湖南省长沙市南雅中学2026届高三上学期适应性保温训练数学试题

南雅中学2026届高三适应性考试保温训练试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（ ） A. 12，0.06 B. 12，0.24 C. 18，0.09 D. 18，0.36 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式：的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 7. 已知数列为等差数列，数列满足.、分别是数列、的前项和，，且，则数列的公差（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 8. 已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等比数列的前项和为，前项积为，，以下结论正确的有（ ） A. 数列为递减数列 B. 是与的等差中项 C. 数列的前项和的最大值为16 D. 有最大值为64 10. 设，，，则有（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 11. 双曲线的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于两点（在第一象限），且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则_____. 14. 已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求角； （2）若，求的周长. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，.，， （1）试问为何值时，平面？并予以证明. （2）若， （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，. （1）在处的切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 19. 甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. （2）设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 南雅中学2026届高三适应性考试保温训练试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】2026 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i） （ii）证明：由（i）知，， 先计算： ， 代入，， 且， 所以， 要证， 即证， 整理得， 令，， 求导， 因为，， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此 在处取得最大值 ， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知 在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 【19题答案】 【答案】（1）（i）； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； （2） 证明：由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $