1.2 等腰三角形 寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形-寒假预习课时练 一、单选题 1.在RIAABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=4,则AB等于() A.2 B.8 C.4 D.6 2.己知直角三角形30°角所对的直角边长为5，则斜边的长为() A.5 B.10 C.8 D.12 3.如图，等腰ABC中∠ACB=120。,在底边上取点D,使得AC⊥CD,若AB=6,则CD等于() D B A.2 B.3 C.2.5 D.3.5 4.如图，在ABC中，∠C=60°，过点A作AD⊥BC于点D,过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,若 AF=DF,EF=1,则BE长为() A.5V5 B.45 C.5 D.4 5.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7,BD是ABC的角平分线，点P,点N分别是BD,AC 边上的动点，点M在BC上，且BM=1,则PM+PN的最小值为() A D N M 1/6 A.3 B.25 C.3.5 D.35 6.如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°，跨度BC=8m,AD为支柱（即底边BC的 中线)、两根支撑架DE⊥AB、DF⊥AC,则DE+DF等于() D A.8m B.4m C.2m D.7.5m 7.如图，在ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=28°，则∠C的度数是() A.38° B.40° C.45° D.76 8.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE,PF分别交AB、AC于 点E、F.给出下列四个结论：①△APE≌△CPF;②BE-AF;③△EAF是等腰直角三角形；④ S。Bc=2S因边形HEPF,上述结论正确的有(） E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.己知等腰三角形ABC的周长为I8,BC=8,若△ABC≌△DEF,则aDEF的边DE等于() A.8 B.2或5或7 C.5或8 D.2或5或8 10..如图，梯形ABCD中，AD‖BC,点M是AD的中点，且MB=MC,若AD=4,AB=6,BC=8,则梯形ABCD 的周长为() 2/6 A.22 B.24 C.26 D.28 二、填空题 11.如图，以点A,B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个. B 12.如图，∠A0B=15°，P是OA上一点，P与P关于OB对称，作P'M⊥OA于点M,OP=4,则 MP'=· A 13.一个等腰三角形的一边长为6cm,周长为20cm,则它的底边长为」 14.如图，在△ACD中，AD=BD=BC,若∠C=25°，则∠ADB= A B D 15.如图，等腰Rt△ABC的直角顶点C在直线1上，AD⊥直线I于点D,若CD=22,则△BCD的面积为 B C A 16.如图，在ABC中，CD平分∠BCA,点E是BA的中点，过点E作EG∥CD,交BC的延长线于点G,若 C吓=4F1,则8C= 3/6 G ED B 三、解答题 17.如图，ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC,若BD=6,求AC的长. C D A B l8.已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F,DE=DF. 求证：ADLBC. A 19.如图，以ABC的边AB,AC向外作等边△ABE和△ACD,连接BD,CE. A G B C (I)线段CE和BD有什么数量关系？试证明你的结论 4/6 (2)求出∠DFC的度数. 20.如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分 别从A,B处望灯塔C,测得∠NAC=30°，∠NBC=60° 609 B 30 (1)求海岛B到灯塔C的距离： (②)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 21.已知：如图，∠MAN=a(0°<a<45）. 求作：ABC,使得LABC=2LBAC, 作法：①在射线AN上取点O,以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线AM于点C;②连接CO;③以点C 为圆心，CO长为半径画弧，交射线AN于点B;连接CB,△ABC就是所求作的三角形.使用直尺和圆规，依作法 补全图形（保留作图痕迹） M A -N 22.如图，在等腰ABC中，AB=AC,BC=8,∠BAC=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D,AD=4, 点E是AB的中点，连接DE. B D (1)求∠B的度数； (2)求三角形BDE的面积. 23.如图，等边ABC边长为3，点D为AB边上的一动点(D不与A、B重合).过点A折叠ABC,使点B 与C重合，得折痕AF交BC于F,然后展开；再过点D折叠ABC,折痕DE交AC于点E,使点A落在折痕 AF所在的直线上，记为点P,两折痕AF与DE交于点O. 5/6 D E B F B F 图1 图2 (1)求证：DE∥BC; (2)点D在运动过程中，ADE始终是等边三角形吗？请说明理由： (3)连接DP、BP,当△BDP为直角三角形时，求AD的长， 24.已知：如图，在ABC中，∠A=120°，AB=AC,D是BC边的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,点E、F为垂足. D (1)求∠B、∠C的度数： (2)求证：△BDE≌aCDF; (3)求证：△DEF是等边三角形. 6/6 1.2 等腰三角形-寒假预习课时练 一、单选题 1．在中，，，，则等于（　　） A．2 B．8 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据在直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，熟练掌握“在直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键． 2．已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为（    ） A．5 B．10 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中有一个角等于，它所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】因为直角三角形所对的直角边为5， 所以斜边长为． 故选：B． 3．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 4．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先求出，连用两次30度角的性质即可求出长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．3.5 D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， 此时，△中，， ， 的最小值为3， 故选择A． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 6．如图所示是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱即底边的中线、两根支撑架、，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，，两式相加，即可证明，掌握直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，，垂足为，， ，， ， ． 故选：． 7．如图，在中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，，，直角的顶点P是中点，，分别交、于点E、F．给出下列四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④，上述结论正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，从而可得，利用“”证明，再根据全等三角形的性质可得，，，即可求解． 【详解】解：∵，，点P是中点， ∴，，， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，故③错误； ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 9．已知等腰三角形的周长为18，，若，则的边等于（    ） A．8 B．2或5或7 C．5或8 D．2或5或8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【详解】解：当为腰时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为8和， 当为底时，等腰三角形的周长为18， ∴另两边为和5， ∵， ∴的边等于2或5或8， 故选：D． 10．．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（　　） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【详解】先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长． 解：∵AD∥BC， ∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB， 又∵MC=MB， ∴∠MBC=∠MCB， ∴∠AMB=∠DMC， 在△AMB和△DMC中， ∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC ∴△AMB≌△DMC， ∴AB=DC， 四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24． 故选B． 二、填空题 11．如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 12．如图，，P是OA上一点，P与关于OB对称，作于点M，，则 ． 【答案】2 【分析】连接，根据对称的性质可得：，然后在中，利用角所对直角边是斜边的一半即可得． 【详解】解：连接，如图所示： ∵P与关于OB对称， ∴，， ∴， ∵， ∴在中， ， 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查轴对称的性质，直角三角形中的性质等，理解题意，作出辅助线，结合这几个性质是解题关键． 13．一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，则它的底边长为 ． 【答案】6cm或8cm 【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解． 【详解】解：①6cm是底边时，腰长=（20-6）=7cm， 此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm， 能组成三角形， ②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm， 此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm， 能组成三角形， 综上所述，底边长为6cm或8cm． 故答案为：6cm或8cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 14．如图，在△ACD中， AD=BD=BC，若∠C=25°，则∠ADB= ． 【答案】80° 【分析】首先利用等腰三角形的性质得到∠C=∠BDC，利用三角形的外角的性质得到∠A和∠ABD的度数，从而确定∠ADB的度数． 【详解】解：∵BD=BC，∠C=25°， ∴∠C=∠BDC=25°， ∴∠ABD=∠C+∠BDC=50°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠DBA=50°， ∴∠ADB=180°-∠A-∠DBA=80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解答过程中两次运用“等边对等角”，难度不大． 15．如图，等腰的直角顶点在直线上，直线于点，若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．过点B作于点E，则，证明，则，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点B作于点E，则， ∵等腰的直角顶点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：4 16．如图，在中，平分，点是的中点，过点作，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，进而得到，延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 三、解答题 17．如图，中，，，平分，若，求的长．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义求得，可得的直角边是斜边长度的一半；然后由三角形的外角定理知，可得，根据等角对等边可知，根据可得结论． 【详解】解：∵中，，，平分， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为．    【点睛】本题考查角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 18．已知：如图，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，DE＝DF． 求证：AD⊥BC． 【答案】见解析. 【分析】求出△BDE和△CDF都是直角三角形．根据HL证△BDE≌△CDF，推出∠B=∠C，推出AB=AC，根据等腰三角形的三线合一推出即可． 【详解】证明：∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△BDE和△CDF都是直角三角形， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）． ∴AB＝AC （等角对等边）． ∵AB＝AC，点 D是BC的中点， ∴AD⊥BC （等腰三角形的三线合一）． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是证出△ABC是等腰三角形. 19．如图，以的边向外作等边和，连接． （1）线段和有什么数量关系？试证明你的结论． （2）求出的度数． 【答案】（1）相等，见解析；（2） 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明△EAC≌△BAD，即可得到结论； （2）根据△EAC≌△BAD的性质证明即可． 【详解】（1）线段和相等． 证明：在等边和中，AE=AB，AC=AD，， ∴，即， ∴△EAC≌△BAD， ∴CE=BD； （2）∵△EAC≌△BAD， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． 20．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以10海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得． (1)求海岛B到灯塔C的距离； (2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？ 【答案】(1)海岛到灯塔的距离为20海里 (2)还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，得，那么，即可求解； （2）如图，过点作于点，根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，据此求出的长度和需要的时间即可． 【详解】（1）解：由题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴（海里）． 答：海岛到灯塔的距离为20海里； （2）解：如图，过点作于点， 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，， 又∵， ∴， 在中，， ∴（海里）， （小时）． 答：还要经过1小时，小船与灯塔的距离最短． 21．已知：如图，． 求作：，使得， 作法：①在射线上取点O，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点C；②连接；③以点C为圆心，长为半径画弧，交射线于点B；连接就是所求作的三角形．使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，根据题目中的作法，直接作图即可． 【详解】解：如图所示： 22．如图，在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接． (1)求的度数； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等边对等角可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案； （2）由三线合一可得，点是中点，然后根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，是的平分线， ，点是中点， ， 点是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三线合一，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握在等高时三角形的面积之比即为底边之比是解题的关键． 23．如图，等边边长为3，点D为边上的一动点（D不与A、B重合）．过点A折叠，使点B与C重合，得折痕交于F，然后展开；再过点D折叠，折痕交于点E，使点A落在折痕所在的直线上，记为点P，两折痕与交于点O． (1)求证：； (2)点D在运动过程中，始终是等边三角形吗？请说明理由； (3)连接，当为直角三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质和直角三角形的性质． （1）根据轴对称的性质证明，，即可证明； （2）由，推出，即可证明为等边三角形； （3）分或两种情况，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，与关于直线成轴对称， ， 又与关于直线成轴对称， ， ∴， ∴； （2）解：点D在运动过程中，始终是等边三角形，理由如下： 为等边三角形， ． 由（1）可知，， ， ， 为等边三角形； （3）解：始终为等边三角形， ， ∴分或两种情况， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ②当时， 同理可得， 即． 综上所述，当是直角三角形时，或． 24．已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 试卷第2页，共20页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $