精品解析：陕西省商洛市山阳县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、∵，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面往下看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：如图所示，俯视图为： 故选C． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是注意看到的线用实线表示，看不到的线用虚线表示． 3. 如图， 绕顶点 逆时针旋转30°至，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转、三角形内角和定理，根据旋转的性质可知，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： 绕顶点 逆时针旋转至， ，， ， ， 在中，， ． 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 5. 如图，在 中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定和 相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴，故该选项不符合题意； C、根据，不能判定 和相似，故该选项符合题意； D、∵，， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 6. 若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 7. 如图四边形 内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，结合三角形内角和定理得出，再由圆内接四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形 内接于， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个点 B. 当 时，该二次函数取得最小值 C. 若二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，则 D. 将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则当或时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先求得该二次函数的图象经过点，，求得对称轴为直线 ，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：当 时，，即该二次函数的图象经过点，故选项A不正确； 当时，，则该二次函数的图象经过点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当 时，该二次函数取到最大值，故选项B不正确； ∵该二次函数的图象经过点，，开口向下，且二次函数与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∴，故选项C不正确； ∵该二次函数的图象经过点，，将该二次函数的图象向左平移1个单位，则经过点，， ∴则当或时，，故选项D正确； 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把方程化成的形式，则 的值是________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出 的值． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， ∴， 故答案为：11． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，由此求解即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 11. 在 中， ，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正切的定义，利用正切值求出的长即可，熟练掌握正切的定义是解题关键． 【详解】解：在 中， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．设平均每年增长率是x，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设平均每年增长率是x， 根据题意得：， 解得： 负值舍去， 则这两年产量的年平均增长率为 故答案为：． 13. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是___．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，先判断反比例函数中的正负，再根据反比例函数的性质比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数的比例系数为，， ∴， ∴图象的两个分支在第二、四象限， ∵第四象限的点的纵坐标小于第二象限的纵坐标，点在第二象限，点在第四象限， ∴， 故答案为：>． 14. 如图， 为半圆O的直径， ，为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 如图，连接 交于 ，连接 ，利用勾股定理求出 ，再利用相似三角形的性质求出 ， ，，证明，构建关系式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接 交于 ，连接 ， 为半圆O的直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即， ． 故答案为：1． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：， 移项得：， 提公因式得：， ∴或， 解得：． 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：． ． 【点睛】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 17. 如图，已知，，垂足分别为、 ， 交 于点 ，，，，求 的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据，可得，由对顶角相等得，则，根据相似三角形的性质即可求解，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 某汽车的功率 为一定值，汽车行驶时的速度 （米/秒）与它所受的牵引力 （牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力 为牛时，汽车的速度为多少？ 【答案】（1） （2） 米/秒 【解析】 【分析】（1）根据图形，设 与 之间的函数关系式为，从图形中取一组数据代入计算即可求解； （2）将牛代入反比例函数表达式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：设 与 之间的函数关系式为， 把代入得，， ∴反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：把牛，代入（米/秒）， ∴汽车的速度为 米/秒． 【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握反比例函数表达式的意义及计算方法是解题的关键． 19. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________； （2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）设“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏"分别用字母 、、 表示，然后画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：用A、B、C依次表示这三个节目， 根据题意画图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果数，其中一班、二班同学表演不同节目的有6种，则一班、二班同学表演不同节目的概率是． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出， 的位似图形，使与 的相似比为2，且点的对应点分别是； （2） 与的面积比为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-位似变换，相似的性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：与 的相似比为， 与 的面积比为， 即 与的面积比为． 故答案为：． 21. 建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔旁的水平地面上 处，小宛在 之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点 时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端 ，此时测得米，小豫眼睛距地面高度米；然后小宛沿 前进至点 处用测角仪测得龙角塔顶端 处的仰角，已知测角仪高度为米，小宛行走的距离米，点在同一水平线上，都垂直．请你根据以上信息．求龙角塔的高（ 的长）（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】龙角塔的高约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，相似三角形的应用，过点 作于 ，则四边形是矩形，设米，证明，由相似三角形的性质即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质、添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点 作于 ， ， ，，， 四边形是矩形， 米，， 设米， 由题意得：，， ， ，即， ， 米， ，米， ， 解得：， 龙角塔的高约为米． 22. 如图，矩形中，点 在边上，连接 ，于点 ，，，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，． 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点在 轴的正半轴上，点 在反比例函数的图象上，点 的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形 面积的，求点的坐标． 【答案】（1）y （2）或 【解析】 【分析】（1）过点 作 轴的垂线，垂足为 ，由点 的坐标，利用勾股定理可求出 的长，利用菱形的性质可得出 的长，可得三点共线，进而可得出点 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出 的值； （2）设点M的坐标，根据的面积是菱形 面积的，列方程解出即可． 【小问1详解】 解：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，则，如图1所示． ∵点 的坐标为， ， ∵四边形 为菱形， ， 三点共线， ∴点 坐标为． ∵点 在反比例函数y的图象上， ； ∴y； 【小问2详解】 解：由（1）知：反比例函数的关系式为y， 设点的坐标为， 的面积是菱形 面积的， ， ， 或， 或． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，找出点 的坐标；（2）根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题． 24. 如图，在 中， ，以 为直径的与边 、分别交于D、E两点，于F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 连接 ， ， ∵ 是的直径， ∴ ， 又∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ 为的半径， ∴为的切线； （2）7 【解析】 【分析】（1）连接 ， ，求出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）求出 、，推出四边形和四边形是矩形，推出，，求出 ，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 交 于M，过O作于N， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵ 是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， 即， 同理四边形是矩形， ∴， ∵ 为半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为R， 则在中，由勾股定理得：， 解得： ， 则， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，添加合适的辅助线解答是解题的关键． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口 处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以 为原点，直线 为 轴，垂直于路面 方向为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时， ， 水柱不会喷射到护栏上 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 略 26. 【问题提出】 （1）如图①，点A是外一点，点 是上一动点．若的半径为3， 长度为5，根据 ，得到点 到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形 的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点 和 运动，连接 和交于点 ．求点 到点 的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形 活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在 上取一点 ，在 上留一条小路与小路 交于点 ，并将绕点 逆时针旋转得到线段，与 交于点 ，连接与 交于点 ，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在，面积的最小值为19200 【解析】 【分析】本题考查了正方形、勾股定理、圆、旋转、相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握圆、全等三角形、相似三角形的性质； （1）结合题意，当三点共线时，最小值，从而得到答案； （2）根据题意得，在根据全等三角形的性质，通过证明，推导得，在结合圆的性质，得 点在以 为直径的圆上，当三点共线时，有最小值；再结合正方形和勾股定理计算，即可得到答案； （3）根据圆的性质，得为定值，再根据相似三角形的性质，通过证明，得，设的半径为，从而计算得，结合一元一次不等式，当共线时，即可得到答案． 【详解】（1）当三点共线时，有最小值为， 故答案为：2； （2）根据题意，得， 又∵， 和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴ 点在以 为直径的圆上． 如图，取 的中点 ，连接． ∴． 当三点共线时，有最小值为， ∵已知正方形 的边长为4， ∴， ∴． ∴的最短距离为． （3）存在． 如图，作的外接圆，连接，过点A作，垂足为 ，过点 作，垂足为S． ∵， ∴四边形四点共圆． ∴为定值． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， 设的半径为， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 由图可知，即，解得． ∴． 当共线，即时取等号，即面积的最小值为19200． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末检测 九年级数学 考生注意：本试卷共8页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象经过点（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图， 绕顶点 逆时针旋转30°至 ，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，点分别是边上的点，补充下列条件后，仍不能判定 和 相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图四边形 内接于 ，连接 ．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 无论a取范围内的何值，该二次函数的图象都经过和这两个点 B. 当时，该二次函数取得最小值 C. 若二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，则 D. 将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则当或时， 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把方程化成的形式，则 的值是________． 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 11. 在 中，，若，则 的长为________． 12. 某西瓜地种植一种优质无籽西瓜，随着种植技术的改进，产量从2023年的20吨增加到2025年的28.8吨，则这两年产量的年平均增长率为________． 13. 若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是___．（填“>”“<”或“=”） 14. 如图， 为半圆O的直径， ， 为半圆O的弦，D为的中点，于点M，若，则的长为____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 计算：． 17. 如图，已知 ，，垂足分别为 、 ， 交 于点 ，，，，求 的长． 18. 某汽车的功率 为一定值，汽车行驶时的速度 （米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示： （1）请写出这一反比例函数的解析式； （2）当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？ 19. 为了弘扬中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，某校积极筹备校园艺术节，九年级一班、二班准备在“民歌串烧”“民族舞蹈”“民乐演奏”中分别选择一个节目进行表演．学校把这三个节目名分别写在三张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这三张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上． （1）九年级一班随机抽取一张卡片，则抽中“民族舞蹈”的概率是__________； （2）—班同学先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目后放回，二班同学再随机抽取一张卡片，记录下卡片上的节目．请用列表法或画树状图法求出一班、二班同学表演不同节目的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出， 的位似图形，使与 的相似比为2，且点的对应点分别是； （2） 与的面积比为________． 21. 建于清咸丰四年的龙角塔，位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．小豫和小宛利用所学知识测量龙角塔高度，如图，小豫站在龙角塔旁的水平地面上 处，小宛在 之间的水平地面上放置一个平面镜并来回移动，当平面镜移动到点 时，小豫刚好在平面境内看到龙角塔顶端 ，此时测得米，小豫眼睛距地面高度米；然后小宛沿 前进至点处用测角仪测得龙角塔顶端 处的仰角，已知测角仪高度为米，小宛行走的距离米，点在同一水平线上，都垂直．请你根据以上信息．求龙角塔的高（ 的长）（结果精确到1米，参考数据：）． 22. 如图，矩形中，点 在边上，连接 ，于点，，，． （1）求证：． （2）求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 与原点 重合，点 在 轴的正半轴上，点 在反比例函数的图象上，点 的坐标为． （1）求反比例函数的关系式； （2）设点 在反比例函数图象上，连接，若的面积是菱形 面积的，求点 的坐标． 24. 如图，在 中， ，以 为直径的 与边 、 分别交于D、E两点，于F． （1）求证： 为 的切线； （2）若，，求 的长． 25. 某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高米，当水柱离喷水口 处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以 为原点，直线 为 轴，垂直于路面 方向为 轴，建立平面直角坐标系． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）出于安全考虑，在河道的坝边 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为1.2米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 26. 【问题提出】 （1）如图①，点A是 外一点，点 是 上一动点．若 的半径为3， 长度为5，根据 ，得到点 到点A的最短距离为_____________； （2）如图②，已知正方形 的边长为4，点分别从点同时出发，以相同的速度沿边方向向终点 和 运动，连接和交于点 ．求点 到点 的最短距离． 【问题解决】 （3）如图③，某老小区有一个矩形 活动广场，由于广场年久失修，居民使用率很低，物业为改善居民生活品质，计划将这个广场进行更新改造．按照改造设计要求，在 上取一点 ，在 上留一条小路与小路 交于点，并将 绕点逆时针旋转得到线段，与 交于点，连接与 交于点，在处建一个人工湖，已知，，．为满足活动广场各功能场所的需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $