精品解析：山东省济南市名校联考2025-2026学年高一上学期1月阶段性检测数学试题

山东地区高一1月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 7. 现将函数的图象上每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，在上单调递增 10. 已知函数．若是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若点是图象的一个对称中心，则 C. 若，则 D. 若直线是图象的一条对称轴，则 11. 已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. 实数的取值范围是 C. D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____． 13. 若函数在上严格减，则的取值范围是__________. 14. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若，对，使得，求实数的取值范围． 19. 若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， （1）求的解析式; （2）求函数在上的2倍倒域区间; （3）若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东地区高一1月阶段性检测 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：A 2. 若，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解绝对值不等式，再根据充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由，解得，即， 又因为，所以， 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】已知，且，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 4. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用换元法将变为关于的二次函数，根据二次函数单调性即可求解. 【详解】令，则，得， 所以可以转化为． 因为二次函数在上单调递增， 当时，， 所以函数的值域为． 故选：D． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】指数函数在上单调递增， ，即； 对数函数在上单调递增， ，即； 指数函数在上单调递减，且值域为， ，即. 综上所述，. 故选：A. 6. 已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的解析式，代入已知点，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】由题意，食品在的保鲜时间是． 将代入函数，得，所以． 因为食品在的保鲜时间是，所以，即． 又因为，所以，则． 当时，． 又因为，所以， 则， 所以该食品在的保鲜时间是． 故选：C． 7. 现将函数的图象上每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平移伸缩变换求得，结合正弦型函数的单调性，即可得解． 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变， 得到， 再把所得函数图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 当，则， 若函数在上单调递增， 则，，则， 解得，， 又，解得， 由于， 所以当时，． 故选：A 8. 若函数存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合参数讨论，即可判断最小值，从而可求参数范围. 【详解】当时，单调递增，所以， 当时，， 显然当时，在上单调递增， 因此有， 此时函数没有最小值，不合题意； 当时，函数，存在最小值，符合题意； 当时，在上单调递减，最小值， 在上值域为，要满足函数存在最小值， 则只需要. 综上可得：实数a的取值范围为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 当时，在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用换元法得出解析式判断A，再应用解析式计算求解B，C，根据解析式判断单调性判断D. 【详解】由题意，令，则，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 当时，在上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知函数．若是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 若点是图象的一个对称中心，则 C. 若，则 D. 若直线是图象的一条对称轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由的最小值为列出方程，即可得解；对于B，由A可得，代入点使得，结合的范围即可得解；对于C，由弦化切的知识即可得解；对于D，由A可得，代入，使得，结合的范围即可得解. 【详解】对于A：函数，若是的两个不同解， 且的最小值为， 所以，即，解得，故A正确； 对于B：由A可知，， 若点是图象的一个对称中心， 则，故． 因为，所以，满足条件，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：由A可知，， 若是图象的一条对称轴， 则有， 则，又因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为和 B. 实数的取值范围是 C. D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据指数函数以及二次函数的单调性，结合分段函数的性质，可得其正误；对于B，由函数解析式作图，结合函数与方程的关系，可得其正误；对于C，结合图像以及二次函数的性质，可得其正误；对于D，根据对数函数的运算性质，结合二次函数的对称性，可得其正误. 【详解】当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 当时，，因为函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，且． 对于A，函数的单调递增区间为和，故A正确． 对于B，因为关于的方程恰有4个不同的实数根， 所以函数的图象与直线有4个交点.作出函数的大致图象与直线，如图． 由图得，当时，函数的图象与直线有3个交点； 当时，函数的图象与直线有3个交点； 当时，函数的图象与直线有4个交点，故B正确． 对于C，由二次函数图象的对称性得，关于直线对称， 所以，即，故C错误． 对于D，由图得，，即， 所以，解得， 所以，由图得，所以． 所以，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，结合诱导公式求解即可. 【详解】因为， 则． 故答案为： 13. 若函数在上严格减，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性结合指数函数、二次函数的单调性列不等式组即可解得的取值范围. 【详解】因为函数在上严格减， 所以，解得，则的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； 【小问2详解】 ∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 16. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”.经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入为元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）. （1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料（单位：千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 【答案】（1） （2）当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元 【解析】 【分析】（1）利用该水果树单株产量乘以市场售价减投入总成本即可得出利润表达式； （2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案. 【小问1详解】 由题意可得， 即，整理得. 【小问2详解】 当时，是对称轴为且开口向上的抛物线， 所以当时，； 当时，， 因为，当且仅当即取等号， 所以； 综上所述，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润是240元． 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简的表达式，结合正弦函数的性质，即可求得答案； （2）化简，参变分离，可得，换元，即令，则求在上的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． 【小问2详解】 由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）若对恒成立，求实数的取值范围； （3）若，对，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用函数与的奇偶性列出方程，即可得解； （2）利用函数的奇偶性与单调性，结合二次函数恒成立的知识，即可得解； （3）结合指数函数的单调性，求得，再利用换元法求得的最小值，最后根据两函数的值域关系列不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意得． 又因为， 所以两式相加得，两式相减得． 综上，． 【小问2详解】 由，得． 因为是奇函数，所以． 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增． 所以，即，对任意恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，， 又因为，故，所以． 当时， ． 令，则， 则． 由，使得， 只需，即， 所以实数的取值范围为． 19. 若函数在时，函数值y的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.已知奇函数的定义域为，当时， （1）求的解析式; （2）求函数在上的2倍倒域区间; （3）若以函数在上的2倍倒域区间上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义即可求解； （2）利用的单调性求出a，b，由“倒域区间”的定义即可求解； （3）由题得函数图像与函数的图像有两个交点，对m讨论，利用根的分布求解即可. 【小问1详解】 当时，，所以， 为奇函数，所以， 所以. 【小问2详解】 当时，在单调递减， 由题意在内的值域为，且在上单调递减， 所以， 所以a，b为方程的两个不等实根，，且， 所以，所以在上的2倍倒域区间为 【小问3详解】 由()得，， 所以，  由题得函数图像与函数的图像有两个交点， 当时，的图像开口向上，且过点所以的图像与函数的两段图像各有一个交点， 当时，由得，令，， 所以得又，所以， 当时，由得，令，， 所以得，所以，所以 当时，时由得，时由得方程无解. 当时，的图像开口向下，对称轴， 由题的图像与函数在的图像有2个交点， 由得，令，， 所以不等式组无解. 综上所述存在满足条件. 【点睛】思路点睛：二次项函数的最高项系数含参，需要对参数进行分类讨论；研究函数在某个区间内交点个数可以转换为方程在对应范围内解的个数，在转换为二次项函数在对应期间内与轴交点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $