圆锥曲线的轨迹方程 专项训练-2026届高三数学二轮专题

专题圆锥曲线的轨迹方程答案 班级： 姓名： 一、教材溯源 1.(教材P1例3)如图所示，设A,B两点的坐标分别为(-5,0)，（5,0).直线AM,BM相交于点M ，且它们的斜率之积是-}求点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是（一5,0），所以直线AM的斜率 w红≠一动 同理，直线BM的斜率 kam=六c≠5》. 由已知，有 ×六=-音≠士 y 4 化简，得点M的轨迹方程为 云+益1士 9 点M的轨迹是除去（一5,0），(5,0)两点的椭圆 2.(教材P1o9T4)已知A,B两点的坐标分别为(-1,0)，(1,0)，直线AM,BM相交于点M,且直线 AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，求点M的轨迹是什么？ .解析设点M的坐标为(x,y),由已知 得，直线AM的斜率km=本（x≠-1)， 直线BW的斜率w（x≠1)， 由题意，得 0-2.所以12× EB x-1 (x≠±1，y≠0)， 化简，得x=-3(y≠0).因此，点M的轨 迹是直线x=-3,并去掉点(-3,0). 3. (牧材P例6)动点Mx,y与定点P40)的距离和M到定直线：x=空的距腐之比是常数号， 求动点M的轨迹方程. 1 解：如图3.1H2.设d是点M到直线1：-孕的距离。 根据题意，动点M的轨迹就是集合 P=M-引 由此得 0+拉-专 图- 将上式两边平方，并化简，得 9x2+25y2=225, 即 4.(教材PT1)如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式Vx2+(y-3+x2+(y+3}=10,那么 点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 解析点M的轨迹是焦点在y轴上的 椭圆.关系式√+(y-3)了+ √x+(y+3)=10表示的几何意义为 点M(x,y)到两定点(0,3)，(0，-3)的 距离之和为10，且大于两定点间的距 离6，由椭圆定义知a=5,c=3,则b2= -c2=16,椭圆的方程是之+之 25161. 5.(教材P1sT6改编)如图，已知⊙O的方程为x2+y2=64,定点A的坐标为6.0)，P是⊙O上任意 一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什 么？求其轨迹方程， 解：连接QA 由题可知圆心O(0,0),半径r=8 .为线段AP的垂直平分线 .24=OP 又.lOP=8 ..OP=oP+20=24+00 =8>04=6 点Q是为O,A为焦点，以半径为长轴长的椭圆 即2a=8,a=42c=6,c=3 b2=a2-c2=7 “方程为+ =1 167 6.(教材PsT8)点M与定点F(2,0)的距离和它的定直线x=8的距离的比是1：2，求点M的轨迹方 程 .解析设点M的坐标为(x,y),d是点 M到直线x=8的距离，根据题意，所求 轨迹就是集合P-}由 此得√(x-2)+ 2两边平方，并 -= 18-xI 化简得32+42=48，即+y2 16t12=1. 所以点M的轨迹是长轴长、短轴长分 别为8、43的椭圆. 7.(教材P1sT9)如图，DP⊥x轴，垂足为D,点M在DP的延长线上，且 DM-3 |DP-2' 当点P在圆 x2+y2=4上运动时，求点M的轨迹方程 D 2 解析设M(x,y)是曲线上的任意一 点，P(x,y)是圆上的任意一点，则 IDMI 3 x1=x, D(x,0),由1DP2,可得 2 =3 P(x1y1)在圆x2+y2=4上， =4,即+号=4， 化简为+ -=1.∴.点M的轨迹是焦 94 点在y轴上的椭圆. 8.(教材P15T10)一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，求动圆圆 心的轨迹方程. 解析由x2+y2+6x+5=0,得 (x+3)2+y2=4,表示圆心为F(-3, 0),半径r1=2的圆， 由x2+y2-6x-91=0,得(x-3)2+y2= 100,表示圆心为F,(3,0),半径r2=10 的圆. 设动圆圆心为P(x,y),半径为R,则 (R+r=IPF1, ∴.IPF,I+IPF2I=r1+ (r2-R=IPF21, r2=12. 由IF,F2I=6<12知，点P的轨迹是以 ,F,为焦点的椭圆，设其方程为+ a心b>0,由题意，得2a=12.2五 =6,即a=6,c=3. 因此b2=a2-c2=27 故动圆圆心P的轨迹方程为+停 9.(教材P120例2)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为 340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程， 解：如图32-5，建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在 x轴上，并且原点O与线段AB的中点重合， 设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则 1PA1-1PB|=340X2=680. 即2a=680,a=340. 又lAB|=800,所以2c=800.c=400,b2=c2-a2=44400. 因为|PA|一|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右 图3.25 支，因此x≥340. 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 15600-44400=1(x≥340). 10.(教材Ps例5)动点Mx,y)与定点P40)的距商和它到定直线：x=号的距离的比是常数学 求动点M的轨迹方程 解：设d是点M到直线I的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 P=-引 √x-4)2+y4 由此得 9 x一4 将上式两边平方，并化简，得 7x2-9y2=63, 即 图3.2-11 z2y2 97=1 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为27的双曲线（图3.2-11D. 11.(教材P126T1)已知A,B两点的坐标分别是(-6,0)，(6,0)，直线AM,BM相交于点M,且它们 的斜率之积是子求M的轨迹方程 心 解析设M(x,y),因为A(-6,0),B(6, 2 0),kw·kw=g,所 0y.01=2 -6-x6-x=9 (x≠±6)， 整理，得1≠6. 2 3681 所以点M的轨迹是以原点为中心，焦点 在x轴上的双曲线（除去A(-6,0), B(6,0)). 12.(教材P127T5改编)如图，已知⊙O的方程为x+y2=16,定点A的坐标为(6,0)，P是⊙O上任意 一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什 么？求其轨迹方程. 解：连接QA 由题可知圆心O(0,0),半径r=4 为线段AP的垂直平分线 ∴№A=lr 又OP=4 ..OP =oP-20 =04-00 =4<04=6 .点Q是为O,A为焦点，以半径为实轴长的双曲线 即2a=4,a=2:2c=6,c=3 b2=c2-a2=5 方程为上=1 45 13.（教材P12T9)相距1400m的A,B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s,已知声速为 340m/s,问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程. .解析以A、B所在的直线为x轴，线段 AB的垂直平分线为y轴，建立平面直 角坐标系 设P(x,y)是曲线上的任意一点，则根 据题意，有IAB1=1400,IIPA1-IPB1I =340×3=1020<1AB1,所以所求轨迹 是双曲线，设双曲线方程为石=1 (a>0,b>0),则2a=1020,2c=1400,所 以b2=c2-a2=229900. 所以所求轨迹方程为， 32 260100229900 =1. 14.（教材P2T10)设动点M与定点F(c,0(c>0)的距离和M到定直线1：x=a的距离之比是 C(a<c)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 解析设点M(x,y),则 √(x-c)子+y-c a2 *-c 整理，得 y2 2c2-a1 .c>0,a<c ∴.a>0,c2-a2>0, 令c2-a2=(b>0),则上式变为 6R1 ∴所求点M的轨迹为双曲线，且轨迹 ,x2y2 方程为。存=1(>0，b>0,b=c2- a2). 15.(教材P128T11)M是一个动点，MA与直线y=x垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线y=-x 垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB(O为原点)的面积为3，求动点M的轨迹方程. 4 .解析依题意，四边形OAMB为矩形， 设M(x,y),如图. A 1= B 因为四边形OAMB的面积为3， 所以1MA1·1MB1=3,所以Ix-Y. 2 1x+=3,所以1x2-y21=6,即x2-y= 2 6或y2-x2=6 所以点M的轨迹为双曲线. 16.(教材P,T14节选)已知双曲线-云=1与直线：y=kx+m(k≠士2有唯一的公共点M,过点 416 M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时，求点P(x,y)的轨迹 方程 (x2y2 解析由4161得（4-2)x2- y=kx+m 2kmx-(m2+16)=0(k≠±2)、 因为双曲线与直线有唯一的公共点 M,所以△=(-2km)2+4(4-k2)(m2+ 16)=0,此时x= km 4-k2 当经时，板*烟装即 经) 所以过点M且与1垂直的直线方程为 )提 令=0，则7=梁令y=0则 器所以P) r5km5m） 所以了=之(k士2.