精品解析：河北省秦皇岛市昌黎县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 如图中，不是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：D． 2. 若分式的值为零，则的取值为（ ） A. B. C. D. 的值不存在 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 由得，即或， 又∵，即， ∴， 故选：B． 3. 若有意义，则x满足条件是 A. x≥-3且x≠1 B. x>-3且x≠1 C. x≥1 D. x≥-3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件逐一作出判断即可. 【详解】解:∵x+3且 ∴x≥-3且x≠1 故选A. 【点睛】本题考查了二次根式和分式有的 条件,即要使二次根式有意义就是要被开方数大于或等于零,分式的分母不能等于零. 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、内错角、对顶角、平方根以及等式性质等知识．依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意； C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 5. 用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到千分位） C. （精确到百分位） D. （精确到） 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了近似数，根据四舍五入法对各选项进行判断即可求解，掌握四舍五入法是解题的关键． 【详解】解：、精确到是，该选项正确，不符合题意； 、精确到千分位是，该选项错误，符合题意； 、精确到百分位是，该选项正确，不符合题意； 、精确到是，该选项正确，不符合题意； 故选：． 6. 下列各式的计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式． 选项A中负数没有实数平方根；选项B完全平方公式应用错误；选项D化简错误；选项C计算正确． 【详解】解：选项A：和在实数范围内无意义，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 7. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，添加一个条件，不能使是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟悉全等三角形的判定定理（、、、）是解题的关键． 选项由可得：，满足判定，可证；选项：，可得，满足判定，可证；选项：，满足判定，可证；选项：，这是，不能判定三角形全等． 【详解】解：选项：， 由可得： (两直线平行，同位角相等) ； 已知， ， 满足判定，可证； 选项：， 由可得，即； 已知，，满足判定，可证； 选项：， 已知，，满足判定，可证； 选项：， 已知，，这是，不能判定三角形全等． 故选：． 8. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握该知识点是解题的关键．由题意可得的长度，再根据是直角三角形的中线即可解答． 【详解】由题意可知，， 又，且点D为边的中点， ． 故选：A． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠A=15°，利用三角形外角的性质求得∠BEC =30°，再根据30°角直角三角形的性质即可求得结论． 【详解】∵点D为AB边中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠ABE=∠A=15°， ∴∠BEC=∠A+∠ABE=30°， ∵∠C=90°， ∴BE=AE=2BC=2，CE=BC=， ∴AC=AE+CE=2+， 故选C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、30°角直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】作EH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到EH=DE=3，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作EH⊥BC于H， ∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EH⊥BC， ∴EH=DE=3， ∴△BCE的面积=×BC×EH=9， 故选C． 【点睛】本题考查是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键. 11. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 12. 如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形、线段垂直平分线的性质．根据点D，E关于对称，可得垂直平分，即可判断①错误；根据垂直平分，连接，可得，证明，可得，即可判断②；结合①②证明，可得，，得到，进而证明角F的度数，即可判断③；在中，根据勾股定理，得，根据，即可判断④． 【详解】解：①∵点D、E关于对称， ∴垂直平分，不是垂直平分，所以①错误； ②∵垂直平分， ∴， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以②正确； ③∵垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，所以③正确； ④在中，根据勾股定理，得： ， ∵， ∴， ∴，所以④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，实数的性质．根据负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若实数满足，那么的值是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得，， ∴ ∴． 故答案为：6 15. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质； 连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得． 【详解】解：如图，连结， ∵，是的中点， ∴， 又∵在中，是的中点，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 【答案】（1） （2） （3） （4）方程无解 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解分式方程，熟练掌握二次根式的混合运算法则，解分式方程的步骤是解题的关键： （1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）先去绝对值，进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：， 去分母，得， 解得； 经检验：是原方程的增根； ∴原方程无解． 18. 已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，的平方根等于它本身． （1）_____，______，_____，_______； （2）求平方根． 【答案】（1）5，，6，0 （2）的平方根为 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义，无理数的估算，进行计算即可； （2）先代入原式求值，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：一个正数的平方根是和， ， 解得，； 的立方根是， ， 解得，； c是的整数部分，且， ； d的平方根是它本身， ． 故答案为：5，，6，0． 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 13的平方根为， 的平方根为． 19. 先化简再求值：，． 【答案】；． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先通分并利用同分母分式的减法法则计算，然后算除法，再约分得到最简结果，最后将的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， ． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE＝35°． 【解析】 【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD； ②作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求． （2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，①点D即为所求， ②射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠CAD＝100°﹣30°＝70°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝35°． 【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证∠EAF＝∠ECB，再结合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性质得AF＝BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC＝2CD，等量代换得出结论． 