江西省上饶市玉山县第一中学2025届高三上学期高考模拟考试（一）数学试卷

保密★启用前 2025年普通高等学校招生考试模拟考试（一） 数 学 考生注意： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．复数对应的向量如图所示，则 A． B． C． D． 3．已知函数，若，则 A．2 B．1 C．0 D． 4．在的展开式中，若与的系数相同，则 A．4 B．3 C．2 D．1 5．函数的极小值为 A． B．0 C．2 D．4 6．设双曲线的左焦点为，过坐标原点的直线与交于，B两点，且，则的离心率为 A． B．2 C． D． 7．0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列满足：所有项均是0或1，当且仅当（其中为正整数）时，，其余项为0．则满足的最小的正整数 A．50 B．51 C．52 D．53 8．已知定义在R上的函数满足，对任意，有，则 A． B．1 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列方程所表示的圆能同时与x轴和直线相切的有 A． B． C． D． 10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以、 的方式赋分，其中分别表示甲、乙两班原始考分，分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则 A．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高 B．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高 C．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数 D．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高 11．声音由物体振动产生的声波形成，每个音可由纯音合成，纯音数学模型为函数.音的四要素与函数参数有关，如音调与频率相关，频率低声音低沉，频率高音尖利，日常听到的是复合音，其函数为，结合材料及所学知识，判断下列说法正确的是 A．函数的图象不具有对称性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应的函数近似为，则声音甲比纯音更低沉 D．记，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知随机变量服从正态分布，且，则 ． 13．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则 ． 14．在中，内角，所对的边分别为，已知，，且，则 的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区随机抽取200人进行调查，得到如下列联表： 学业成绩 日均体育锻炼时长（单位：小时） 其它 合计 优秀 40 60 100 不优秀 25 75 100 合计 65 135 200 (1) 记学业成绩优秀的学生中日均体育锻炼时长为1至2小时的概率为，给出的估计值； (2) 是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关？ 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 附：. 16.（15分） 已知是正项递增的等比数列，且，．数列是等差数列，且． (1) 分别求数列和数列的通项公式； (2) 设，求数列前n项和． 17.（15分） 如图，在四棱台中，底面为等腰梯形，，平面平面，平面平面． (1) 证明：平面； (2) 若，，，求平面与平面DBC1夹角的余弦值． 18.（17分） 已知函数. (1) 当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (2) 若对任意的，恒成立，求的取值范围. 19.（17分） 在平面直角坐标系中，直线过点且与抛物线交于两点，． (1)求的方程． (2)如图，分别以为直径作圆． （i）求圆的面积之和的最小值； （ii）当变化时，求圆的公切线的所有交点的运动轨迹的方程． 