1.4 三角形的中位线定理课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦三角形中位线定理，涵盖定义、与中线的区别、定理证明及应用。课堂导入先回顾三角形中线，通过对比引出中位线定义，构建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以探究式证明为主线，通过旋转三角形验证中位线与第三边的位置和数量关系，培养学生几何直观与推理能力。设置分层练习与综合例题，如“中点四边形”证明，强化模型意识与应用意识，助力学生用数学语言表达关系，也为教师提供清晰的教学逻辑与丰富素材。

1.4 三角形的中位线定理 湘教版 八年级下册 第1章 四边形 1、连接三角形顶点和它对边中点所得的线段，是三角形的中线. 如图，D为AB的中点，DC为△ABC的中线. 2、三角形的中线平分三角形的面积. S△ACD=S△BCD 知识回顾 如图，D，E，F分别为△ABC 的三边中点， 所以DF，DE，EF分别是三角形的三条中位线. E 定义： 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. E 如图，DE为△ABC的中位线. 获取新知 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 三角形的中位线和中线的区别： 理解三角形的中位线定义的两层含义: ② ∵ DE为△ABC的中位线， ① ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线. ∴ D、E分别为AB、AC的中点. 一个三角形共有三条中位线. A B C D E F 探究 如图，EF是ABC的一条中位线. 将△AEF以点F为中心，顺时针旋转180°，使点A与点C重合，得到△CGF，四边形EBCG是平行四边形吗？此时EF与BC具有怎样的位置关系和数量关系？ 我猜测EF∥BC. 这些猜测正确吗？我们来进行证明. 如图，EF是△ABC的中位线. 延长EF至G，使FG=EF.连接CG. ∵ AF=FG，∠AFE=∠CFG，EF=FG， ∴ △AEF≌△CGF. (边角边) 于是 AE=CG，∠A=∠FCG. 从而AB∥CG， 又BE=AE=CG， 因此四边形EBCG是平行四边形. ∴EF∥BC， . 从而EF ∥ = 三角形中位线定理： 用符号语言表示: E A B C D ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC, 结论 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 1、三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 2、三条中位线将原三角形分割成四个全等三角形。 3、三条中位线将三角形分割出三个面积相等的平行四边形。 4、三角形一条中位线与第三边上的中线互相平分。 三角形中位线的特点： 拓展补充 C A B D E F 1.如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC =61°，则∠AMN = ，若MN =12 ，则BC = . A M B C N 61° 24 练一练 A D B C E 2.如右图， △ABC 中， D ，E 分别为AB，AC 的中点，当BC =10时，则DE = . 5 例1 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ 解 连接AC. ∵EF是△ABC的中位线， 又∵HG是△ DAC的中位线， ∴ EF∥ HG ，且EF= HG. ∴四边形EFGH是平行四边形. ∴EF∥AC，且 ∴ HG ∥AC，且 例题讲解 例2 如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长． 解：∵▱ABCD的周长为36， ∴BC+CD=18． ∵点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线，DE= CD， ∴OE= BC， ∴△DOE的周长为OD+OE+DE= （BD+BC+CD）=15， 即△DOE的周长为15． 3 中线 中位线 随堂演练 4. 如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：如图，连接BD. ∵点E，H分别是边AB，DA的中点， ∴EH为△ABD的中位线． ∴EH∥BD，EH＝ BD. 同理可得：FG∥BD，FG＝ BD. ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 还有其他的思路吗？连接AC试试吧 5． 90 (2)若F为BC的中点，求EG的长. 6． (1)如图①，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG.猜想FG与△ABC三边有怎样的数量关系．(提示：分别延长AF，AG与直线BC相交) (2)如图②，若BD，CE分别是△ABC的内角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F，G，连接FG.线段FG与△ABC的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明. 三角形的中位线 定义 应用 连接三角形两边中点的连线 性质 DE∥BC, 课堂小结 证明线段平行、倍分关系 1.一个三角形的中位线有　　　　条.  2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,则线段CD是△ABC的　　　,线段DE是△ABC的　　　　.  3、如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E,F分别为BC,AC的中点,连接DF,DE,EF,若△ABC的周长为6,求△DEF的周长. 解: ∵在△ABC中,CD⊥AB于点D, E,F分别为BC,AC的中点, ∴DE=BC,DF=AC,EF=AB. 又∵△ABC的周长为6, ∴△DEF的周长为 (AB+BC+AC)=×6=3. 如图，△CAB，△CDE均为等腰直角三角形，AC＝BC＝2，DC＝EC，点A，E，D在同一直线上，AD与BC相交于点F，G为AB的中点，连接CG，BD，EG. (1)∠BDA的度数为________°； 【解】如图，作CH⊥AD于点H，则∠CHF＝∠BDF＝90°. 因为CE＝CD，所以CH＝EH＝DH＝DE. 因为F为BC的中点，所以CF＝BF. 又因为∠CFH＝∠BFD，所以△CHF≌△BDF. 所以CH＝BD.因为易知AE＝BD，所以AE＝CH＝EH. 又因为G为AB的中点，所以EG＝HB. 因为∠ACF＝90°，AC＝2，CF＝BC＝， 所以AF＝5.所以S△ACF＝×5CH＝×2×. 所以CH＝2.所以DH＝CH＝BD＝2. 所以HB＝＝2.所以EG＝. 【解】猜想：FG＝(AB＋BC＋AC)． 如图①.因为AF⊥BD，所以∠AFB＝∠MFB＝90°. 因为BD是△ABC的外角平分线，所以∠ABF＝∠MBF. 又因为BF＝BF， 所以△ABF≌△MBF.所以MB＝AB，AF＝MF. 同理CN＝AC，AG＝NG，所以FG是△AMN的中位线． 所以FG＝MN＝(MB＋BC＋CN)＝(AB＋BC＋AC)． 【解】猜想：FG＝(AB＋AC－BC)． 证明：如图②，延长AG，AF，与直线 BC相交于点P，Q.由(1)中证明过程类似证△ABF≌△QBF， 所以QB＝AB，AF＝QF，同理CP＝AC，AG＝PG， 所以FG是△APQ的中位线，所以FG＝PQ，即PQ＝2FG. 所以BC＝BQ＋CP－PQ＝AB＋AC－2FG， 所以FG＝(AB＋AC－BC)． $