7.1为什么要证明讲义2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

7.1为什么要证明 学习目标 1. 体会通过观察、实验、归纳等得到的结论，其正确性有待验证。 2. 理解证明的必要性，培养学生的推理意识。 3. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等，并能应用这些方法解决实际问题。 知识点讲解 1. 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确 · 观察是人们认识世界的重要手段，但观察得到的结论不一定正确。例如，观察图中两条线段(a)与(b)的长度，直观上可能会觉得(a)比(b)长，但经过测量会发现它们长度相等。 · 实验是验证结论的一种方式，但实验结果有时也会有局限性。比如在一个三角形中，通过测量三个内角的度数然后相加，可能因为测量工具和测量方法的误差，得到内角和接近但不完全准确是。 · 归纳是从部分特殊情况推出一般结论的方法。然而，仅根据有限的几个特殊情况归纳出的结论不一定具有普遍性。例如，当时，是质数；当时，是质数；当时，是质数。但是当时，，不是质数。所以仅通过归纳不能确定对于所有的(n)，都是质数。 2. 证明的必要性 · 由于观察、实验、归纳等方法得到的结论可能存在错误，所以要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。证明就是根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程。 3. 检验数学结论的常用方法 · 实验验证：通过实际操作或实验来检验结论。比如在验证三角形内角和是时，可以通过剪拼三角形的三个内角，看能否拼成一个平角来验证。 · 举出反例：对于一个命题，如果能找到一个例子，使它具备命题的条件，但不具备命题的结论，那么这个例子就叫做该命题的反例。例如，要说明“所有的偶数都是合数”这个命题是错误的，我们可以举(2)这个偶数，(2)是质数不是合数，所以(2)就是这个命题的反例。 · 推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，按照逻辑规则逐步推导得出结论。例如，证明“三角形的任意两边之和大于第三边”，就可以根据两点之间线段最短这一基本事实进行推理证明。 · 例题解析 （一）关于实验结论不一定正确的例题 例1：小明通过测量一些直角三角形三边的长度，发现对于他测量的几个直角三角形都满足两直角边的平方和等于斜边的平方，于是他得出结论：所有直角三角形都满足两直角边的平方和等于斜边的平方。他的结论正确吗？ 答案解析：小明通过测量部分直角三角形得出的结论不具有普遍性。虽然测量的几个直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方，但不能就此确定所有直角三角形都满足。实际上，勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是经过严格的数学证明得出的，不能仅靠有限次的测量实验来确定。 （二）关于归纳结论不一定正确的例题 例2：对于代数式，当时，；当时，；当时，。由此归纳出：当(n)为正整数时，一定是质数。这个结论正确吗？ 答案解析：当时，，不是质数。所以仅通过对，，这几个特殊值归纳得出的“当(n)为正整数时，一定是质数”这个结论是错误的。 （三）综合应用检验方法的例题 例3：判断命题“如果(a> b)，那么”是否正确。 答案解析： 1. 实验验证： · 当，时，(a> b)，，，此时。 · 当，时，(a> b)，，，此时。 2. 举出反例： 由上面，的例子可知，存在(a> b)时，的情况，所以“如果(a> b)，那么”这个命题是错误的。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C. 对于自然数(n)，一定是质数 D. 有(10)个苹果，将它们放进(9)个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于(2)个 答案解析： · A选项，经验、观察或实验得到的结论不一定正确，不能完全判断一个数学结论的正确与否，所以A错误。 · B选项，推理在生活和学习中都很重要，不只是科学家的事，所以B错误。 · C选项，当时，，不是质数，所以C错误。 · D选项，把(10)个苹果放进(9)个筐中，，即平均每个筐放(1)个后，还余(1)个苹果，所以至少有一个筐中的苹果不少于(2)个，D正确。 2. 当(n)为正整数时，的值一定是质数吗？（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 不一定是 D. 无法确定 答案解析： · 当时，，是质数。 · 当时，，是质数。 · 当时，，不是质数。 · 所以当(n)为正整数时，的值不一定是质数，答案选C。 （二）填空题 1. 要说明“若(a)是实数，则”是假命题，可以举的反例是______。 答案解析：当时，，不满足，所以反例是。 2. 观察下列等式：，，，，，请你根据上述规律，写出第(n)个等式：______。 