点P的镇迹为 过原点的直线，且除去与渐近线垂直 的两条直线 17.(教材P137例6)如图，己知定点B(a,-h),BC⊥x轴于点C,M是线段OB上任意一点，MD⊥x 轴于点D,ME⊥BC于点E,OE与MD相交于点P,求点P的轨迹方程. 解：设点P(x,y),M(x,m),其中0≤x≤a,则点E的坐标为(a,m). 由题意，直线OB的方程为 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得 h m=-a, 所以点P的横坐标x满足②. 直线OE的方程为 图3.36 y-ut. ③ a 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x,y)满足③. 将②代入③，消去m,得 =-月0c<. 即点P的轨迹方程 例6中，设点B关于y轴的对称点为A,则方程 r=-(-a≤<) 18.(教材P138T5)已知圆心在y轴上移动的圆经过点A(0,5),且与x轴、y轴分别交于B(x,0), C(0,y)两个动点，求点M(x,y)的轨迹方程. 解析依题意，设圆心坐标为(0，b), 因为A(0,5)在圆上，所以r=15-b1(b ≠5)， 因为B(x,0),C(0,y)在圆上，所以 +62=(5-b,消去6，得x2=-5y,所 5+y=2b, 以点M的轨迹方程为x2=-5y. 19.(教材P139T9改编)从抛物线y=16x上一动点P向x轴作垂线段，垂足为M,求垂线段PM的中 点Q的轨迹方程. 设点Q的坐标为(c,y),点P的坐标为(0,0) 因为Q是垂线段PM的中点，M在x轴上，所以M 的坐标为(x0,0)。 根据中点坐标公式：若有两点A(x1,1),B(x2,) ,则它们的中点坐标为(1十2，十)。 2 对于Q(x,)是P(x0,0)和M(x0,0)的中点，可 x= 2 00,即o=0 得： 2 0=2y 2 已知点P(0,0)在抛物线2=16x上，将 20=?代入抛物线方程可得：(2到)2=16x。 0=2y 对(2)2=16x进行化简：42=16c,两边同时除 以4，得到y2=4x 因此，点Q的轨迹方程为y2=4x。 20.（教材P139T11)已知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，(1,0) AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程 解析设点M的坐标为(x,y).由已 知，得直线AW的斜率w=本(x子 -1); 直线的斜率m=六（x1).由题 意，得-km=2,即y-y =2(x≠ x+1x-1 ±1)，化简，得x2=-y+1(x≠±1)： 故点M的轨迹方程是x2=-y+1(x≠ ±1). 21.（教材P14sT9)己知A,B两点的坐标分别是(-1,0)，（1,0)： AM的斜率与直线BM的斜率之和是2，求点M的轨迹方程， 解析设点M的坐标为(x,y).由已 知，得直线AW的斜率u=本(x子 -1); 直线BM的斜率m=六(x≠I).由题 意，得kw+ku=2,即X+】=2(x≠ x+1x-1 ±1)，化简，得x2-xy-1=0(x≠±1) 故点M的轨迹方程是x2-xy-1=0(x≠ ±1). 22.(教材P14sT11)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-5,0)，(5,0)，且AC,BC所在直线的 斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹. .解析设顶点C的坐标为(x,y) 由于AC、BC的斜率都存在， 直线AM,BM相交于点M,且直线 .x≠±5 根据题意得y .Y x-55=m. m≠0， Q上述方程可变形为5， -=1 .当m>0时，点C的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线（不包含实轴的两个端 点)； 当-1<m<0时，点C的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆（不含长轴的两个端点）； 当m=-1时，点C的轨迹是圆（不含 圆与x轴的两交点)； 当m<-1时，点C的轨迹是焦点在y 直线AM,BM相交于点M,且直线 轴上的椭圆（不含短轴的两个端点）. 二、高考真题及综合练习 6 1.((2024年新课标Ⅱ卷)己知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为 垂足，则线段PP'中点M的轨迹方程为() A+=10y20j 164 B总首=1y0 c若等1w0, 十 若若=0 ,A设点M(x,y),则P(x,y0),P'(x, 0),因为M为PP'的中点，所以y。= 2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16 (y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0),即 关”+之=1《之O》.攻送A 2.己知圆心在x轴上移动的圆经过点A(2,0,且与x轴的另一个交点为B(x,0),与y轴的交点为C(0,),则点 M(x,)的轨迹方程为() A.x2+y2-2x=0 B.x2+y2-2y=0 C.y2=-2x D.x2=2y 【答案】C 【详解】由题意，点C在以AB为直径的圆上，所以CA⊥CB。 又CA=(2,-y),CB=(x,-y), 所以CA.CB=2x+y2=0三y2=-2x. 故选：C x2 y2 3.已知椭圆c:8+4=1的上、下顶点分别为A'4'点p为c上异于A:4的任意一点若g满足 QA·4P=0,QA·A,P=0,则点Q的轨迹方程为 即4-6=1 【解】设P0电已得41024-2则=1-个 2 > 所以kk=山-2.么+2_坊-4-」 设Q(x,y川，因为0AAP=0,QA·AP=0, 所以koskp=-1,kg4kp4=-1, 所以k4kp424k6=l, 所以-2e4os=1, 所以44=-2因此22y-2,即42， x2 之+卫=1x0. 所以点0的轨迹方程为2+4 y 4.已知A(-l1,O)，B1,O),直线AM,BM相交于点M,且直线AM与直线BM的斜率之积为-2，则点M的轨 迹方程 【详解】设点M(x,则太wkw=士广=-2x≠士划， x+1x-1 化简得r2+二=1x≠士， 2 +2=x≠圳. 所以点M的轨迹方程为2+) 5.设定点F(0,1),动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切. (1)求动点E的轨迹C的方程： (2)设A,B是曲线C上的两点，若曲线C在A,B处的切线互相垂直，求证：A,F,B三点共线 解：(1)设E点坐标为(x,),则EF中点为圆心， 设为P. 则P点坐标为：（货，生 P红袖的距离等于受，即生= 2 V22+(y-1 ,化简得：x2=4划 .E点轨迹C的方程为：x2=4. (2)由(1)知，曲线C为以F为焦点的抛物线，其方 程可化为y=子2，设A,B两点的坐标分别为（ 寻的，，， 曲线方程为y=子，∴动=，曲线在A ，B必处切线斜率分别为1=合，=是， 六k=-1,21x7=-1, 、4B两点连钱的斜率为：kB=才之 E2-x1 =是+7 AF两点连线的斜率为：kAF= -1 +子1=kAB, ,·.A,B,F三点共线 6.动点Mx,y)到直线1：y=3x与直线2：y=-3x的距离之积等于子，且k3.求动点M的 轨迹方程 18.(1)解：点M(x,y)到直线1：√3x-y=0 的距离为V3-到 -v3e-边，到 V(v3)2+(-1)2 2 直线2：V3r+y=0的距离为V3,+。 2 由距离之积等于子，得 V8g边.+1-即 2 3红手-子化简得32，= 4 因为<V3x,所以3x2-y2>0,故 32-=3,即2-号=1。 3 7.(双)(25年曲靖市二统)已知A(2,0),点P是⊙O1:(x+2)+y=4上的任意一点，线段AP的垂 直平分线与直线OP相交于点Q,设点Q的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程： (2)与x轴不重合的直线过点M(m,0)(m≠0)，曲线C上存在两点B,D关于直线l对称，且BD的中 点N的横坐标为n. 8 ①犬号的位。 ②若B,D均在y轴右侧，且直线过点E(0,4),求∠BED的取值范围. 18.解：(I):点Q在线段AP的垂直平分线上，Q4=|QPl 由题意知，点Q在线段O,P的延长线或反向延长线上， OPl-100,=041-100=10,PI=2<104=4, :动点Q在以O,4为焦点的双曲线上，且a=1,c=2,进而b2=3, 动点Q的轨迹方程，即曲线C的方程为2二片=」 ………4分 (2②0设B(小，D(5,N(,%),则-=3 3x-好=3 3(x1+x2)(x-为)=（为+y2)y-2), 六当-业.+2=3，即k0kOw=3. 为一为+为 B,D关于直线1对称，ko人=-1，六ka=-3认，即=边 %0.24 8分 ②由愿意可知直线D的斜率存在，设其方程为y=x+1, 由3x-产=3，得6--2x-产-3=0， y=kx+r 3，+3 六A=+40-2+3=2-2+.+=2边 3-k2 为+y=6+)+2=,6 …9分 3-k2 31-12+4k2 3-k BD⊥EN,k. -12+42 =-1,解得1=3-k2 ……11分 六（头-可 ID卡R4-小+E-2R-e国 3- 3-2 =2+ F点 k2-3 在RI ABNE中，tm∠BEN= 五 ……14分 [3-k2≠0 2-k2+3>0 :B,D均在y轴右侧， >0 2 ,解得2>4. 15分 是0 +-京<5，即0<m∠BEN<5, .0<3+ 3 0<∠BEy< ，∠BD=2Evd（o,} 6 专题 圆锥曲线的轨迹方程 班级： 姓名： 1、 教材溯源 1. （教材例3）如图所示，设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积是求点的轨迹方程. 