数学试题 第7页（共4页） 数学试题 第8页（共4页） 数学试题 第5页（共4页） 数学试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025年普通高等学校招生考试模拟考试（一） 数学参考详解与分析 1.C 【分析】根据集合中的元素性质求解集合B,再根据交集的概念计算即可。 【详解】因为(-2)=4∈A02=0∈A12=1∈A22=4eA4216EA, 所以B={-2,0,1,2},故A∩B={-2,0,1,2}· 故选：C. 2.B 【分析】根据图像可得z=2-i,再由复数的除法计算即可. 【详解】由题意，z=2-i,所 2-i2-i1_2i-=1+2i. -i-i-(-1) 故选：B. 3.A 【分析】构造奇函数，利用函数的平移，可得函数f(x)的对称性，可得答案 【详解】设g(x)=sinx+x,由于g(x)=-g(-x), 故g(x)为R上的奇函数，则g(x)的图象关于原点对称. 又f(x)=g(x-1)+1,所以f(x)的图象关于(1,1)对称， 即f(x)+f(2-x)=2,由f(a)+f(b)=2,所以a+b=2, 故选：A. 4.C 【分析】由二项式展开式的通项公式以及组合数性质即可计算求解， 【详解】(1+x)‘的展开式的通项公式为C。x, 因为x与x+2系数相同，所以C。=C”, 所以k+(亿+2)=6，解得k=2. 故选：C 5.B 【分析】利用导数分析函数∫(x)的单调性，由此可求得函数∫(x)的极小值. 【详解】由f(x)=(x+2)(x-1), 可得f'(x)=(x-1)+2(x+2)(x-1)=(x-1)(x-1)+2(x+2)=(x-1)(3x+3), 答案第1页，共11页 当x<-1时，f'(x)>0,f(x)在(-o,-1)上单调递增， 当-1<x<1时，f'(x)<0,f(x)在(-1,1)上单调递减， 当x>1时，f(x)>0,f(x)在(1，+o)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(1)=(1+2)1-1)=0 故选：B. 6.D 【分析】根据双曲线的对称性得到B=FA,然后根据双曲线的定义列方程，得到FA,F,A,最后利用余弦定理列 等式，整理即可得到离心率， 【详解】 设双曲线的右焦点为， 根据双曲线的对称性得到RB=BA,∠RAR,=n-∠BRA= 3 由双曲线的定义得FA-E,A=EA=2a,所以FA=4a, 在aRA迟中，由余弦定理得cos∠RAR=16a+4-4c-1, 2.4a.2a 21 a=7,所以e-6=V7 整理得 a 故选：D. 7.B 【分析】由题意可得 a+42+4+4+a=1 41+aa+a3+a4+a5=2’则a,=a,=La:=a,=%,=0,根据20=1+2x9+1即可求 解 【详解】由题意知，4=42=4=4=0，a4=1, 且ak1=ak4=1,a+2=a3=45=0,k∈N, 即 a+a+a+a+as =1 a+1+4#+2+43+at4+a=2’ 当k=10时，41=44=1，a52=43=45=0, 答案第2页，共11页 由于20=1+2×9+1，所以满足∑a=20的n的最小值为51， 1=1 故选：B 8.A 【分析】根据题干等式的函数性质，求出函数解析式，进而根据裂项求和法，求出结果. 【详解】在f(xy-1)=f(x)f(y)+f(y)+x-2中，令x=0,得f(-1)=f(0)f)+f(y)-2,且f0)=-1,故f(-1)=-2; 令y=0,得f(-1)=f(x)f(0)+f(0)+x-2,所以f(x)=x-1. 1 111 所以 f6x+0f(x+2)(x+)xx+1' u空00西1} 51 11 12025 -=1 20252026-120262026 故选：A. 9.BC 【分析】利用圆的切线性质，结合点到直线的距离公式逐项判断得解 【详解】对于A,圆(x+V5)2+(y-1)2=1的圆心(-√3,1)，半径1，圆心到直线V3x-y=0的 距离为 VBx)-1-2>1,该圆与直线y=V5x不相切，A不是： V(W3)2+(-102 对于B,圆(x-V3)2+(-1)2=1的圆心(3,1)，半径1，圆心到直线√3.x-y=0的 3x5-1 距离 V5)2+(-10 =1，圆心到x轴的距离也为1，该圆与x轴和直线y=√3x都相切，B是： 对于C,圆(x+3)2+(y+V3)2=3的圆心(-3，-√3)，半径√5，圆心到直线√3x-y=0 W3x(-3)+5 的距离 VW32+1)月 √3，圆心到x轴的距离也为V,该圆与x轴和直线y=√3x都相切，C是； 对于D,圆(x+V3)2+(y+3)2=3的圆心(-√3，-3)，半径5，圆心到x轴的距离为3， 该圆与x轴不相切，D不是. 故选：BC 10.ACD 【分析】根据期望和标准差的性质求出赋分前的期望和标准差即可判断AB;作差比较，结合自变量范围即可判断C: 作出函数y=0.8x+20,y=0.75x+25的图象，结合图象可判断D 【详解】对AB,由题知E()=E()=60,√D(y)=16,VD()=15, 因为y=0.8x+20,2=0.75x2+25, 所以0.8B(x)+20=60,0.75E(x)+25=60,0.8VD(s)=16,0.75D(x)=15, 解得E(x)=50,E(x2)≈46.7，D(x)=20,√D(x)=20, 所以E(s)>E(),√D(x)=VD(),故A正确，B错误； 对C,因为y-x=20-0.2x,x∈[0,100]， 答案第3页，共11页 所以0≤20-0.2x≤20，即4-x≥0，所以C正确： 对D,作出函数y=0.8.x+20,y=0.75x+25的图象，如图所示： yy=0.8x+20 100-- y=0.75x+25 x2x1100 由图可知，当乃=y2<100时，有x2<x1, 又因为y=0.8x+20单调递增，所以当y>y2时必有x>x2,D正确. 故选：ACD 11.BCD 【分析】对于A利用函数奇偶性的定义判断即可；对于B利用增函数和增函数的和仍为增函数来判断：对于C求出两 个函数的周期，进而得到频率大小，即可判断对于D由诱导公式及换元法求解. 【详解】 f(-sm(0+2(20+5n(30+n(40+ sin(-50m)= 1 -mx方m2x-写m3x-子m4-0im(60)=-), 50 故f(x)为R上的奇函数，图象关于原点对称，故选项A错误： ππ π兀 当xe12'12 时，2x [3xe4 66} 故y=sinx,y= n2x.v=n3,在 九π 12'12 上都是增函数， 则吾 上单调递增，选项B正确： 因为y=smx的最小正周期为2远少-号sn2x的最小正周期为元， 质以g的技小周期内2x,其氨率=子会业， 纯音加)简最小正周期为年-子其频率人-宁，声音甲价领率更低。 故声音甲比纯音h(x)低沉，选项C正确： F)=sinx+sim+）+ain(2x+心sir+coa- 22 2 令sinx+cosx=t,t∈[-V2,V], 半方可得：1+血2x=产，代入上式得y=1北-刂-+：分1[反。 由次函数知识，2√2 故选项D正确， 故选：BCD. 12.02g 答案第4页，共11页 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解即可. 【详解】因为X服从正态分布，且P(3<X≤4)=0.3，则P(X>4)=0.5-0.3=0.2. 故答案为：0.2. 13.2 【分析】由题可得曲线y=ln(x-2)+4在x=3处的切线，然后设切线与曲线y=x2-x+a相切的切点为(x2,x-x2+a), 利用两条切线相同可得答案。 【详解】设f-=ne-2到1，则了e)了3)=1， 所以曲线y=ln(x-2)+4在点(3,4)处的切线方程为y-4=1×(x-3), 化为y=x+1. 设g(x)=x2-x+a,则g(x)=2x-1, 又设切线与曲线y=x2-x+a相切的切点为(x2,x-x2+4), 由题，得2x2-1=1,解得x2=1,则切点为(1，a). 因为切点在切线y=x+1上，则a=1+1=2. 故答案为：2 14.2626 99 【分析】首先通过角化边和正余弦定理，根据题中条件得到C=2A,再对sinB-sA进行化简，换元，借助导函数研究 其最大值即可 【详解】由正弦定理，b=ab2-a+a,则有(a-b)1-a2-ab)=0, 由于a≠b,所以a2+ab=1=c2, 由余弦定理得，a2+ab=a2+b2-2 abcosC,则a+2 acosC=b, 又由正弦定理，得sinA+2 sinAcosC=sinB=sin(A+C),即siA=sin(C-A), 则有C-A=A,即C=2A. 因为C=2A,所以B=元-A-C=元-3M>0,故0<A< 行，则sim4∈a 2 sinB-sin4=sin(A+C)-sinA=sin3A-sinA=sin2Acos4+cos2AsinA-sin =2sinAcos2A+(1-2sin2A sinA-sinA=-4sin3A+2sinA, 设x=sm4eQ, 2 ,f(x)=-4x3+2x,则f"(x)=-12x2+2, 令)=0，得x=5,或=-6（合）， 6 6 当0<x<后时，0，则/倒在0后 上单调递增， 6 ”6 答案第5页，共11页 当6时，r()<0,则)在6分 V6√3 上单调递减， 6 故当x=5时，f(因取最大值， 6 √6 2W6 故sinB-sinA最大值为f 6 9 故答案为： 2W6 9 【点睛】关键点点睛： 本题的关键是对sinB-sinA进行减少变量的处理，用一个角表示sinB-simA,再通过换元，转变成函数定区间求最大值的 问题. 15.(1)0.4 (2)有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关 【分析】(1)根据列联表中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解： (2)根据列联表中的数据，利用公式求得x2≈5.128，结合附表，即可得到答案. 【详解】(1)解：由列联表知，学业成绩优秀的学生共有100人， 其中日均体育锻炼时长为1至2小时的有40人， 根据古典概型的概率计算公式，可得概率为p= 40=0.4, 100 所以P的估计值为0.4. (2)解：零假设，学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时无关， 由2x2的列联表中的数据，可得：x-200x40x7560x2=200x150x1505.128, 65×135×100×100 65×135×100×100 因为5.128>3.841， 所以零假设不成立，故有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长为1至2小时有关. 16.(1)4=2-,bn=2n-1 (2)1-(-2) 1 6 4n+2 【分析】(1)应用等比数列通项公式建立方程组可解出a,利用待定系数法可求出b: (2)应用等比数列求和公式与裂项相消方法可求出S. 【详解】(1)解：设等比数列{a}的公比为q,且有g>1, 由于 aq=64, 解得 4=1, aq+a4q=20, 9=2, 所以数列{a}的通项公式为a=2-1. 由于b}是等差数列，设b,=An+B, 则有(+1)bn=(+1)(An+B)=A2+A+B)+B=2n2+n+C, 答案第6页，共11页 〔A=2 「A=2 所以{A+B=1,解得{B=-1 B=C C=-1 所以数列b}的通项公式为b.=2-1. a解由-tn西=(3品 1 所以Sn=C+C2+…+Cn =-[-2+2或-+2r0G引3】 1 _1-(-2)1 1 6 4n+2 17.(1)证明见解析 (2)34 34 【分析】(1)在平面ABCD内构造一点，分别向AB、AD作垂线，应用面面垂直的性质证出AA垂直于平面ABCD内两 条相交线，再应用线面垂直的判定定理即可证明； (2)以点A为坐标原点，A4为z轴建立适当的空间直角坐标系，应用空间向量法解出两面夹角余弦即可. 【详解】(1)证明：如图4，在平面ABCD上任取一点H, 作HE⊥AB交AB于点E,作HF⊥AD交AD于点F, 由于平面ADDA⊥平面ABCD,平面ADDA平面ABCD=AD,HF⊥AD, 所以HF⊥平面ADDA, 又因为AAc平面ADDA,所以HF⊥AA: 同理：可得HE⊥A4, 又因为HE∩HF=H且HEc平面ABCD,HFC平面ABCD, 所以AA⊥平面ABCD. 答案第7页，共11页 R H G 图4 (2)解：由(1)知：AA⊥平面ABC,过A点作AG⊥AD交BC于点G, 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 由于AB=AD=AA,=4,∠BAD=120°， 所以A(0,0,0),B2W3,-2,0),C(23,6,0）,D(0,4,0),A(0,0,4), 在四棱台ABCD-ABCD中，由于AB=24B,可得B(N5,-1,4): 同理，由于BC=2B,C,可得C（V3,3,4: 所以4C=(3,3,0）,BC=(3,54),DB=(25,-6,0), 设平面ABC的法向量m=(x,y1,乙)， a。- 由 ,即 设平面DBC1的法向量n=(x2,y2,22), iDB=0 2W3x,-6y2=0 由 ,即 元.BC=0 ,可取i=(23,2,-1), -V3x2+5y,+4z2=0 所以os(m i列。 2 V34 m同8xV1734, 所以平面ABC与平面DBC,夹角的余弦值为V34 34 18.1)函数f()在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为4e-4 1 ②a的取值范国为1+合+ 【分析】(1)结合导数的几何意义求函数f(x)=2e-lhx-x在x=1处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求 结论； (2)由已知当x>1时，不等式axe≥ln(xe)ere恒成立，证明函数g(x)=xe*,xe(0,+o)的单调性，由此可得当x>1 答案第8页，共11页 时，a≥1+ +血恒成立，利用导数求函数(x)=1+血x,x∈(，+)的最大值，由此可得结论 【详解】(1)因为f(x)=aea-s-lr-x,a=2, 所以f(x)=2e-lnr-x, 所以函数f(y)=2e*-lnx-x的定义域为(0，+)，f"(x)=2e-1-1,f(①)=2e-lnl-1=2e-1, 所以f'(1)=2e-1-1=2e-2, 所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y-（2e-1)=(2e-2)(x-1),即y=(2e-2)x+1, 取x=0,可得y=1,所以直线y=(2e-2)x+1与y轴的交点为(0,1)， 取=0，可得x=, 2e2”所以直线y(2e-2)x+1与x轴的交点为2e-20 所以函数f(x)在x=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积S=×1×,1。=,1 2 2e-24e-4' (2)因为f(x)=aea--nr-x, 不等式f(x)≥0台aea--lnr-x≥0一aer≥e(nr+x),又x>1, 所以不等式f(r)≥0一ae≥re(nr+lne)台are“≥n(xe')ee), 由已知当x>1时，不等式are“≥ln(xe)ee)恒成立，故a>0, 设g(x)=xe,xe(0,+o),则g'(x)=e+xe>0, 函数g(x)=e*在(0，+∞)上单调递增， 当x>1时，xe>e,n(xe)>1,ar>0, 所以不等式axe"≥ln(e)ee)台ar≥h(xe)台m≥x+lnx一a≥1+hx 所以当x>1时，a≥1+血恒成立， 设h(x)=1+血x,x∈(L+o),则x)=1-血x, 令)=1-nx=0,可得x=e, x2 当1<r<e时，M(s)>0,函数hy)=1+hx在L,e)上单调递增， 当，x>e时，M(e)<0,函数)=1+血在(e,+)上单调递减， 所以当x>1时，)=1+如sMe)=1+ e 1 所以a≥1+ e 答案第9页，共11页 所以a的取值范国为1+。+o 19.(1)y2=4x (2)(i)8π；(ii)x=0(y≠0)，x=2,x=6. 【分析】(1)由题意知，1与x轴不重合，设1：x=y+4,与抛物线方程联立，由韦达定理及OA.OB=0进行求解： (2)①)由题意知圆C,C,的面积之和S=4+B）=(m+1(+)利用韦达定理及二次函数求解：(i由题 意知圆C,C,外切，有一条内公切线l和两条外公切线l2,1.分m=0时和m≠0时进行求解. 【详解】(1)由题意知，1与x轴不重合，设1：x=y+4, 「x=0y+4, 由=2x得-2mw-8p=0, 设A(,),B(x2,2),则y1+y2=2p,y2=-8p, 因为OA⊥OB,所以OA.OB=0, 即*水倍16-即-0 所以p=2,即C的方程为y2=4x. (2)(①由题意知圆C,C,的面积之和S=AP叶+BP）, 设A(6,),B(x2,2),点P(4,0), AP+BP=(x-4)++(,-4)2+ =(y+4-4)2+y+(,+4-4)2+号 =(m2+1)(y+) +y2=(y+y2)'-2yy2=(4m)-2×(-16)=16m2+32, 令n=m2,则n≥0，则S=4π(m2+1)(m2+2)=4π(n+1)(n+2)=4π(n2+3n+2）, 这是个图象开口向上的二次函数，在n≥0时单调递增， 所以Smm=4π(0+1)(0+2)=8m. (ii)由题意知圆C,C2外切，有一条内公切线和两条外公切线l2,4. 设1：x=y+4,当l=0时，：x=4, 此时圆C,C,的圆心横坐标均为4，半径均为2， 三条公切线分别为：y=0,12:x=2,1:x=6, 公切线的交点有两个：(2,0)，(6,0). 答案第10页，共11页