答案解析： · 观察等式发现规律： · 第一个数依次是(1)，(2)，(3)，(4)，，则第(n)个等式的第一个数是。 · 第二个数依次是，，，，，则第(n)个等式的第二个数是。 · 第三个数依次是，，，，，则第(n)个等式的第三个数是。 · 等式右边依次是，，，，，则第(n)个等式右边是。 · 所以第(n)个等式为。 （三）解答题 1. 有人认为，对于所有的自然数(n)，代数式的值都是质数。你同意这种观点吗？请说明理由。 答案解析： · 当时，，是质数。 · 当时，，不是质数。 · 所以不同意这种观点，因为仅通过对部分自然数(n)计算代数式的值为质数，不能归纳得出对于所有自然数(n)，代数式的值都是质数的结论，通过举这个反例可以说明该观点错误。 2. 已知(a)，(b)，(c)是三角形的三边，，，且三角形的周长是偶数，求(c)的值。 答案解析： · 因为三角形的周长，已知，，所以。 · 又因为三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以，即(3<7)。 · 因为三角形周长是偶数，(7)是奇数，根据奇数加奇数为偶数，奇数加偶数为奇数，所以(c)为奇数。 · 在(3<7)的范围内，奇数(c)的值为(5)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1为什么要证明 学习目标 1. 体会通过观察、实验、归纳等得到的结论，其正确性有待验证。 2. 理解证明的必要性，培养学生的推理意识。 3. 了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等，并能应用这些方法解决实际问题。 知识点讲解 1. 观察、实验、归纳得到的结论不一定正确 · 观察是人们认识世界的重要手段，但观察得到的结论不一定正确。例如，观察图中两条线段(a)与(b)的长度，直观上可能会觉得(a)比(b)长，但经过测量会发现它们长度相等。 · 实验是验证结论的一种方式，但实验结果有时也会有局限性。比如在一个三角形中，通过测量三个内角的度数然后相加，可能因为测量工具和测量方法的误差，得到内角和接近但不完全准确是。 · 归纳是从部分特殊情况推出一般结论的方法。然而，仅根据有限的几个特殊情况归纳出的结论不一定具有普遍性。例如，当时，是质数；当时，是质数；当时，是质数。但是当时，，不是质数。所以仅通过归纳不能确定对于所有的(n)，都是质数。 2. 证明的必要性 · 由于观察、实验、归纳等方法得到的结论可能存在错误，所以要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。证明就是根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程。 3. 检验数学结论的常用方法 · 实验验证：通过实际操作或实验来检验结论。比如在验证三角形内角和是时，可以通过剪拼三角形的三个内角，看能否拼成一个平角来验证。 · 举出反例：对于一个命题，如果能找到一个例子，使它具备命题的条件，但不具备命题的结论，那么这个例子就叫做该命题的反例。例如，要说明“所有的偶数都是合数”这个命题是错误的，我们可以举(2)这个偶数，(2)是质数不是合数，所以(2)就是这个命题的反例。 · 推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理等，按照逻辑规则逐步推导得出结论。例如，证明“三角形的任意两边之和大于第三边”，就可以根据两点之间线段最短这一基本事实进行推理证明。 · 例题解析 （一）关于实验结论不一定正确的例题 例1：小明通过测量一些直角三角形三边的长度，发现对于他测量的几个直角三角形都满足两直角边的平方和等于斜边的平方，于是他得出结论：所有直角三角形都满足两直角边的平方和等于斜边的平方。他的结论正确吗？ （二）关于归纳结论不一定正确的例题 例2：对于代数式，当时，；当时，；当时，。由此归纳出：当(n)为正整数时，一定是质数。这个结论正确吗？ （三）综合应用检验方法的例题 例3：判断命题“如果(a> b)，那么”是否正确。 巩固练习 （一）选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C. 对于自然数(n)，一定是质数 D. 有(10)个苹果，将它们放进(9)个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于(2)个 2. 当(n)为正整数时，的值一定是质数吗？（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 不一定是 D. 无法确定 （二）填空题 1. 要说明“若(a)是实数，则”是假命题，可以举的反例是______。 答案解析：当时，，不满足，所以反例是。 2. 观察下列等式：，，，，，请你根据上述规律，写出第(n)个等式：______。 （三）解答题 1. 有人认为，对于所有的自然数(n)，代数式的值都是质数。你同意这种观点吗？请说明理由。 2. 已知(a)，(b)，(c)是三角形的三边，，，且三角形的周长是偶数，求(c)的值。 学科网（北京）股份有限公司 $