精品解析：辽宁省丹东市东港市第一中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟 2．所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 清代袁枚写的诗《苔》中有这样一句：“苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉半径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 若使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 说明的依据是 B. C. 上任意一点到两边的距离相等 D. 点M，N到的距离不相等 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 12. 计算： ______ ． 13. 等腰三角形的一边长是6，周长是16，则其另外两边长是______． 14. 在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 如图，中，，． （1）作边的垂直平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 20. 日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． （1）请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； （2）请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 21. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场至少购进乙种商品多少个？ 22. 【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 23. 在等边中，，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共23小题，满分120分．考试时间120分钟 2．所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 以下四个运动图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：B项中的图象能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：B． 2. 清代袁枚写的诗《苔》中有这样一句：“苔花如米小，也学牡丹开”．若苔花的花粉半径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用科学记数法的知识进行表示即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a与的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法． 3. 若点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 故选：D 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点坐标的关系，解题的关键在于明确关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数． 4. 若使分式有意义，则应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件：分母不为零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义需分母， ∴， 故选：C． 5. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意； 符合因式分解的定义，则B符合题意； 左右两边不相等，则C不符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 7. 如图，点E在上，点F在上，，，判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，发现隐含条件是解题的关键．由已知条件可得，，再结合隐含条件即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 8. 如图是屋架设计图的一部分，立柱，，，则立柱的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 故选：B． 9. 如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：，该选项正确，符合题意； ，应为，该选项错误，不符合题意； ，该选项正确，符合题意； ，该选项正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 10. 用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示，则下列结论中错误的是（ ） A. 说明的依据是 B. C. 上任意一点到两边的距离相等 D. 点M，N到的距离不相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的作图，角平分线性质的证明，三角形全等的判定和性质．根据作图可得，证明即可判断A；根据作图即可判断B；点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H，证明即可判断C；过点N作于点P，过点M作于点Q，证明，即可判断D． 【详解】解：A、由作图可知：， 又， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、由作图可得：，故B正确，不符合题意； C、点E为上任意一点，过点E作于点G，于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴上任意一点到两边的距离相等， 故C正确，不符合题意； D、过点N作于点P，过点M作于点Q， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】考察零指数幂法则，任何非零数的0次幂都等于1．易错点注意底数不能为0． 根据，所以，即可得答案． 【详解】因为 ，大于 3.14，所以 ， 因此 ． 故答案为：1． 12. 计算： ______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 13. 等腰三角形的一边长是6，周长是16，则其另外两边长是______． 【答案】5和5或4和6 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为6的边是腰时和边长为6的边是底边，根据等腰三角形的定义求出另外两边的长，再根据构成三角形的条件验证即可． 【详解】解：当边长为6的边是腰时，则底边长为， 此时该三角形的三边长分别为6，6，4， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当边长为6的边是底边时，则腰长为， 此时该三角形的三边长分别为5，5，6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的另外两边长为5和5或4和6， 故答案为：5和5或4和6． 14. 在现代生活中，人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到016128，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码______． 【答案】131619 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，首先对多项式进行因式分解，提取公因式后应用平方差公式，得到因式分解形式．然后代入，计算各因式的值，最后将这些值从小到大排列形成密码． 【详解】解：， 当，时，， ∵， ∴用上述方法产生的密码为， 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的P点． 连接交于点，连接，，根据两点之间线段最短，得出、、在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、、在同一直线上时，最小，即最小， ∵是的中点，是等边三角形， ∵，, ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的乘方运算，负整数指数幂，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把负整数指数幂化为分式的形式，再根据分式的乘方运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及代数式求值，熟练掌握分式运算法则和因式分解方法是解题的关键．先对分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算转化为乘法运算并约分，再与后面的分式进行通分合并，得到最简分式后，代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． 在和中， ， ∴． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由（1）得，由三角形内角和定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ． 19. 如图，中，，． （1）作边的垂直平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，是边的垂直平分线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）分别以点、点为圆心，大于长度为半径画弧线，在线段的两侧有两个交点，过两交点作直线，即为所求． （2）由，，可求出的度数，由垂直平分线的性质可得，从而，进而可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线，点在上， ∴， ∴， ∴． 20. 日历是古代劳动人民智慧的结晶，小小的日历里面蕴藏着丰富的数学知识．偶尔翻开2024年1月的日历如图，将第一个方格中的四个数字做如下变换“”，再将第二个方格中的四个数字做同样的变换“”我们惊喜地发现这好像是日历中普遍存在的一个规律． （1）请同学们在2024年2月的日历中用方格圈上四个数，并验证上述规律； （2）请同学们利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． 【答案】（1） 如下图所示： ∵， 故也满足上述规律． （2） 证明：令第一个数为，根据日历中的数字关系，可得矩形框内的数的规律如下图所示： ∵ 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，正确发现数字之间的变化规律是解答本题的关键． （1）利用乘法法则，以及减法法则计算得到结果，验证规律即可； （2）找出四个数字的数量关系，设四个数分别为，，，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场至少购进乙种商品多少个？ 【答案】（1）每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元 （2）该商场至少购进乙种商品24个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同，列出方程求解即可； （2）设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，根据销售两种商品的总利润超过380元，列出不等式进行求解即可． 读懂题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个甲商品的进价为元，则乙商品的进价为元，由题意，得：， 解得：，经检验是原方程的解； ∴； 答：每个甲、乙两种商品的进价分别是8元，10元； 【小问2详解】 设商场购进乙种商品个，则购进甲商品的数量为个，由题意，得：， 解得：， ∴的最小整数值为：， 答：该商场至少购进乙种商品24个． 22. 【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式配方和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，代入求值后，再取倒数即可得出结论． 【详解】解：（1） 即 （2）∵ ∴ ∴由①+②+③得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想方法．本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 23. 在等边中，，点是边上的点（不与点，重合），连接． 【初步感知】如图①，点是边上的点，连接交于点，若，求证：； 【深入探究】如图②，是的外角的角平分线，若，求证：； 【拓展运用】如图③，在【初步感知】的条件下，延长至点，连接，当时，设，请直接写出的值． 【答案】 （1）如下图所示： ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴． （2）过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵, ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． （1）由角度等量关系先得出，后证明出，可证出； （2）过点作交于点，先证出为等边三角形，随后证明，即可得； （3）在上截取，连接，构造出等边三角形，证出，结合角度关系，得出，由线段和差计算，可计算出的值． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）在上截取，连接，如下图所示： ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $