则（ ） A. 当在上单调递增时， B. 当时，为曲线的切线 C. 点是曲线的对称中心 D. 当时，的极大值点 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则_____________. 13. 复数的虚部是_______________. 14. 已知是函数的极大值点，若在有两个零点和三条对称轴，则a的取值范围为_____ 四、解答题 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）若，求实数的取值范围． 16. 为进一步弘扬中华优秀传统文化，提升诗词爱好者的素养和创作水平，形成浓厚的国学和诗词学习氛围，2024年9月19日，首届“中华诗韵·风雅平凉”彦军杯诗词大赛决赛在剧院成功举行．为了解参赛者对此次活动的满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了名参赛者，该小组将收集到的参赛者满意度分值数据（满分100分）统计如下表所示： 分数 频数 5 10 20 35 频率 0.05 0.20 0.30 0.35 （1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图； （2）估计名参赛者满意度分值的众数、平均数和第75百分位数（结果保留整数）． 17. 已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， （1）证明：数列是等差数列； （2）设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 18. 已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大?求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置. 19. 设的内角的对边分别为，是边的中点，. （1）若，求面积的最大值； （2）若的面积为且 ，求的值; （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $