1.7 正方形课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦正方形的定义、性质及判定，通过生活中正方形实例导入，引导学生观察矩形添加邻边相等、菱形添加直角后转化为正方形，建立与平行四边形、矩形、菱形的知识联系，搭建学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合例题（如例1证DE=DF）和随堂演练（如证矩形CFDE为正方形）培养推理能力，课堂小结结构化呈现知识要点。体现数学眼光（观察现实）、数学思维（逻辑推理），助力学生构建知识体系，教师教学更具系统性与高效性。

1.7 正方形 湘教版 八年级下册 第1章 四边形 定义 边 角 对 角 线 对 称 性 平行 四边形 矩 形 菱 形 几种特殊四边形的定义及性质 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边都相等 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形、 中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 两组对边分别平行的四边形 有一个角是直角的平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形 知识回顾 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情景导入 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 矩 形 有一组邻边相等 获取新知 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 菱形 有一个角是直角 正方形的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形 发现 正方形既是矩形又是菱形. 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 菱形 正方形 矩形 我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 知识要点 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四条边都相等,四个角都是直角. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 结论 1. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 2. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此： 例1 如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F. 求证：DE = DF. ∴ AD = CD， ∠A =∠ADC=∠DCF = 90°. 证明 ∵ 四边形ABCD为正方形， ∵ DF⊥DE， ∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°， 又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°， ∴ ∠1 =∠2. ∴ △AED≌△CFD （ASA）. ∴ DE = DF. 例题讲解 观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？ 可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. 探究 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 菱形 正方形 矩形 获取新知 例2 如图， 已知点A′，B′， C′， D′分别是正方形ABCD 四条边上的点， 并且AA′= BB′= CC′= DD′. 求证：四边形A′B′C′D′是正方形. 证明: ∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ AB = BC . 又∵ AA′ = BB′ ， ∴ A′B = B′C . 又∵ ∠B =∠C = 90°，BB′ =CC′， ∴ △BB′A′≌△CC′B′.∴B′A′= C′B′. 例题讲解 ∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′. ∴ 四边形A′B′C′D′是菱形. 又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°， ∴ ∠2 +∠3 = 90°. ∴ ∠D′A′B′= 90°. ∴ 四边形A′B′C′D′是正方形. 同理可证，△AA′D′≌△DD′C′，△AA′D′≌△BB′A′ 4 1 有一个角是直角或对角线相等 随堂演练 4. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE＝CF. 求证：△ABE≌△BCF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°. 在△ABE和△BCF中， AB=BC,∠ABE＝∠C, BE=CF， ∴△ABE≌△BCF. G 6．(1)【初步尝试】如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN.用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系：________________. DM＋BN＝MN (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图②，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN＝45°，连接MN，试猜想线段MN，DM，BN的数量关系； 【解】猜想：BN－DM＝MN. 如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，所以DM＝BE，AM＝AE，∠EAM＝∠ADM＝∠ABE＝90°.所以E在BC上． 因为∠MAE＝90°，∠MAN＝45°，所以 ∠EAN＝45°＝∠MAN. 因为AN＝AN，所以△EAN≌△MAN. 所以EN＝MN.所以BN－BE＝MN. 所以BN－DM＝MN. (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN＝60°，试猜想线段BN，DM，MN的数量关系. 【解】猜想：DM＋BN＝MN. 如图②，将△ADM绕点A顺时针旋转120°，点D与点B重合，得到△ABE，所以DM＝BE，AM＝AE，∠EAM＝120°，∠D＝∠ABE.因为∠EAM＝120°，∠MAN＝60°， 所以∠EAN＝∠MAN.因为∠ABC＋∠D＝180°， 所以∠ABE＋∠ABC＝∠D＋∠ABC＝180°. 所以E，B，N三点共线．因为AN＝AN， 所以△EAN≌△MAN. 所以EN＝MN.所以EB＋BN＝MN. 所以DM＋BN＝MN. 1.四条边都相等，四个角都是直角 2.对角线相等且互相垂直平分 3.既是轴对称图形又是中心对称图形 正方形 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 判定 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 平行四 边形 菱形 正方形 矩形 课堂小结 1.正方形有　　　　条对称轴.  2.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,则阴影部分的面积是　　　　.  3.要使一个菱形成为正方形,需添加的一个条件为　　　　　 　　　　　.  5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD,BD分别平分∠BAC,∠ABC并相交于点D,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F. 求证:四边形CFDE是正方形. 解: 过点D作DG⊥AB,垂足为G. ∵∠CFD=∠CED=∠C=90°, ∴四边形CFDE是矩形. ∵AD,BD分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∴DF=DG,DG=DE,∴DF=DE, ∴矩形CFDE是正方形. $