专题 7.1 证明（全章复习讲义）基础知识专项突破讲练- 2025-2026学年八年级数学上册（北师大版 2024）

该初中数学“证明”全章复习讲义通过知识框架系统梳理知识体系，涵盖“为什么要证明”“认识证明”（定义、命题、公理、定理等）“平行线的证明”三大知识点，用逻辑框架图呈现命题与证明的内在联系，突出命题分析、平行线推理等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础篇（★）如代数证明判断代数式是否为质数，培优篇（★★）如逻辑推理猜名次问题，例题与变式结合培养推理意识和创新意识，支持不同层次学生提升，助力教师实施精准分层教学。

专题 7.1 证明（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 1 【知识点一】为什么要证明 1 【知识点二】认识证明 1 【知识点三】平行线的证明 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型 1】代数证明 2 【★题型 2】定义的判断 5 【★题型 3】命题的判断 6 【★题型 4】命题及命题的题设与结论 7 【★题型 5】简单的几何证明 8 （二）培优篇 11 【★★题型 6】代数证明 11 【★★题型 7】写出一个命题的已知、求证、证明过程 14 【★★题型 8】逻缉推荐与论证 17 【★★题型 9】综合推理与证明 18 一．知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】为什么要证明 观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的,必须进行有理有据的证明。 【知识点二】认识证明 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 命题：判断一件事情的句子，叫作命题 命题的条件和结论：一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果………,那么………”的形式,其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 真命题、假命题、反例：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 公理、证明、定理：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。 【知识点三】平行线的证明 定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等,两直线平行。 定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为:同旁内角互补，两直线平行。 定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型 1】代数证明 【例题1】（北师大八上181页随堂练习第1题改编）（25-26八年级上·全国·课前预习）当时，代数式的值都是质数，那么当n为正整数时，代数式的值一定都是质数吗？ 【答案】当n为正整数时，代数式的值不一定都是质数，如当时，，它是合数． 【分析】此题考查了代数式求值，质数的判断，将代入求解，结合其答案可作出判断． 解：当时，，25是合数， ∴当n为正整数时，代数式的值不一定都是质数． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值为非负数．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 【答案】当时，代数式的值分别为；该猜想是正确的，见分析 【分析】先将分别代入代数式计算出对应的值，再对代数式进行变形，根据完全平方式的非负性验证猜想． 解：当时，； 当时，； 当时，． 猜想：当为任意实数时，代数式的值为非负数． 验证：该猜想是正确的． 【点拨】本题通过代入计算和代数式变形，掌握利用完全平方公式变形代数式，根据完全平方式的非负性判断代数式的值的范围是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）判断下列各式是否正确，如果不正确，请举出一个反例来说明． （1）： （2）： （3）． 【答案】（1）不正确，反例见分析；（2）正确；（3）不正确，反例见分析 【分析】本题考查了举反例，涉及了二次根式的化简和运算，解题关键是牢记运算法则． （1）令代入左右计算即可判断； （2）根据二次根式的乘法法则运算即可判断； （3）令代入左右计算即可判断． 解：（1）解：不正确，反例为，，，则； （2）解：正确； （3）解：不正确，反例为，，． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … （1）请按照以上规律写出第6个等式： ； （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 【答案】（1）；（2）；该等式一定成立，理由见分析 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并进行证明即可解决问题． 解：（1）解：因为； ； ； ； ； …， 所以第n个等式可表示为：； 当时， 第6个等式为：； 故答案为：； （2）由（1）知， 第n个等式可表示为：； 该等式一定成立，理由如下： 左边右边， 所以此等式一定成立． 【★题型 2】定义的判断 【例题2】（北师大八上188页习题7.2第1题）找出本书第六章中的所有定义．（北师大版八年级上册） 【答案】见分析 【分析】根据北师大版八年级上册第六章的内容中的定义即可求解． 解：北师大版八年级上册第六章为数据的分析 故定义有：平均数的定义：一般地，如果有n个数x1，x2，x3，…xn，那么叫做这n个数的平均数． 众数的定义：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数． 中位数的定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． 极差的定义：一组数据中最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差． 方差的定义：在一组数据x1，x2，x3，…xn中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 【点拨】此题主要考查定义的求解，解题的关键是熟知北师大版八年级上册第六章的主要内容． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，熟练掌握定义的概念是解题的关键． 定义是描述概念或术语含义的语句，据此逐项判断即可． 解：定义是给出术语含义的语句， 选项A是公理，选项B和D是定理，均需证明， 选项C直接定义“三角形的边”为组成三角形的三条线段，符合定义特征， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】② 【分析】本题主要考查了二元一次方程、三角形和正比例函数的定义，熟练掌握三者的定义是解题的关键． 解：①如果一个整式方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程，原说法错误，故①错误； ②由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形，符合定义的要求，故②正确； ③正比例函数的定义：形如，且k是常数的函数，叫做正比例函数；“正比例函数是特殊的一次函数”描述的是正比例函数与一次函数的关系，不是正比例函数的定义，故③错误． 故答案为：②． 【★题型 3】命题的判断 【例题3】（北师大八上188页习题7.2第2题）（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【答案】（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题 【分析】本题主要考查了命题的定义，一般地，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 根据命题的定义即可求解． 解：由命题的定义可得（2）（3）是命题，（1）（4）不是命题． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，熟练掌握命题的定义是解题的关键． 根据命题的定义，命题是表示判断的语句，可以判断真假的陈述句，据此逐项判断即可． 解：命题必须是陈述句且可判断真假， 选项A、B、D均为陈述句，可判断真假，是命题； 选项C为操作指令，不是陈述句，不是命题， 故选：C． 【变式2】 【★题型 4】命题及命题的题设与结论 【例题4】（北师大八上188页习题7.2第3题）（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： （1）能被整除的数一定是偶数． （2）两直线平行，同旁内角互补． （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】（1）条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数；（2）条件：两直线平行；结论：同旁内角互补；（3）条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 解：（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 两条直线都垂直于同一条直线 这两条直线平行 【分析】本题考查的是命题的含义，命题由题设和结论两部分组成，“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．本题中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”． 解：原命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”中，题设是“两条直线都垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……那么……”的形式为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：“两条直线都垂直于同一条直线”， “这两条直线平行”． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；（ ） ②画一个角等于已知角；（ ） ③两直线平行，同位角相等；（ ） ④a，b两条直线平行吗？（ ） 【答案】 是 不是 是 不是 【分析】本题考查了命题的定义：一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句即可． 解：①对顶角相等，是命题； ②画一个角等于已知角，不是命题； ③两直线平行，同位角相等，是命题； ④a，b两条直线平行吗？是问句，未做判断，不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【★题型 5】简单的几何证明 【例题5】（北师大八上195页习题7.3第3题）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：．你有几种证明方法? 【答案】证明见分析． 【分析】由平行线的判定方法、对顶角相等以及邻补角关系即可得出结论． 解：①∵∠1+∠2=180°，∠1=∠5， ∴∠5+∠2=180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）； ②∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°， ∴∠3=∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； ③∵∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， ∴∠4=∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． 【点拨】本题考查了平行线的判定方法、对顶角相等、邻补角关系；熟记平行线的三个判定方法是解决问题的关键．方法多样，利用“同位角相等，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”都可以证明． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，．求证： 【答案】证明见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 解：证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，延长至点使得． （1）请在图中连接，求证：； （2）分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）证明，得出，根据，得出，从而得出，说明射线和重合，即可证明结论． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴射线和重合， ∴三点共线． （二）培优篇 【★★题型 6】代数证明 【例题6】（北师大八上181页随堂练习第2题改编）观察下列各式： 1=12﹣02，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32…… 你能否得到结论：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗？说明理由． 【答案】所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差，偶数不一定能表示为两个自然数的平方差，理由见分析 解：试题分析：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差，由题意可知：对于任意的奇数2n-1=n2-（n-1）2；把等式的右边展开后等式的左右两边相等，即可得结论；对于偶数，则不一定能表示成两个自然数的平方差，举一个反例即可． 试题解析： 所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差， 依题意知：当n为正整数时，第n个式子可以表示为2n﹣1=n2﹣（n﹣1）2， 因为等式右边=n2﹣（n2﹣2n+1）=n2﹣n2+2n﹣1=2n﹣1=左边， 所以所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差， 对于偶数，则不一定能表示成两个自然数的平方差，如10就不能写成两个自然数的平方差． 【变式1】（25-26八年级上·全国·月考）已知. （1）计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． （2）猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． （3）请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】（1）；；，；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查了二次根式运算和性质，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把的值分别代入计算即可求解； （2）根据（1）所得结果即可判断求解； （3）分别求出，再利用作差法比较出的大小，进而即可求证． 解：（1）解：当时，，； 当时， ，； 当时， 故答案为：；；，； （2）猜想：无论为任何非负实数，始终成立， 故答案为：． （3）因为， 所以 ，， 因为 ，， 所以 ， 因为 ， 所以， 所以， 即． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·自主招生）南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ． 【答案】C、B、A、E、D 【分析】此题考查了逻辑推理， 根据老师的话“每个名次都有人猜对”，分析各人的猜测，由于第二名只有D猜测“B第二名”，因此B必须是第二名；进而第三名必须被猜对，只有E猜测“A第三名”可能正确，因此A是第三名；第一名由D猜测“C第一名”正确，故C是第一名；第四名和第五名需被猜对，第五名只能是D（因为C已是第一名），故D是第五名；第四名只能是E，被B或C猜对． 解：∵每个名次都有人猜对，第二名只有D猜测“B第二名” ∴B是第二名； ∴此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对， ∴A是第三名； ∴C的“A第一名”错误， ∴D的“C第一名”正确， ∴C是第一名； ∴A的“C第五名”错误， ∴B的“D第五名”正确， ∴D是第五名； ∴ B的“E第四名”正确， ∴E是第四名． 故答案为：C、B、A、E、D． 【★★题型 7】写出一个命题的已知、求证、证明过程 【例题7】求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．（写出此命题的已知，求证和证明过程） 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．证出，根据证，推出，根据证即可． 解：已知：在和中，与分别是边上的中线，且， 求证：； 证明：∵与分别是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 【答案】和分别平分和，，证明见分析 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，命题的题设和结论，掌握相关知识是解决问题的关键．由可证，进而得出，可证． 解：已知：如图，，和分别平分和， 求证：． 证明：， ． 分别是和的角平分线， ， ． 在和中， ， ， ． 故答案为：和分别平分和，. 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半． 小明同学根据题意画出了不完整的图形（如图），并写出了不完整的已知、求证： 已知：在中，，________________． 求证：________________． （1）请将图形、已知和求证补充完整． （2）请写出该命题的证明过程． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）把题目中的等腰、高、锐角顶角等条件和“夹角等于顶角的一半”的结论用几何语言完整表达出来． （2）利用等腰三角形底角相等和三角形内角和，结合直角三角形两锐角互余，推导出高与底边的夹角等于顶角的一半． 解：（1）解：如图所示： 于点D  ． （2）证明：， ． 又， ． 【点拨】本题主要运用等腰三角形的性质（等边对等角）以及三角形内角和定理来证明． 【★★题型 8】逻缉推荐与论证 【例题8】（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【答案】n的最小值为 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题时通过列举法表示符合条件的数据，也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值．可假设将这些数分成两组A，B，由于，，所以A组不存在数a，b，c，使得，这样可设2在A组，这样可得出在A组，在B组，这样8放在A，B中任意一个，都有，这便说明这样的n的最小值为． 解：当时，把2，3，…，n分成如下两个数组：和…，， 在A组…，中，由于，， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 在B组…，中，由于， 所以其中不存在数a，b，c，使得， 所以，， 下面证明当时，满足题设条件． 不妨设2在A组，若也在A组，则结论已经成立． 故不妨设在B组． 同理可设在A组，在B组． 此时考虑数，如果8在A组，我们取，，，此时； 如果8在B组，我们取，，，此时， 综上，满足题设条件． 所以，n的最小值为 ． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·月考）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【答案】共有种方法． 【分析】本题考查排列组合知识等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，然后再将剩12个小球，利用隔板法分为三堆放入即可． 解：先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩12个小球， 三个盒内每个盒子至少再放入1个，将12个球排成一排， 有11个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中， 共有种方法． 【变式2】甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？ 【答案】丙说了实话；是丁闯了祸． 【分析】本题考查了运用反证法的方法进行推理与论证． 运用反证法的方法先分别假设甲说的是实话、乙说的是实话、丁说的是实话，然后推理都得出与题设相矛盾的结论，则只有丙只有一个人说了实话． 解：假设甲说的是实话，“是乙不小心闯的祸．”，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 假设乙说的是实话，则丁说的也应该是实说，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 假设丁说的是实话，乙说的是假话，则丙说：“乙说的不是实话．”应该是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话相矛盾； 所以四个小朋友中只有一个人说了实话，这个小朋友是丙，则丁说的是假话，可知是丁闯了祸． 【★★题型 9】综合推理与证明 【例题9】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定定理即可得到结论； （2）由得，结合垂直的定义求出，由平分得出，然后根据求解即可． 解：（1），理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ，即， 平分，， ， ， ， ， ， 特色小吃街与主路的夹角的度数为． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 （1）基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． （2）性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． （3）尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查作图—作与已知角相等的角，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用角的和差定义求解； （2）根据平行线的性质以及一对等角线的定义证明即可； （3）以A为顶点，为边，在左侧作，交于点N． 解：（1）（1）解：如图2中，由题意， ． 故答案为：； （2）证明：是的一对等角线， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，射线即为所求． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 解：（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 7.1 证明（全章复习讲义） 目录 一．知识梳理 1 【知识点一】为什么要证明 1 【知识点二】认识证明 1 【知识点三】平行线的证明 2 二.题型精析 2 （一）基础篇 2 【★题型 1】代数证明 2 【★题型 2】定义的判断 3 【★题型 3】命题的判断 3 【★题型 4】命题及命题的题设与结论 4 【★题型 5】简单的几何证明 4 （二）培优篇 5 【★★题型 6】代数证明 5 【★★题型 7】写出一个命题的已知、求证、证明过程 6 【★★题型 8】逻缉推荐与论证 7 【★★题型 9】综合推理与证明 7 一．知识梳理 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】为什么要证明 观察、实验、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的,必须进行有理有据的证明。 【知识点二】认识证明 定义：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。 命题：判断一件事情的句子，叫作命题 命题的条件和结论：一般地,每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知的事项,结论是由已知事项推断出的事项。命题通常可以写成“如果………,那么………”的形式,其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。 真命题、假命题、反例：正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 公理、证明、定理：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断。演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。 【知识点三】平行线的证明 定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简述为：内错角相等,两直线平行。 定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简述为:同旁内角互补，两直线平行。 定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 二.题型精析 （一）基础篇 【★题型 1】代数证明 【例题1】（北师大八上181页随堂练习第1题改编）（25-26八年级上·全国·课前预习）当时，代数式的值都是质数，那么当n为正整数时，代数式的值一定都是质数吗？ 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）方方给同桌小颖出了一道题：“当时，计算代数式的值，并猜想当x为任意实数时，代数式的值为非负数．”请你帮助小颖解答这道题，并验证该猜想的正确性． 【变式2】（24-25八年级下·全国·课后作业）判断下列各式是否正确，如果不正确，请举出一个反例来说明． （1）： （2）： （3）． 【变式3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）观察下列各式，解答问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … （1）请按照以上规律写出第6个等式： ； （2）请写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），请问该等式一定成立么？若成立，请证明，若不成立，请举反例． 【★题型 2】定义的判断 【例题2】（北师大八上188页习题7.2第1题）找出本书第六章中的所有定义．（北师大版八年级上册） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．同角的余角相等 C．组成三角形的三条线段叫三角形的边 D．对顶角相等 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在学完定义与命题后，小林在笔记本上记下了几个定义： ①如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都为1，那么这个方程就叫作二元一次方程；②不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接得到的图形是三角形；③正比例函数是特殊的一次函数．你认为其中正确的是 ．（请填写序号） 【★题型 3】命题的判断 【例题3】（北师大八上188页习题7.2第2题）（2025八年级上·全国·专题练习）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）正数大于一切负数吗？ （2）两点之间线段最短； （3）2不是无理数； （4）作一条直线和已知直线平行． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，不是命题的是（   ） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线l外一点P，作直线 D．，a与c相交，则b与c也相交 【变式2】 【★题型 4】命题及命题的题设与结论 【例题4】（北师大八上188页习题7.2第3题）（2026七年级下·全国·专题练习）写出下列命题的条件和结论： （1）能被整除的数一定是偶数． （2）两直线平行，同旁内角互补． （3）平行于同一条直线的两条直线平行． 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列句子是不是命题 ①对顶角相等；（ ） ②画一个角等于已知角；（ ） ③两直线平行，同位角相等；（ ） ④a，b两条直线平行吗？（ ） 【★题型 5】简单的几何证明 【例题5】（北师大八上195页习题7.3第3题）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且．求证：．你有几种证明方法? 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，，．求证： 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，延长至点使得． （1）请在图中连接，求证：； （2）分别是上的点，且，延长至点使得，求证：三点共线． （二）培优篇 【★★题型 6】代数证明 【例题6】（北师大八上181页随堂练习第2题改编）观察下列各式： 1=12﹣02，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32…… 你能否得到结论：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数也能表示为两个自然数的平方差吗？说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·全国·月考）已知. （1）计算：当时， ___________， ___________； 当时， ___________，___________； 当时，__________，__________． （2）猜想：无论为任何非负实数， __________始终成立（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）． （3）请说明（2）中猜想的合理性． 【变式2】（25-26九年级上·四川成都·自主招生）南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况． A说：B第三名，C第五名； B说：E第四名，D第五名； C说：A第一名，E第四名； D说：C第一名，B第二名； E说：A第三名，D第四名． 老师说：每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ． 【★★题型 7】写出一个命题的已知、求证、证明过程 【例题7】求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．（写出此命题的已知，求证和证明过程） 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，，______． 求证：______． 证明： 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于其顶角的一半． 小明同学根据题意画出了不完整的图形（如图），并写出了不完整的已知、求证： 已知：在中，，________________． 求证：________________． （1）请将图形、已知和求证补充完整． （2）请写出该命题的证明过程． 【★★题型 8】逻缉推荐与论证 【例题8】（24-25七年级下·四川成都·月考）将2，3，…，n（）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以相同），使得，求n的最小值． 【变式1】（24-25七年级下·四川成都·月考）将15个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，求每个盒子放入的球的个数不小于它的编号数的放法有多少种？ 【变式2】甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？ 【★★题型 9】综合推理与证明 【例题9】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线，被直线所截，平分交于点，，判断与是否平行，并说明理由． 【问题解决】 （2）如图2，，，是三条主路，，超市的入口在主路上，三角形区域是一个大型购物中心，且平分，小路，为一条特色小吃街，，已知，求特色小吃街与主路的夹角的度数． 【变式1】（24-25七年级下·山西临汾·期末）阅读与思考：等角线的奥秘 【概念理解】 在平面几何中，我们引入“等角线”的概念：如图1，若在中，射线、是内部的两条射线，且，则称射线与是的一对等角线． 【问题探究】 （1）基础应用 如图2，已知在中，，射线、是的一对等角线，且，则 ． （2）性质拓展 如图3，在中，、是的一对等角线，过点作交于点，过点作交于点．证明：． （3）尺规作图 已知和内部的一条射线，请用尺规作图的方法，过点作射线，使、成为的一对等角线．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． （1）【问题初探】如图1，，，求证：． （2）【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． （3）【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 2 / 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