2. （教材T4）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是求点的轨迹是什么？ 3. (教材例6）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，求动点的轨迹方程. 4. (教材T1)如果点在运动过程中，总满足关系式,那么点的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程. 5. (教材T6改编）如图，已知的方程为，定点的坐标为，是上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？求其轨迹方程. 6. (教材T8）点与定点的距离和它的定直线的距离的比是，求点的轨迹方程. 7. (教材T9）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，求点的轨迹方程. 8. (教材T10）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程. 9. （教材例2）已知两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 10. （教材例5）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹方程. 11. （教材T1）已知两点的坐标分别是，，直线于点，且它们的斜率之积是，求的轨迹方程. 12. (教材T5改编）如图，已知的方程为，定点的坐标为，是上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？求其轨迹方程. 13. （教材T9）相距的两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差，已知声速为，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程. 14. （教材T10）设动点与定点的距离和到定直线的距离之比是求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 15. （教材T11）是一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为原点）的面积为，求动点的轨迹方程. 16. （教材T14节选）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点.当点运动时，求点的轨迹方程. 17. （教材例6）如图，已知定点,轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点,与相交于点，求点的轨迹方程. 18. （教材T5）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点，求点的轨迹方程. 19. （教材T9改编）从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程. 20. （教材T11)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2，求点的轨迹方程. 21. （教材T9)已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之和是2，求点的轨迹方程. 22. （教材T11)已知的两个顶点的坐标分别为，且所在直线的斜率之积等于，求顶点的轨迹. 2、 高考真题及综合练习 1. ((2024年新课标Ⅱ卷)已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段,为垂足，则线段中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴的另一个交点为，与轴的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3. 已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点为上异于，的任意一点，若满足，，则点的轨迹方程为 4. 已知，，直线，相交于点，且直线与直线的斜率之积为，则点的轨迹方程 5. 设定点，动点满足：以为直径的圆与轴相切. （1） 求动点的轨迹的方程； （2） 设是曲线上的两点，若曲线在处的切线互相垂直，求证：三点共线. 6. 动点到直线:与直线:的距离之积等于，且<.求动点的轨迹方程. 7. （双）（25年曲靖市二统）已知，点是上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线. （1） 求曲线的方程； （2） 与轴不重合的直线过点，曲线上存在两点关于直线对称，且的中点的横坐标为. ①求的值； ②若均在轴右侧，且直线过点，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $