精品解析：湖南省张家界市桑植县第四中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

桑植县第四中学2025~2026学年度上学期期末考试 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案签在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人数A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是第二象限角，则是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 8. 古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确的是（ ） A B. C. D. 10. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则扇形中心角的弧度数为______． 13. 如图，某港口某天6时到18时水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最小值为__________. 14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知，求的值． 16. 已知第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数． （1）求的对称中心坐标； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关．经验表明，某种普洱茶用95度的水冲泡，等茶水温度降至60度饮用，口感最佳，某实验小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 7603 70.93 66.33 （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少． 参考数据：． 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桑植县第四中学2025~2026学年度上学期期末考试 高一数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案签在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人数A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】集合的基本运算问题. 【详解】因为，所以， 且，所以 =. 故选：C 2. 若是第二象限角，则是（　　） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】由象限角的定义即可求解. 【详解】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用不等式的性质即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以.即的取值范围为. 故选：A. 5. 不等式在上的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果. 【详解】∵，则， 注意到，结合余弦函数图象解得. 故选：D. 6. 已知（且且），则函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性判断. 【详解】当时，，函数与均为减函数，四个图象均不满足， 当时，，函数与均为增函数，排除ACD，在同一坐标系中的图象可能是B. 故选：B． 7. 设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 8. 古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为a，b，c，则其面积，其中．现有一个三角形的边长满足，则该三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】代入海伦公式之后，用基本不等式计算最大值. 【详解】由题意可知， ， ， 因为，所以，当且仅当时等号成立，所以ab的最大值为16， 所以三角形面积的最大值． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列表达式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，逆用余弦差角公式求解.选项B，利用正切二倍角公式求解.选项C，利用进行替换即可.选项D，利用平方差公式化简之后，再利用二倍角公式化简. 【详解】选项 A，，选项A正确. 选项 B，，选项B正确. 选项 C，，选项C错误. 选项 D， ( ，选项D错误. 故选：AB 10. 已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D. 【详解】幂函数的定义域为， ，， ∵函数在单调递增，， ∴，即，故A正确； ，， ∵函数在单调递减，，即， ∴，即，故B错误； ∵幂函数在上单调递增，， ∴，，即，∴，故C正确； ， ∵， ∴，即，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知实数为函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，结合数形结合思想逐一判断即可. 【详解】令，则， 分别作与的图象如图所示． 由图可得， 所以，故A正确； ，故C正确； 由于， 所以，故B正确，D错误， 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则扇形中心角的弧度数为______． 【答案】3 【解析】 【分析】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为．利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设这个扇形中心角的弧度数为，半径为． 一个扇形的弧长与面积的数值都是6， 且，解得， 故答案为：3 13. 如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：）的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据图象，利用正弦型函数的最值求解. 【详解】据图象可知，这段时间水深最大值为，所以，故这段时间水深的最小值为. 故答案为：2. 14. 设奇函数在上是增函数，且，若不等式对任意的，都成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为5，则有对任意的成立，将看成变量，得出不等式组，解之可得结果． 【详解】因为奇函数在上是增函数，且， 所以最大值为5． 所以只需 即对任意的恒成立即可， 令， 则，即 解得或或． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15 （1）计算； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数运算进行计算即可； （2）先根据已知条件求出，然后根据对数的性质计算即可. 【详解】（1）由题意得． （2）由，可得． 所以． 16. 已知是第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助诱导公式和同角三角函数的基本关系化简即可； （2）构造齐次式，将弦化切，代入计算即可. 【小问1详解】 由题意，， 解得，又是第三象限角， . 【小问2详解】 由（1），，是第三象限角，则， . 17. 已知函数． （1）求的对称中心坐标； （2）将的图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到的图象，当时，方程有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，再用整体法算对称点坐标. （2）先将平移变换之后的解析式，然后代入，计算值域，求m的取值范围. 【小问1详解】 解：（1）因为． 由，得． 故的对称中心坐标为． 【小问2详解】 由（1）知， 那么将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到． 当时，，， 由方程有解，可得实数m的取值范围为 18. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关．经验表明，某种普洱茶用95度的水冲泡，等茶水温度降至60度饮用，口感最佳，某实验小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出以下三种函数模型：①；②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； （2）按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少． 参考数据：． 【答案】（1）选②，理由见解析， （2）6.5分钟 （3）25℃ 【解析】 【分析】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数，所以排除③，代入数值之后计算不是直线，所以排除①，所以选②，然后代入数据计算. （2）令，求解方程后并换底公式化简，再根据题目给的参考数据计算即可. （3）根据指数函数单调递减求函数的值域，再求室温即可. 【小问1详解】 由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以． 【小问2详解】 由题意，即， 所以（分钟）. 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约为6.5分钟 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时的室温约为25℃. 19. 若对定义域内任意，都有，则称函数“步长”增函数． （1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由； （2）若函数是“步长”增函数，求的最小值； （3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）由单调性及新定义即可判断； （2）由恒成立，得到恒成立，进而即可求解. （3）结合新定义，由和两类情况讨论求解. 【小问1详解】 函数是“2步长”增函数．理由如下： 因为的定义域为在上都是单调递增， 所以上单调递增，所以． 所以是“2步长”增函数． 【小问2详解】 因为是“步长”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或． 因为，所以． 【小问3详解】 若在上单调递增，则恒成立，符合题意； 若，分以下情况： ①当时，单调递增，则恒成立； ②当时，，单调递增，则恒成立； ③当时，若，则，解得； ④当或时，若，则． 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $