精品解析：北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题

海淀区2025-2026学年第一学期期末练习 高三数学 2026. 01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由并集的定义可知，. 故选：B. 2. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 3. 直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，代入直线方程计算即可. 【详解】由题意知，，代入直线方程， 得，解得. 故选：B 4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由通项公式，计算常数项,然后取其最小值. 【详解】二项式的通项公式为：， 化简得， 要存在常数项，需满足的指数为0，即， 因为，且，所以必须是的正整数倍. 取时，. 故选：A 5. 双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，进而分焦点在轴上、焦点在轴上两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，双曲线的实轴长为2，则，即， 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，无解； 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线的方程为， 因为双曲线经过点，所以，解得， 则双曲线的方程为. 故选：D 6. 已知点，点，当变化时，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 7. 已知非零向量满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先联立和化简，然后代入推导，证明充分性，再由推导，证明必要性. 【详解】充分性 已知， 代入，得 若 ，则 ，因此，充分性成立. 必要性 因为 是非零向量，所以，必要性成立. 综上，是的充要条件. 故选：C 8. 在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（ ） A. 点可以在点处 B. 点在底面上的轨迹为线段 C. 点的轨迹围成直角三角形 D. 直线与点的轨迹所在平面相交 【答案】D 【解析】 【分析】对几何体建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求出点坐标所满足的方程，结合题目关于在三棱柱表面的信息，确定点的轨迹，再结合选项逐项分析. 【详解】 根据题干信息，以点为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，令， 则，，，，,,设点，故，， 由于，则，即； 对于选项，当在时，，，故选项正确； 对于选项，当在底面时，，即，则，由于，故在底面上的轨迹是，与中点连线所在的线段，故选项正确； 对于选项，由前两项的分析可知，，在上符合题意，故，连接，，面，则三角形的三边就是的轨迹，由于，，，故，则三角形为直角三角形，故选项正确； 对于选项，三角形就是的轨迹，且面，则为面的法向量，由于，，故面，且直线上没有点在平面内，故面，故选项错误； 故选：. 9. 若函数满足对任意的，都有，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合选项，先求出，通过举例判断ACD；对于B，构造函数，进而结合二次函数的性质求解判断即可. 【详解】对于A，由，则，而， 当时，，，此时，故A错误； 对于B，由，则， 而， 设， 当时，令，， 则，函数开口向下，对称轴为， 所以时，，则，即，满足，故B正确； 对于C，由，则，而， 当时，，， 此时，故C错误； 对于D，由，则，而， 当时，，， 此时，故D错误. 故选：B 10. 已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】取，结合周期数列和数列单调性的定义可判断①；利用等差数列和周期数列的定义可判断②. 【详解】对于①，不妨取， 因为数列为周期数列，即存在，使得对任意成立， 所以，此时数列不是递增数列，①错； 对于②，因为，则， 令，则，则数列为常数列，不妨设，即， 所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为的等差数列， 当为奇数时，设，可得， 则， 当为偶数时，设，可得， 则， 不妨取，则， 显然对任意的，，即数列是周期为的周期数列， 此时，即为等差数列， 故对任意，存在，使得为等差数列，②对. 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的求和公式求出公比，再由通项公式求解. 【详解】因为， 所以或（舍去）， 所以， 故答案为： 12. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】利用抛物线的标准方程即可求解焦点坐标，利用求点坐标和两点间距离公式可求焦半径长. 【详解】由为抛物线的焦点，则的坐标为， 由可得：的横坐标为， 代入抛物线可得：， 即可得的纵坐标为， 所以， 故答案为：； 3. 13. 在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理进行求解. 【详解】因为是边上的中线，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 即，所以， 故答案为： 14. 已知函数， ① 若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________； ② 若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________. 【答案】 ①. 2（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】作函数及的图象，数形结合求解. 【详解】作函数图象，如图， 由图象可知，当或时，方程恰好有一个解， 故可取（答案不唯一）； 因为过定点， 在同一平面直角坐标系内作的图象，如图 由图象可知，当时，方程恰好有三个解. 故答案为：2（答案不唯一）； 15. 已知曲线，给出以下四个结论： ①曲线是轴对称图形； ②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积； ④曲线与直线有公共点. 其中所有正确结论的序号是________________. 【答案】① ③ 【解析】 【分析】对于①，根据方程形式易发现可互换，可判断该命题是否正确；对于②，可举例说明其错误；对于③，构造曲线关于轴的对称曲线，取直线与曲线和曲线在第二象限的交点分别为，，比较的大小即可判断命题是否正确；对于④，假设曲线与直线有公共点，结合不等式可推出方程无解，故可判断其错误. 【详解】对于①，设为曲线上任意一点， 则， 又因为关于的对称点为， 且， 所以在曲线上， 所以曲线关于的对称，所以曲线是轴对称图形，故①正确； 对于②，因为， 所以点在曲线上，故②错误； 对于③，设曲线与轴正半轴交点为，与轴负半轴交点为， 设曲线， 易知曲线与曲线关于轴对称， 所以曲线过交点， 设曲线与轴负半轴交点为， 设直线与曲线和曲线在第二象限的交点分别为，， 于是可得， 即， 下面分析的大小， 若，则， 所以， 所以或， 即或，显然均不成立，故； 若，则， 所以， 所以， 所以，所以， 所以或， 即或， 显然与矛盾，故不成立； 若，则， 所以， 所以， 所以，所以， 所以且， 即且，显然与可以同时满足，故成立， 所以曲线在第二象限的面积小于曲线在第二象限的面积， 进而可知曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积，故③正确； 对于④，联立， 消去得， 因为， 所以方程无根， 所以曲线与直线无公共点，故④错误. 故答案为：① ③ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，为锐角，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 【答案】（1） （2）的周长为 【解析】 【分析】（1）根据题目条件结合正弦定理与角度的函数值即可求出. （2）选取条件后利用余弦定理与正弦定理求出的周长. 【小问1详解】 在中，由正弦定理，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为为锐角，所以； 【小问2详解】 选择条件①：， 由（1）得，所以， 由余弦定理， 得， 所以（舍），的周长为. 选择条件③：， 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 的周长为. 选择条件②：， 由（1）得 由正弦定理得：，此时三角形不存在. 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，与相交于点，连接，然后证明四边形为平行四边形，得到，进而证明结论；方法二：取中点，连接，然后证明四边形为平行四边形，得到，进而证明结论. （2）建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面与平面的法向量坐标，最后根据向量夹角的余弦公式求出平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 方法一：连接，与相交于点，连接， 因底面为正方形，则为中点，又为中点， ， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面， 所以平面. 方法二：取中点，连接， 在中，为中点，为中点， 所以为中位线，所以，所以， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，所以， 又，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， ，故可取， 又因为，平面， 所以平面，平面，， 又因为平面， 所以平面，所以平面的一个法向量可取为， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. （1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； （3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）方案三的数学期望最小 【解析】 【分析】（1）根据题中数据，可得在30个月的数据中，小组所需专用服务器不超过14台的月数，从而可估计概率；（2）当时，随机变量的所有可能取值集合为，根据频率估计概率，可得，从而可求；（3）首先理解，求出三种方案的比较大小即可. 【小问1详解】 根据题中数据，在30个月的数据中， 小组所需专用服务器不超过14台的月数为， 故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为； 【小问2详解】 由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为， 根据题中数据，由（1）知可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为， 因为， 所以可估计为； 【小问3详解】 方案三的数学期望最小. 提示：对于小组，当时，由（2）知； 当时，，所以； 当时，，所以. 对于小组，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，方案一：，，此时； 方案二：，，此时； 方案三：，，此时. 因为，所以方案三的数学期望最小. 19. 已知椭圆：的左顶点为，请从下面条件中任选两个作为已知. 条件①：椭圆的离心率为； 条件②：椭圆经过点； 条件③：点到椭圆的左焦点的距离为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形，求的斜率. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据所选条件求出、值，进而得到椭圆方程. （2）设出直线方程，联立椭圆方程求出点的坐标，根据两直线垂直斜率之间的关系及等腰直角三角形的性质得到关于直线斜率的方程，求解即可. 【小问1详解】 选择条件①和②： 因为椭圆的离心率为，所以，即. 因为椭圆经过点，所以，解得. 又，所以，解得，所以. 所以椭圆的方程为. 选择条件①和③： 因为椭圆的离心率为，所以，即. 因为点到椭圆的左焦点的距离为1，所以，即，解得，所以. 又，所以. 所以椭圆的方程为. 选择条件②和③： 因为椭圆经过点，所以，解得. 因为点到椭圆的左焦点的距离为1，所以，即. 又，所以，即，所以，. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ，设直线的方程为，，，. 由，得， ， 所以， 因为，所以. 又，，所以. 因为，，所以. 因为是等腰直角三角形， 所以， 即，整理得. 当时，整理得，解得； 当时，整理得，解得； 所以直线的斜率为或. 20. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若函数在上单调递增，求的值； （3）若函数在处取得极小值，求的取值范围. 【答案】（1）17 （2）0 （3）当时，，当时，. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【小问1详解】 当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. 【小问2详解】 因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. 【小问3详解】 当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 21. 对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. （1）写出所有的2阶完美数列； （2）若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； （3）是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）3，1；3，2；1，3；2，3. （2）1 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据阶完美数列的定义求解即可，，共有（不符合）种可能.（2）设；；，依题意，，不妨设，根据完美数列的定义判断大小关系，从而可得，进而判断的元素个数.（3）通过反证法推出矛盾. 【小问1详解】 2阶完美数列有4个，分别为；；；. 【小问2详解】 设；；. 依题意，， 不妨设，则，即， 若，则，所以， 由知，用表示中的最大值，则， 所以，由知. 若，则，所以， 所以，. 构造：当为或或或时符合，其他情况不符合， 所以的元素个数为1. 【小问3详解】 不存在16阶完美数列， 假设存在16阶完美数列. 设，， 用表示中的最大值，用表示中的最小值， 则， 其中， 所以，其中为1，2之一， 设，则， 同理，，其中为1，2，3之一， 设，，则， 重复上述过程，则， 所以， 因为， 所以. 所以， 不妨设， 则当时，，（如图）， 设，对进行类似于的研究； 则有，其中， 同理，， 其中当时，（如图）， 所以， 因为， 所以⫋ ， 所以， 又，矛盾， 所以假设不成立， 所以不存在16阶完美数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海淀区2025-2026学年第一学期期末练习 高三数学 2026. 01 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 直线经过圆的圆心，则的值为（ ） A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 4. 在的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 双曲线的实轴长为2，且双曲线经过点，则该双曲线的方程可以为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点，当变化时，的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知非零向量满足，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在三棱柱中，平面，，，点在三棱柱的表面上运动，且，则下列结论错误的是（ ） A. 点可以在点处 B. 点在底面上的轨迹为线段 C. 点的轨迹围成直角三角形 D. 直线与点的轨迹所在平面相交 9. 若函数满足对任意的，都有，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，对任意成立.数列为周期数列，即存在，使得对任意成立，给出下列两个结论： ①对任意，存在，使得为递增数列； ②对任意，存在，使得为等差数列； 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 12. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，则的坐标为__________；点在上，且，则__________. 13. 在中，是边上的中线，且，的面积为，则__________，__________. 14. 已知函数， ① 若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________； ② 若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________. 15. 已知曲线，给出以下四个结论： ①曲线是轴对称图形； ②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积； ④曲线与直线有公共点. 其中所有正确结论的序号是________________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，为锐角，. （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的周长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 17. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）若平面平面，求平面与平面所成角的余弦值. 18. 某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. （1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； （3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的左顶点为，请从下面条件中任选两个作为已知. 条件①：椭圆的离心率为； 条件②：椭圆经过点； 条件③：点到椭圆的左焦点的距离为1. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点.过点作的垂线交直线于点.若是等腰直角三角形，求的斜率. 20. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； （2）若函数在上单调递增，求的值； （3）若函数在处取得极小值，求的取值范围. 21. 对有穷数列，用表示数列中所有的项构成的集合.定义变换，将数列变换成数列. 对有穷数列，令数列. 若，则称为阶完美数列. （1）写出所有的2阶完美数列； （2）若数列为3阶完美数列，求集合的元素个数； （3）是否存在16阶完美数列？如果存在，求出所有的16阶完美数列；如果不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $