专题 真题例析高考数学命题如何考查思维能力 讲义-2026届高三数学二轮复习

【原卷版】 专题 真题例析高考数学命题如何考查思维能力 高考数学以知识为载体，从逻辑推理、抽象概括、数学建模、创新应用等维度考查思维能力； 逻辑推理是核心，通过函数与导数、立体几何等综合题，要求学生从已知条件推导结论，区分演绎与归纳推理；抽象概括能力聚焦对数列通项、向量本质的提炼，摒弃机械套用公式，强调对数学概念的深度理解。 数学建模则将实际问题转化为不等式、概率模型，考查知识迁移能力。运算求解并非单纯计算，而是结合算法优化、近似估算，检验思维的严谨性。 创新应用类试题常打破固定题型，如开放性问题、跨模块综合题，要求学生构建新思路，规避 “刷题得分” 的应试模式。 近年来，高考数学命题立足基础，通过 “多思少算” 导向，实现对学生数学思维品质的分层考查。 近几年高考数学对思维能力的考查，均以真题为载体，从逻辑推理、抽象概括、数学建模、创新思维四个维度落地； 考向1：逻辑推理能力 —— 演绎与论证的综合考查； 考向2：抽象概括能力 —— 提炼数学本质的考查； 考向3：数学建模能力 —— 实际问题的转化考查； 考向4：创新思维能力 —— 打破常规的考查； 考向1：逻辑推理能力 主要综合考查演绎与论证，考查：强调严谨性、层次性与灵活性，摒弃单一模板化解题； 试题以函数、三角、立体几何、数列等核心知识为载体，要求学生完成 “条件分析 — 推理建模 — 结论验证” 的完整链条。既考查演绎推理，如通过定义、定理推导线面位置关系、不等式解集；也渗透归纳推理，如从特殊递推规律提炼数列通项本质。 命题注重跨模块融合，常将几何直观与代数运算结合，要求学生灵活切换推理路径，规避机械套用结论。同时，通过开放性问题设置，检验学生推理的条理性与创新性，凸显 “多思少算” 的考查导向。 例1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学试题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，， ． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 考向2：抽象概括能力 这类试题主要考查提炼数学本质；现今高考数学对抽象概括能力的考查，聚焦剥离表象、提炼本质的核心要求，摒弃对公式的机械套用。 试题常以复杂情境、非标准形式为载体，如隐藏通项的递推数列、含参的函数模型、融合实际背景的几何问题，要求学生从题干中抽象出核心数学关系，将具体问题转化为数列、函数、几何等标准模型。 命题注重跨模块关联，强调对概念内涵的深度理解，避免单一题型训练的应试思维，通过 “去套路化” 设问，检验学生从特殊到一般的归纳概括能力，凸显数学思维的凝练与迁移价值。 结合高考真题，抽象概括能力的考查可通过两例直观呈现： 例3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【提示】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小； 例4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种. 考向3：数学建模能力 现今高考数学对数学建模能力的考查，聚焦实际问题数学化、模型构建与验证的核心逻辑，摒弃孤立的公式应用。 试题多选取生产生活、社会热点等真实情境，如抽样统计、最优解设计、运动轨迹分析等，要求学生剥离非数学要素，提炼出函数、数列、概率、几何等标准模型。 命题强调建模的完整性，需完成 “情境解读 — 变量设定 — 模型建立 — 求解验证 — 实际意义阐释” 的全流程，同时渗透多模型对比优化的思维，凸显数学工具解决实际问题的应用价值。 例5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 例6．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春考）试题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 考向4：创新应用能力 这类试题主要考查创新应用能力，聚焦打破套路、多维建模、灵活迁移的核心导向，摒弃固化解题思维。 试题常以开放性、跨模块形式呈现，如自定义新函数、融合几何与代数的综合问题，或无标准答案的探究题。要求学生从新情境中提炼数学本质，自主构建解题路径，而非套用现成模板。 命题注重知识的跨界整合与逆向思维考查，鼓励多角度切入问题，强调对解题方案的合理性验证，以此区分 “机械刷题” 与 “灵活创新” 的思维层次，凸显数学思维的延展性； 例7．（2025年高考全国一卷试题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 例8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学试题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． （1）写出所有的，，使数列是可分数列； （2）当时，证明：数列是可分数列； （3）从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 应对高考数学对思维能力的考查，需立足知识本质、题型变式、思维训练三大核心，摒弃机械刷题模式。 首先，夯实概念深度理解，不满足于公式记忆，要剖析定理推导逻辑，比如从函数单调性定义延伸到导数应用的本质关联，通过溯源训练抽象概括能力。其次，强化题型变式训练，针对同类知识点，对比不同设问角度的解题差异，如立体几何中 “证明平行” 与 “求异面直线夹角” 的思维切换，提升逻辑推理的灵活性。 再者，重视数学建模与实际应用，主动将生活问题转化为数学模型，如用概率统计分析抽样问题、用不等式解决最优解问题，培养知识迁移能力。同时，优化运算策略，避免盲目计算，学会通过代数变形、几何直观简化步骤，兼顾运算精准度与思维严谨性。 最后，突破固定思维框架，针对性练习开放性、跨模块综合题，尝试多解法对比，总结解题规律而非套路，在错题复盘时聚焦 “思维卡点”，形成 “审题 — 建模 — 推理 — 验证” 的完整思维链条，实现从 “解题” 到 “悟题” 的进阶。 1．（2025年高考全国一卷数学试题）如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 2．（2022年上海秋季高考数学试题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC， （1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）.    3．（2025年高考全国一卷数学真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（     ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 8．（2025年高考全国二卷数学试题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 9．（2022年新高考全国I卷数学试题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解析版】 专题 真题例析高考数学命题如何考查思维能力 高考数学以知识为载体，从逻辑推理、抽象概括、数学建模、创新应用等维度考查思维能力； 逻辑推理是核心，通过函数与导数、立体几何等综合题，要求学生从已知条件推导结论，区分演绎与归纳推理；抽象概括能力聚焦对数列通项、向量本质的提炼，摒弃机械套用公式，强调对数学概念的深度理解。 数学建模则将实际问题转化为不等式、概率模型，考查知识迁移能力。运算求解并非单纯计算，而是结合算法优化、近似估算，检验思维的严谨性。 创新应用类试题常打破固定题型，如开放性问题、跨模块综合题，要求学生构建新思路，规避 “刷题得分” 的应试模式。 近年来，高考数学命题立足基础，通过 “多思少算” 导向，实现对学生数学思维品质的分层考查。 近几年高考数学对思维能力的考查，均以真题为载体，从逻辑推理、抽象概括、数学建模、创新思维四个维度落地； 考向1：逻辑推理能力 —— 演绎与论证的综合考查； 考向2：抽象概括能力 —— 提炼数学本质的考查； 考向3：数学建模能力 —— 实际问题的转化考查； 考向4：创新思维能力 —— 打破常规的考查； 考向1：逻辑推理能力 主要综合考查演绎与论证，考查：强调严谨性、层次性与灵活性，摒弃单一模板化解题； 试题以函数、三角、立体几何、数列等核心知识为载体，要求学生完成 “条件分析 — 推理建模 — 结论验证” 的完整链条。既考查演绎推理，如通过定义、定理推导线面位置关系、不等式解集；也渗透归纳推理，如从特殊递推规律提炼数列通项本质。 命题注重跨模块融合，常将几何直观与代数运算结合，要求学生灵活切换推理路径，规避机械套用结论。同时，通过开放性问题设置，检验学生推理的条理性与创新性，凸显 “多思少算” 的考查导向。 例1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学试题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（     ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【提示】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.； 【答案】C； 【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C； 【说明】本题考查了充要条件的证明、判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和； 而等差数列充要条件的推证，本质是考查逻了辑推理的能力； 例2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，， ． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【提示】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【说明】本题考查了证明线面平行、由二面角大小求线段长度或距离、证明面面垂直；其中考生需通过演绎推理，先由底面得，再由正方形性质得，最后根据线面垂直判定定理，推导出平面，全程需严谨的推理链条，杜绝跳步； 考向2：抽象概括能力 这类试题主要考查提炼数学本质；现今高考数学对抽象概括能力的考查，聚焦剥离表象、提炼本质的核心要求，摒弃对公式的机械套用。 试题常以复杂情境、非标准形式为载体，如隐藏通项的递推数列、含参的函数模型、融合实际背景的几何问题，要求学生从题干中抽象出核心数学关系，将具体问题转化为数列、函数、几何等标准模型。 命题注重跨模块关联，强调对概念内涵的深度理解，避免单一题型训练的应试思维，通过 “去套路化” 设问，检验学生从特殊到一般的归纳概括能力，凸显数学思维的凝练与迁移价值。 结合高考真题，抽象概括能力的考查可通过两例直观呈现： 例3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（     ） A． B． C． D． 【提示】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小； 【答案】C； 【解析】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 【说明】本题主要考查了比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小； 题目给出三个不同形式的数值，需抽象出函数模型： 构造函数、；通过求导分析单调性，将数值比较转化为函数值大小比较。 能力落点：从零散的数值表达式中，抽象出统一的函数模型，实现 “数” 到 “形 （函数）” 的转化。 属于概念抽象类：从具体案例提炼数学概念本质；该类题目以具体实例、图形、数值为载体，要求考生剥离非本质属性，抽象出核心数学概念（如函数、数列、集合的本质特征）。 例4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种. 【提示】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解； 【答案】； 【解析】因为，4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学 所以，先取2名同学看作一组，选法有： 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种 故答案为：. 【说明】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力； 考查分析：先分析具体分配步骤：第一步，将 4 人分为 “2,1,1” 三组；第二步，将三组分配到 3 个小区。从 “人数分配” 这一具体操作中，抽象出组合 + 排列的模型： 能力落点：从 “每个小区至少 1 人” 的具体要求中，概括出 “先分组后分配” 的通用规律。 （4）累乘求通项 考向3：数学建模能力 现今高考数学对数学建模能力的考查，聚焦实际问题数学化、模型构建与验证的核心逻辑，摒弃孤立的公式应用。 试题多选取生产生活、社会热点等真实情境，如抽样统计、最优解设计、运动轨迹分析等，要求学生剥离非数学要素，提炼出函数、数列、概率、几何等标准模型。 命题强调建模的完整性，需完成 “情境解读 — 变量设定 — 模型建立 — 求解验证 — 实际意义阐释” 的全流程，同时渗透多模型对比优化的思维，凸显数学工具解决实际问题的应用价值。 例5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 【提示】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高． 【答案】B 【解析】头顶至脖子下端的长度为26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度小于＝110， 即有该人的身高小于110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105＝170cm， 即人的身高大于170小于178, 故选：B． 【说明】本题主要考查了阅读理解与简单的数学建模； 例6．（2026年上海市春季招生统一文化考试（春考）试题）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径厘米，壶身高厘米，壶内油液面高厘米，壶嘴长厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到） 【提示】根据题意，结合条件分别表示出，然后在中，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【答案】 【解析】 设壶嘴最低点，最高点分别是， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与分别交于点， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出. 故答案为： 【说明】本题主要考查了阅读理解与建立三角函数模型解决数学在生活中的应用； 考向4：创新应用能力 这类试题主要考查创新应用能力，聚焦打破套路、多维建模、灵活迁移的核心导向，摒弃固化解题思维。 试题常以开放性、跨模块形式呈现，如自定义新函数、融合几何与代数的综合问题，或无标准答案的探究题。要求学生从新情境中提炼数学本质，自主构建解题路径，而非套用现成模板。 命题注重知识的跨界整合与逆向思维考查，鼓励多角度切入问题，强调对解题方案的合理性验证，以此区分 “机械刷题” 与 “灵活创新” 的思维层次，凸显数学思维的延展性； 例7．（2025年高考全国一卷试题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【提示】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【答案】B 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 【说明】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用，创新地考查了探求数之间的关系； 例8．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学试题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． （1）写出所有的，，使数列是可分数列； （2）当时，证明：数列是可分数列； （3）从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【提示】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 【说明】本题考查了数列新定义、等差数列通项公式的基本量计算；解答本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论； 应对高考数学对思维能力的考查，需立足知识本质、题型变式、思维训练三大核心，摒弃机械刷题模式。 首先，夯实概念深度理解，不满足于公式记忆，要剖析定理推导逻辑，比如从函数单调性定义延伸到导数应用的本质关联，通过溯源训练抽象概括能力。其次，强化题型变式训练，针对同类知识点，对比不同设问角度的解题差异，如立体几何中 “证明平行” 与 “求异面直线夹角” 的思维切换，提升逻辑推理的灵活性。 再者，重视数学建模与实际应用，主动将生活问题转化为数学模型，如用概率统计分析抽样问题、用不等式解决最优解问题，培养知识迁移能力。同时，优化运算策略，避免盲目计算，学会通过代数变形、几何直观简化步骤，兼顾运算精准度与思维严谨性。 最后，突破固定思维框架，针对性练习开放性、跨模块综合题，尝试多解法对比，总结解题规律而非套路，在错题复盘时聚焦 “思维卡点”，形成 “审题 — 建模 — 推理 — 验证” 的完整思维链条，实现从 “解题” 到 “悟题” 的进阶。 1．（2025年高考全国一卷数学试题）如图,在四棱锥中，底面，． （1）证明：平面平面； （2）设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【提示】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【解析】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 2．（2022年上海秋季高考数学试题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC， （1）求三棱锥P-ABC的体积； （2）若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 【提示】（1）由棱锥体积公式计算； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法二面角． 【答案】（1）1；（2）． 【解析】（1）底面ABC，底面ABC，则，连接，同理， 又，，∴， 而， 所以； （2）由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知， 则，，，∴， ，易知平面的一个法向量是， ， 设PM与平面PAC所成角大小为，则，，∴．    3．（2025年高考全国一卷数学真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【提示】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 4．（2022年新高考全国I卷数学真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【提示】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 【说明】抽象概括过程分析：（1）提取具体条件；（2）抽象等差数列通项；（3）抽象数列递推关系 5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（     ） A．10名 B．18名 C．24名 D．32名 【提示】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可. 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为， ，故至少需要志愿者名. 故选：B 【说明】本题主要考查函数模型的简单应用； 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（    ） A． B． C． D． 【提示】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【答案】C 【解析】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【说明】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力； 7．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 【提示】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【答案】C 【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C. 8．（2025年高考全国二卷数学试题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 【提示】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解； （2）由题意，联立，即可求解； （3）首先，，同理有， ，作差有，另一方面，且同理有，作差能得到，由此即可得证. 【答案】（1），；（2）；（3）证明过程见解析； 【解析】（1）为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场， 故所求为， 为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场， 故所求为； （2）由（1）得，，同理， 若，， 则， 由于，所以，解得； （3）设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 9．（2022年新高考全国I卷数学试题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【提示】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【答案】（1）答案见解析；（2）（i）证明见解析；(ii)； 【解析】（1）由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）(i)因为， 所以 所以， (ii) 由已知，， 又，， 所以 第1页，共40页 学科网（北京）股份有限公司 $