【详解】证明：（1）∵CE⊥AB， ∴∠AEF＝∠CEB＝90°． ∴∠AFE+∠EAF＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CFD+∠ECB＝90°， 又∵∠AFE＝∠CFD， ∴∠EAF＝∠ECB． 在△AEF和△CEB中， ∵， ∴△AEF≌△CEB（ASA）； （2）∵△AEF≌△CEB， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AD⊥BC ∴CD＝BD，BC＝2CD． ∴AF＝2CD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键． 22. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由于D是BC的中点，那么BD＝CD，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即可证AD平分∠BAC； （2）利用垂直平分线的性质的逆定理证明AE＝AF，DE＝DF即可． 【小问1详解】 证明：∵，，D是的中点， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴． 又∵， ∴平分． 【小问2详解】 证明：如图1，连接 由（1）知，平分 ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴ ∵∠C＝∠B， ∴AB＝AC， ∵BE＝CF， ∴AE＝AF， 又∵DE＝DF， ∴AD垂直平分EF． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 23. 如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 【答案】（1）着火点C受洒水影响，理由见解析 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质， （1）过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与260进行比较即可求得答案； （2）以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F． 勾股定理求得，根据等腰三角形的性质进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【小问1详解】 解：着火点C受洒水影响，理由如下， 如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴着火点C受洒水影响； 【小问2详解】 解：能，理由如下： 如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴着火点C能被扑灭． 24. 【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在中，于点D，若，求证：． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在上截取，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点D．求证：． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形中，已知，，，，是的高，，，则的长为_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）18 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，连接，利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （3）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即； （2）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ∵等腰直角三角形中，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 附加题：（10分） 25. 已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． （1）当时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，t的值为________； （3）过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 【答案】（1） （2）或16或5 （3）5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． （1）根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）根据勾股定理求出 ， 连接，则．证明， 得到，则∴，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，，， 在中，根据勾股定理，得． 【小问2详解】 解：由题意可知，， ①当时， ∵， ，解得； ②当时，如图    ∵， ∴， ∴； ③若，则， 在中，， ∴ 解得：； 综上所述：t的值或16或5； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， 如图，连接，    ∵P在C点的左侧， ∴． 又∵，，且， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 如图中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式值为零，则的取值为（ ） A. B. C. D. 的值不存在 3. 若有意义，则x满足条件是 A. x≥-3且x≠1 B. x>-3且x≠1 C. x≥1 D. x≥-3 4. 下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 内错角相等 C. 若，则 D. 若，则 5. 用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到千分位） C. （精确到百分位） D. （精确到） 6. 下列各式的计算中，正确的是（ ） A. B. C D. 7. 如图，已知点、、、在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在中，，点D为边的中点，顶点B，C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边中点，DE⊥AB，并与AC边交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（　　） A. 2 B. C. D. 10. 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（） A. 6 B. 8 C. 9 D. 18 11. 如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 12. 如图，，，平分，点D，E关于对称，连接并延长，与的延长线交于点F，连接．以下结论：（1）垂直平分；（2）；（3）；（4）．正确的有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 13. _____． 14. 若实数满足，那么的值是________． 15. 如图，在中，是上的一点，分别是的中点，若，则的长是___________． 16. 如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 三、解答题（共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）解方程：． 18. 已知一个正数的平方根是和，的立方根是，是的整数部分，的平方根等于它本身． （1）_____，______，_____，_______； （2）求的平方根． 19. 先化简再求值：，． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 22. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）连接EF，求证：AD垂直平分EF． 23. 如图，有一架救火飞机沿东西方向由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且直线上A，B两点与点C的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点C受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机以的速度沿直线匀速飞行，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？ 24. 【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，中，于点D，若，求证：． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在上截取，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形中，，是的角平分线，交边于点D．求证：． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形中，已知，，，，是的高，，，则的长为_____． 附加题：（10分） 25. 已知在中，，，，点D是上一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P的运动时间为，连接． （1）当时，求的长度； （2）当为等腰三角形时，t的值为________； （3）过点D作于点E，当P在点C的左侧运动时，要使，_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $