专题7.1 证明 讲义-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

证明 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 命题 考点梳理 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 考点02 命题的组成与分类 考点梳理 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 考点03 定义考点梳理 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 考点04 定理 考点梳理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 考点05 证明及证明的一般步骤 考点梳理 1. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 典例引领 考向01 为什么要证明 【例1】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 考向02 认识证明 【例2】下列命题是真命题的是（   ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．同位角互补，两直线平行 D．16的算术平方根是4 考向03 平行线的证明 【例3】如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 对点提升 【对点1】南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ． 【对点2】下列说法中，错误的是（    ） A．七边形的外角和为 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D．面积相等的两个三角形是全等三角形 【对点3】下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若则 B．两直线平行，内错角相等 C．任何一个数都有平方根 D．同旁内角互补，两直线平行 2．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 7．下列说法中，正确的是（） A．校门口的自动伸缩栅栏门的原理是三角形稳定性 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．保留两位小数，它的近似数为 D．在，，，中，无理数有1个 8．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 9．某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 10．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 12．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为 ， ； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °． 13．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 14．如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 15．15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉的笼子有 个． 3、 解答题 16．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 17．如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 18．在中，是的平分线，． (1)请利用尺规作图，在线段上侧作交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）题中的条件，求证：也是的平分线． 证明：∵是的平分线（已知） ∴①_____________（角平分线的定义） ∵（已知） ∴（②_________________） ∴（等量代换） 又∵（已知） ∴③____________（内错角相等，两直线平行） ∴（④___________________） ∴（⑤___________________） ∴是的平分线（角平分线的定义） 19．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 20．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 证明 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 命题 考点梳理 1. 判断某一件事情的语句叫命题． 2. 命题的定义包含两层含义 （1）命题必须是一个完整的句子，常为陈述句； （2）命题必须对某件事情作出肯定或否定的判断． 考点02 命题的组成与分类 考点梳理 1. 许多命题由条件和结论两部分组成．条件是已知的事项；结论是由已知事项推出的事项．这样的命题通常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分就是结论． 2. 命题分真假命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．要判断一个命题是真命题，可以用演绎推理加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了．在数学中，这种方法称为“举反例”． 考点03 定义考点梳理 我们需要用不同的语句来说明我们学过的许多名词各自所包含的确切意义，例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义．这样的语句叫做这些名词的定义． 考点04 定理 考点梳理 公认的真命题称为基本事实．数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理． 考点05 证明及证明的一般步骤 考点梳理 1. 证明：根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明． 2. 证明的一般步骤 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据． 典例引领 考向01 为什么要证明 【例1】观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … (1)请按照以上规律写出第6个等式： ； (2)请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 【答案】(1) (2)；该等式一定成立，理由见解析 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题． 【详解】（1）解：因为； ； ； ； ； …， 所以第n个等式可表示为：； 当时， 第6个等式为：； 故答案为：； （2）由（1）知， 第n个等式可表示为：； 该等式一定成立，理由如下： 左边右边， 所以此等式一定成立． 考向02 认识证明 【例2】下列命题是真命题的是（   ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．两边及一角对应相等的两个三角形全等 C．同位角互补，两直线平行 D．16的算术平方根是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．利用实数与数轴上的点一一对应、全等三角形判定方法、平行线的判定、算术平方根逐一判断每个选项的正确性． 【详解】解：A． 数轴上的点包括有理数和无理数，∴ 不是每个点都对应有理数，A假． B．∵ 两边及一角对应相等时，若角不是夹角，则三角形不一定全等，B假． C．∵ 同位角相等时两直线平行，而非互补，C假． D．∵ 16的算术平方根为非负根，且，D真； 故选：D． 考向03 平行线的证明 【例3】如图，点A，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，根据等式的性质可得，根据平行线的性质可得，然后根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 对点提升 【对点1】南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 【对点2】下列说法中，错误的是（    ） A．七边形的外角和为 B．三角形的重心是三角形三条中线的交点 C．有两个角互余的三角形一定是直角三角形 D．面积相等的两个三角形是全等三角形 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和，三角形重心的定义是解题的关键． 根据全等三角形的性质，直角三角形的性质，多边形的外角和和三角形重心的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、任意多边形的外角和均为，该选项正确，不符合题意； B、三角形的重心是三条中线的交点，该选项正确，不符合题意； C、三角形有两个角互余，则第三个角为，∴是直角三角形，该选项正确，不符合题意； D、面积相等的两个三角形不一定全等（如等底等高的三角形面积相等但可能不全等），该选项错误，符合题意． 故选D． 【对点3】下列命题中，为真命题的是（   ） A．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理等知识点，掌握相关定义和性质是解题的关键． 根据点到直线的距离定义、对顶角性质、同位角性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A．点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故该选项正确，符合题意； B．相等的两个角不一定是对顶角，例如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故该选项错误，不符合题意； C．同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，故该选项错误，不符合题意； D．平行公理指出过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，但该选项未指定点是否在直线外，若点在直线上，则不存在与已知直线平行的直线（除自身），故该选项错误，不符合题意． 故选A． 好 题 冲 关 能力提升 1、 选择题 1．下列命题为假命题的是（    ） A．若则 B．两直线平行，内错角相等 C．任何一个数都有平方根 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的真假判断，根据立方根定义，平方根定义，平行线的判定与性质，逐一排除即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：：若，则，原选项是真命题，不符合题意； 、两直线平行，内错角相等，原选项是真命题，不符合题意； 、因为负数没有平方根，所以原选项是假命题，符合题意； 、同旁内角互补，两直线平行，原选项是真命题，不符合题意； 故选：． 2．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 4．下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 5．下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及平行线的性质、平行公理、点到直线的距离等初中数学知识点．根据相关定义和定理逐项分析即可． 【详解】解：、两条直线被第三条直线所截，只有当两条直线平行时，同位角才相等，故本选项不符合题意； 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故本选项符合题意； 、点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段本身，故本选项不符合题意； 故选：． 6．下列命题中，是真命题的是（   ） A．平方根等于本身的数是0和 B．若 则 C．全等三角形的对应边相等 D．同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，解题的关键是掌握平方根的性质、全等三角形的性质及同位角的定义． 分别分析各选项：根据平方根的定义判断A；根据二次根式的性质判断B；根据全等三角形的性质判断C；根据同位角的性质判断D． 【详解】解：A、平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不等于其本身，此选项不符合题意； B、若，则，并非，此选项不符合题意； C、全等三角形的对应边相等，这是全等三角形的基本性质，此选项符合题意； D、只有两直线平行时，同位角才相等，此选项不符合题意； 故选：C． 7．下列说法中，正确的是（） A．校门口的自动伸缩栅栏门的原理是三角形稳定性 B．“若，则”的逆命题是真命题 C．保留两位小数，它的近似数为 D．在，，，中，无理数有1个 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假，近似数计算，无理数的识别，几何图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．选项A错误，因自动伸缩栅栏门使用四边形原理；选项B错误，逆命题反例存在；选项C正确，保留两位小数过程符合四舍五入规则；选项D错误，实际有两个无理数． 【详解】解：A、自动伸缩栅栏门利用四边形的不稳定性，而非三角形稳定性，∴A错误； B、逆命题“若，则”为假，如取，满足但，∴B错误； C、保留两位小数，千分位数字，向百分位进1，百分位，再向十分位进1，十分位，再向个位进1，个位，故结果为，∴C正确； D、和均为无理数，共2个，与选项所述1个不符，∴D错误． 故选：C． 8．在同一平面内有2026条直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，从题目中找出各直线间的位置关系是解题的关键． 根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． …… 可知从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为，，，， ∵ ， ∴ ． 故选：A． 9．某品牌汽水生产商提出可以用3个空瓶再换回1瓶汽水的优惠活动，某人买了12瓶汽水，他最多可以喝到多少瓶汽水？（可以跟人借空瓶，但借多少个就要还多少个）．（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了逻辑推论和论证． 先用12个空瓶换4瓶汽水，再用其中的3个空瓶换1瓶汽水，再借1个空瓶换1瓶汽水，最后把空瓶还回去，即可求解． 【详解】解：∵某人买了12瓶汽水， ∴可以换（瓶）汽水． 再用其中的3个空瓶换1瓶汽水， 此时有2个空瓶，可以借1瓶，凑成3个空瓶，再换1瓶汽水，再把空瓶还回去即可． ∴他最多可以喝：（瓶）． 故选：B． 10．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、平行线的性质、三角形内角和定理、平角的定义，等腰三角形的性质等知识点．掌握这些是解题的关键． 由题意得：平分，所以，再结合，得，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后用平角的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意得：平分， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 2、 填空题 11．如图，木条与被木条所截若使木条与平行，木条过点逆时针旋转的度数是 ．（旋转度数在与之间） 【答案】/30度 【分析】本题考查了平行线的判定（同位角相等，两直线平行），解题的关键是明确平行线所需的角的关系． 先确定时应满足的度数，再计算当前与该度数的差值，得到木条逆时针旋转的度数． 【详解】解：要使木条与平行，需满足同位角（或内错角）相等． 已知，当时，对应的同位角应为． 当前，因此木条逆时针旋转的度数为． 故答案为： 12．如图，在单位长度为1的的网格中，每个小正方形的顶点叫格点，线段，的顶点都在格点上． （1）线段，的长度分别为 ， ； （2）设，所夹的锐角为，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用（用于计算线段长度），以及平移法或特殊三角形性质（用于确定两线段夹角）．解题时需准确识别网格中线段的横向、纵向格数差，再结合几何定理推导． （1）利用勾股定理，结合网格中线段横向与纵向的格数差确定直角边长度，进而求出斜边（即线段长度）； （2）可通过构造平行线转化夹角，再结合特殊三角形性质确定角度即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故线段，的长度分别为，． 故答案为：，． （2）如图，选取格点，连接，． 由勾股定理逆定理，易得为等腰直角三角形， 所以， 由图可知， 所以． 故答案为：． 13．如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14．如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系． 【详解】解： 故答案为：． 15．15只鹦鹉和15只八哥关在10个笼子里，每个笼子三只鸟，鹦鹉说真话，八哥说假话，问“笼子里面有八哥吗”，有21只鸟回答没有，则只有鹦鹉的笼子有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了方程的应用，逻辑推理与论证，正确进行推理是解题的关键．依据题意，设类笼个：3只鹦鹉，类笼个：1只八哥只鹦鹉；类笼只八哥只鹦鹉；类笼只八哥，则，且，又21只鸟回答“没有”，从而,再由笼子总数得，代入“回答数”方程：，故，进而可以计算得解． 【详解】解：由题意，设A类笼x个：3只鹦鹉，B类笼y个：1只八哥只鹦鹉；C类笼z个：2只八哥只鹦鹉；D类笼w个：3只八哥， ，且． 又只鸟回答“没有”， 分析每类笼的回答：A类笼只鹦鹉：说真话无八哥，3只均答“没有”，则贡献； B类笼只八哥2只鹦鹉：八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献y； C类笼z个：八哥1只鹦鹉：2只八哥说假话答“没有”，鹦鹉说真话答“有”，则贡献； D类笼只八哥：说假话有八哥，3只均答“没有”，则贡献， ． 由笼子总数得，代入“回答数”方程：， ， ④． 将方程④代入“鹦鹉总数”方程： ． 只有鹦鹉的笼子有2个． 故答案为： 3、 解答题 16．【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 17．如图，直线，被直线所截，，，是的平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用垂线的定义得，进而求得，利用平行线的性质求得，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ． 18．在中，是的平分线，． (1)请利用尺规作图，在线段上侧作交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)结合（1）题中的条件，求证：也是的平分线． 证明：∵是的平分线（已知） ∴①_____________（角平分线的定义） ∵（已知） ∴（②_________________） ∴（等量代换） 又∵（已知） ∴③____________（内错角相等，两直线平行） ∴（④___________________） ∴（⑤___________________） ∴是的平分线（角平分线的定义） 【答案】(1)见解析 (2)①；②两直线平行，内错角相等；③；④两直线平行，同位角相等；⑤等量代换 【分析】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质与判定，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意，利用尺规作交于点即可； （2）根据角平分线的定义以及平行线的性质与判定证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：∵是的平分线（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 又∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∴（等量代换） ∴是的平分线（角平分线的定义） 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等；③；④两直线平行，同位角相等；⑤等量代换． 19．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （2）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成论证； （3）过点作，利用平行线的性质与判定即可完成求解； 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 20．已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过F点作交延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是平行线的综合题目，考查了平行线的判定与性质、垂直的定义、角平分线定义等知识；综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）由平行线的性质得，再由内错角相等得出； （2）过点N作，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论； （3）由结合前面（2）的结论，求出角度可得． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）证明：如图2，过点N作， ∵， ， ，， ∵、分别平分，, ∴设，， ，， 又， ， 又， ∴， ， ， ； （3）解：，即， ∴， ∴ ，， ，， ， ， ， ， 的角平分线交于点Q， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $