精品解析：北京市昌平区2025-2026学年高一上学期期末数学试题

数学样卷 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷.第一卷共137分，第二卷共13分，共150分.考试时长120分钟. 第一卷共4页，第二卷共1页.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一卷 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】根据交集的定义可知，. 故选：C. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断B选项；取可判断C选项；取可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，由不等式的基本性质可得，则，B对； 对于C选项，当时，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，当时，由不等式的基本性质可得，D错. 故选：B. 3. 如图，点为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可得，再利用平行四边形可求. 【详解】由题设有，故， 由正六边形的性质可得四边形为平行四边形， 故，故， 故选：D. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的函数解析式，一一判断它们的单调性，即得答案. 【详解】对于A，在区间上单调递减，不符合题意； 对于B，在区间上单调递减，不符合题意； 对于C，在区间上单调递增，符合题意； 对于D，由于在区间上单调递增， 故在区间上单调递减，不符合题意； 故选：C 5. 在某校举办的“青春杯”篮球比赛中，甲、乙两名同学均参加了其中的六场比赛，他们每场比赛得分的茎叶图如图所示.记甲、乙这六场比赛得分的平均数分别为、，方差分别为、，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、、、，即可得出结论. 【详解】甲六场得分依次为：、、、、、， 则， ， 乙六场得分依次为：、、、、、， 所以， ， 所以，， 故选：D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为指数函数为上的减函数，所以， 又因为对数函数为上的增函数，所以， 故. 故选：B. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的图象和的图象的交点可求的解集. 【详解】的解集即的解集， 也就是的图象在的图象的下方的点的横坐标的全体， 而的图象和的图象如图所示： 由图可得的解集为， 故选：B. 8. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断. 【详解】当时，，化简得，即，，即与共线 当与共线时，则存在唯一实数，使得 ，，与不一定相等，即不一定相等 故“”是“与共线”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理. 9. 噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数与对数的互化求解即可. 【详解】第一辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 第二辆汽车：，对应声压为，则，即， 所以. 所以. 故选：A. 10. 对于函数，给定常数k，集合所含元素的个数称为的k等值点数.当k变化时，函数的k等值点数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】转化成两个函数图象的交点个数的最大值问题，即可求解. 【详解】由题意知，只需判断的解的个数的最大值. 即的解的个数的最大值.即当k变化时，与交点个数的最大值.为偶函数. 作出两个函数的图象， 由图象可知两个函数最多有三个交点，故函数的k等值点数的最大值为. 故选：B 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某学校有名教师报名支教，其中名是男教师，名是女教师.现从这名教师中随机选取名教师去支教，则选出的教师是男教师的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从这名教师中随机选取名教师去支教，则选出的教师是男教师的概率为. 故答案为：. 12. 已知向量，，则______；若与平行，则实数______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量模长公式可求，根据共线向量定理的坐标形式可求的值. 【详解】，故， 由题设有， 因为与平行，故，故, 故答案为：. 13. 能够说明“若且，则”是假命题的的一个值为________. 【答案】（只需满足即可） 【解析】 【分析】解不等式即可得出结果. 【详解】由可得， 因为且，解得，故满足条件的一个的值为. 故答案为：（只需满足即可）. 14. 已知函数，则_____；若有最小值，则实数的取值范围是_______. 【答案】 ①. 2 ②. 或 【解析】 【分析】根据分段函数求值方法即可求出；判断出时函数的单调性并求出该段的最小值，当时对分情况讨论，结合二次函数单调性求出该段的最小值，进而得出不等式求解即可. 【详解】. 当时，函数在上单调递减， 所以，即该段函数的值域为. 当时， ，为开口向上的二次函数，对称轴为. 当时，二次函数在上单调递增，最小值为. 若使有最小值，只需，即，解得. 故该情况下. 当时，二次函数在上单调递减，在上单调递增， 最小值为. 若使有最小值，只需，即， 整理得，解得或. 故该情况下. 综上，实数的取值范围为或. 故答案为：2；或. 15. 设集合A是的子集，对于，定义. 给出下列四个结论： ①若，，则且； ②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且； ③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有； ④设，，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①④，根据定义判断正误即可，对于②③结合实例判断正误即可. 【详解】∵对于，， 对于①，因为，，， 故，①正确； 对于②，取， 则，故对任意，都有且， 故②正确； 对于③， 取， 当时，,, , ③错误； 对于④， ，， 则，， 若为偶数且，则，则且， 故，则有； 若为偶数且，则，， 故，则有； 若为奇数，则，， 故，则有； 故总成立，故④正确 ∴所有正确结论的序号是：①②④. 故答案为：①②④. 三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 【答案】（1）； （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . 【小问2详解】 因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数为奇函数，证明详见解析 （2）证明详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. （3）根据函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. 因为， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 任取，且， . 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. 【小问3详解】 根据奇函数的性质，不等式可变形为， 因为函数在区间上是减函数，， 所以，即，解得. 故实数的取值范围为. 18. 某校为了解高一学生课后活动情况，随机抽取50名学生，统计了他们某天的课后活动时间（单位：分钟），并绘制频率分布直方图如图所示，其中分组区间为，，，，，. （1）若从全校高一学生中随机抽取1名学生，估计该生这天课后活动时间位于的概率； （2）若从样本中课后活动时间在和的学生中随机抽取2人，求这2人这天课后活动时间都在的概率； （3）设全校高一学生这天课后活动时间的中位数、众数、平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据都用该组区间的中点值代替） 【答案】（1）； （2） ； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率和为1直接计算得到答案； （2）根据古典概型计算求解； （3）根据公式计算众数，平均数和中位数，再比较大小即可. 【小问1详解】 课后活动时间位于的概率. 【小问2详解】 课后活动时间在区间的学生有人，设4人为， 课后活动时间在区间的学生有人，设2人为， 从样本中课后活动时间在和的学生中随机抽取2人有15种情况， 这2人这天课后活动时间都在的有6种情况， 则这2人这天课后活动时间都在的概率为； 【小问3详解】 ， ， 则，； 众数为：； ， 故 19. 已知函数，定义域为.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并完成下面的问题. （1）求实数a，b的值； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围. 条件①：，； 条件②：对于任意的，都有； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）条件①不合题意，若选条件②③，则. （2） 【解析】 【分析】（1）将各条件代入解析式后可求得； （2）原不等式即为在上能成立，利用参变分离结合基本不等式可求参数的取值范围. 【小问1详解】 若选条件①，则由、可得，故， 此时不唯一，故不选条件①. 若选条件②，因为对于任意，都有,为上的奇函数， 故，故即，此时， 故， 故即，此时存在且唯一，故. 若选择条件③，由，可得， 故，此时存在且唯一，故. 综上，条件①不合题意，若选条件②③，则. 【小问2详解】 在上能成立，则在上能成立， 故在上能成立， 而，当且仅当时等号成立，故. 20. 设集合是有限集.现将集合拆分成个非空子集，且满足其中任意两个子集的交集为空集，，则称集合A为阶可分集.若上述子集.还满足，每个集合的元素个数相同，且对任意，存在唯一的元素，使得等于集合中其余所有元素的和，则称集合为阶主和可分集. （1）当时，判断集合是否为阶主和可分集，若是，请给出一种分法；若不是，请说明理由； （2）若集合为阶可分集，子集所有元素的平均值为，子集所有元素的平均值为，求的最大值； （3）当时，若集合为阶主和可分集，求m的最大值. （参考公式：） 【答案】（1）集合是阶主和可分集 （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据集合为阶主和可分集的定义判断即可. （2）根据集合为阶可分集的定义，设出集合，并求出范围，作差求解即可. （3）集合为阶主和可分集的定义，求出每个集合中最大值的元素和，再判断每个集合中最大值和的最大值，列不等式求出的范围，结合进一步判断即可. 【小问1详解】 当，时，. 根据集合为阶主和可分集的定义可知， 当，，，满足集合可平分为3个子集，且每个集合中其中一个元素等于其余所有元素之和， 故集合是阶主和可分集. 【小问2详解】 依题意，. 不妨设， 设，，， 所以 ， 所以， 当且仅当集合中元素按从小到大顺序排列，取前一部分，取剩下的部分时等号成立. 如，，此时，，， 同理，如，，此时，，， 所以的最大值为. 【小问3详解】 当时，，，每个子集有3个元素. 设且. 中元素和， 又， 所以，即. 要使最大，则最大，即取集合较大的值. 的最大情况为. ， 则，解得， 又，故的最大值为7. 当时，，可分为，， ，，，， ，，，， ，，，， ，. 综上，的最大值是7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学样卷 2026.1 本样卷含第一卷和第二卷.第一卷共137分，第二卷共13分，共150分.考试时长120分钟. 第一卷共4页，第二卷共1页.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一卷 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点为正六边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 在某校举办的“青春杯”篮球比赛中，甲、乙两名同学均参加了其中的六场比赛，他们每场比赛得分的茎叶图如图所示.记甲、乙这六场比赛得分的平均数分别为、，方差分别为、，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 噪声污染问题越来越受到人们的重视，我们常用声压（单位：Pa）与声压级（单位：dB）来度量声音的强弱，声压级与声压满足，其中常数为听觉下限阈值.已知两辆匀速行驶的汽车，其声压级分别为80dB，60dB，声压分别为，，则（ ） A. B. C. 10 D. 10. 对于函数，给定常数k，集合所含元素的个数称为的k等值点数.当k变化时，函数的k等值点数的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 某学校有名教师报名支教，其中名是男教师，名是女教师.现从这名教师中随机选取名教师去支教，则选出的教师是男教师的概率为______. 12. 已知向量，，则______；若与平行，则实数______. 13. 能够说明“若且，则”是假命题的的一个值为________. 14. 已知函数，则_____；若有最小值，则实数的取值范围是_______. 15. 设集合A是的子集，对于，定义. 给出下列四个结论： ①若，，则且； ②存在的两个不同子集A，B，对任意，都有且； ③任取的两个不同子集A，B，对任意，都有； ④设，，对任意，都有. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且. （1）用，表示，； （2）求证：，，三点共线. 17. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并证明； （2）用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数； （3）若不等式成立，求实数的取值范围. 18. 某校为了解高一学生课后活动情况，随机抽取50名学生，统计了他们某天的课后活动时间（单位：分钟），并绘制频率分布直方图如图所示，其中分组区间为，，，，，. （1）若从全校高一学生中随机抽取1名学生，估计该生这天课后活动时间位于的概率； （2）若从样本中课后活动时间在和的学生中随机抽取2人，求这2人这天课后活动时间都在的概率； （3）设全校高一学生这天课后活动时间的中位数、众数、平均数的估计值分别为a，b，c，请直接写出这三个数的大小关系.（样本中同组数据都用该组区间的中点值代替） 19. 已知函数，定义域为.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，并完成下面的问题. （1）求实数a，b的值； （2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围. 条件①：，； 条件②：对于任意的，都有； 条件③：，. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 20. 设集合是有限集.现将集合拆分成个非空子集，且满足其中任意两个子集的交集为空集，，则称集合A为阶可分集.若上述子集.还满足，每个集合的元素个数相同，且对任意，存在唯一的元素，使得等于集合中其余所有元素的和，则称集合为阶主和可分集. （1）当时，判断集合是否为阶主和可分集，若是，请给出一种分法；若不是，请说明理由； （2）若集合为阶可分集，子集所有元素的平均值为，子集所有元素的平均值为，求的最大值； （3）当时，若集合为阶主和可分集，求m的最大值. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $