精品解析：内蒙古赤峰市红山区2025-2026学年高一上学期期末学情检测数学试题

红山区2025-2026学年度第一学期期末学情检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效，考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 2. 本试卷共150分，考试试卷120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求补集，再求交集即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据分段函数求值. 【详解】由于， 则， 所以. 故选：A 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】得，再由集合的包含关系即可判断. 【详解】由可得， 由于是的真子集， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，，， 又， 因为在上单调递增，且， 所以，即， 综上可得. 故选：A 5. 函数单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定单调递增区间. 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 7. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得 故选：C. 8. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. (多选)下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，那么 B. 若，，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 【答案】AD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质判断各选项的正确性. 【详解】对A：由题意，，，所以，即，故A正确； 对B：由题意，，，所以，所以，所以，故B错误； 对C：因为，所以，所以，故C错误； 对D：因为，所以，又，所以，故D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数为奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：计算出结合值域即可得；对B：求出后结合奇函数定义即可得；对C：代入计算即可得；对D：结合余弦函数图象计算即可得. 【详解】对A：，由于， 故，故A正确； 对B：， 由， 故不为奇函数，故B错误； 对C：，则，， 则或，，故C正确； 对D：，当时，， 则有，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法正确的有（ ） A. 函数的周期是 B. 直线是函数的一条对称轴 C. D. 函数在的零点有个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶性可推导得A，根据周期性及函数图象可以判断BCD. 【详解】对于A：由题可知，是定义在上的奇函数，故， 又是偶函数，故有，则. 又， ，因此有， 即是周期为的周期函数，故A正确； 由题可知，一个对称中心为，有一对称轴为， 故根据在上的函数图象及该函数的对称性，周期性，可绘制出的函数图象. 对于B：由周期性可知在处的对称性与在处的对称性相同， 结合图象可知关于点中心对称，故B错误； 对于C：已知的周期为，由的函数解析式可知， 由对称性可知， 故，故C正确； 对于D：求函数的零点个数即求函数与的交点个数. 由图可知，与共个区间内各有个交点， 即与在有个交点，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二分法的求解过程写出下一个，即可得得解. 【详解】由二分法的求解过程知，下一个为，所以. 故答案为： 13. 已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数，即可得解. 【详解】因为， 当时，，函数在上单调递减，上单调递增， ，， 当时，，函数在上单调递增． 所以，当直线与函数的图象只有一个交点时，， 则的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】解因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用方程转化为不等式问题：先通过已知条件将方程化简为关于的关系，然后利用基本不等式和恒成立条件来推导出的范围,这种方法简洁有效，是处理多变量不等式问题的常见手段. 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算 （2）已知，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）借助指数幂运算法则和对数运算法则计算求解即可； （2）由已知利用诱导公式得，运用化成关于的齐次分式，再弦化切代入计算即可得解. 【详解】（1） （2）由，得， 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为 （2） （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 17. 已知定义域为的偶函数，当时. （1）求时，的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数在区间上单调递增，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【小问1详解】 时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 19. 对任意函数，我们把方程的实根称为的不动点，的所有不动点组成集合，把方程的实根称为的稳定点，的所有稳定点组成集合. （1）设，求和； （2）设. ①若，求； ②若，求的最小值. 【答案】（1）， （2）①；②的最小值为 【解析】 【分析】（1）对于，利用分段讨论解求得不动点集合，再通过分析绝对值内外的符号分段求解，并结合非负性约束确定稳定点集合的范围， （2）①对于二次函数，利用不动点集合确定系数，并通过恒等式分解方程来求稳定点集合；②在的条件下，将问题转化为判别式约束下的二次函数最值，通过配方法求的最小值. 【小问1详解】 方程即， 当时，，无解； 当时，，解得， 故； 方程即， 等价于，由右边非负得， 当时，，解得（代入验证成立）； 当时，恒成立， 故. 【小问2详解】 ①由得：， 对比得：， 即，所以， ， 令上式等于，解得，故 ②由得的根全在中或无实根， 此时， 则， 由判别式得：， 又，代入得： 当时，右边取最小值，此时， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红山区2025-2026学年度第一学期期末学情检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效，考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 2. 本试卷共150分，考试试卷120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间是（ ） A B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得得0分. 9. (多选)下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，那么 B. 若，，那么 C. 若，那么 D. 若，那么 10. 已知函数，则下列说法正确的是（　　） A. B. 函数奇函数 C. 若，则或， D. 若在区间上恰有3个零点，则 11. 已知是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列说法正确的有（ ） A. 函数的周期是 B. 直线是函数的一条对称轴 C. D. 函数在的零点有个 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用二分法求函数在区间上的零点的近似值，由计算得，.下一个求，则__________. 13. 已知函数，且方程的实数解个数为，则的取值范围为_______. 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为_______ 四、解答题，本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算 （2）已知，求的值. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 17. 已知定义域为的偶函数，当时. （1）求时，解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并证明； （3）求满足不等式的实数的取值范围. 18. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 19. 对任意函数，我们把方程的实根称为的不动点，的所有不动点组成集合，把方程的实根称为的稳定点，的所有稳定点组成集合. （1）设，求和； （2）设. ①若，求； ②若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $