精品解析：河北石家庄市第一中学2026届高考考前模拟考试数学试卷

石家庄市第一中学2026届高考第三次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件. C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ） 参考数据：若，则，． A. 75人 B. 77人 C. 79人 D. 81人 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，设 且是奇函数，若函数f（x）与g（x）的图像的交点坐标分别为，则=（ ） A. 0 B. -8 C. 8 D. 9 8. 可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 10. 已知是定义在上的偶函数，图象关于点对称，在上单调递减，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________. 13. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为_____________． 14. 在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 17. 在正三棱台中，已知，，三棱台的高. （1）求棱台的体积； （2）若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 18. 已知函数，． （1）证明：当时，． （2）若是的极大值点，求的取值范围． 19. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第一中学2026届高考第三次模拟考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的四则运算与复数虚部的概念即可得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：B. 2. 已知向量，若，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和向量垂直的坐标运算求解. 【详解】向量，，， ，，即. 故选：D 3. 设集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件. C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】解：当时，，满足，故充分性成立； 当时，或，所以不一定满足，故必要性不成立. 故选：A. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，是基础题. 4. 某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布．估计该校高三年级本次考试学生数学成绩在120分以上的有（ ） 参考数据：若，则，． A. 75人 B. 77人 C. 79人 D. 81人 【答案】C 【解析】 【分析】，，由概率计算人数即可. 【详解】，，， 因为， 所以， 所以数学成绩在分以上的人数约为人. 故选：C． 5. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 6. 已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】画出函数与的图象如图所示， 由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以 ， 故选：D． 7. 已知函数的定义域为R，设 且是奇函数，若函数f（x）与g（x）的图像的交点坐标分别为，则=（ ） A. 0 B. -8 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】运用函数图像的对称性求解即可. 【详解】令 ，则有 ， ∴ 是奇函数，即 关于 点对称； 同理 也是关于 点对称； 对于交点 不妨看作是根据从小到大排列的， 则这9个交点必然是关于 点对称的，即有： ， ； 故选：A. 8. 可以采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为2，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e＝1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为2的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，截面截圆锥所得的截面ABE与底面夹角为60°，则平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，，则离心率为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面位置关系及面面平行的性质判断各个选项即可. 【详解】对于A：若，，则也成立，A选项错误； 若，，则无公共点，所以无公共点，所以，B选项正确； 若，，，则或异面，C选项错误； 若，，则或异面或相交，D选项错误； 故选：ACD. 10. 已知是定义在上的偶函数，图象关于点对称，在上单调递减，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先的取值无法确定，可判断A的真假，结合和，可判断B的真假，结合函数的单调性和对称性，可判断C的真假，根据奇偶性以及对称性可得函数的周期性判断D的真假. 【详解】的取值无法确定，故A错误； 由于是定义在上的偶函数，则， 又的图象关于点对称，则，所以，故B正确； 由为偶函数，且时，单调递减，则其在单调递增， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相同， 即在区间上单调递增，故C正确； 由，则，故D正确． 故选：BCD 11. 已知双曲线为坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线位于第一象限上的点，分别是的内心、重心，则下列说法正确的是（ ） A. 的横坐标为 B. 直线与双曲线相切 C. 的最大值是 D. 若轴，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，内切圆与三边的切点分别为，延长交于，连接．对于A选项：由内切圆的性质求解；对于B选项：与的外角平分线相互垂直，由双曲线的光学性质得解；对于C：设内切圆的半径为，，化简可得，通过计算得解；对于D选项：利用重心的性质及角平分线定理及余弦定理求出，通过计算得到的范围. 【详解】如图所示，内切圆与三边的切点分别为， 延长交于，连接． 对于A选项：由题意可知、、， ，，可知， ，所以内心的横坐标为，故A正确； 对于B选项：与的外角平分线相互垂直， 由双曲线的光学性质可知直线是双曲线在点处的切线，故B正确； 对于C：设，则有， 其中为双曲线的离心率，设内切圆的半径为， 则有，化简可得， 两边同时平方，代入， 化简可得，所以，故C错误； 对于D选项：轴，由重心的性质可知， 由题意及角平分线定理可知， 则， 在中，由余弦定理可知， 代入数据可得 ， 因为，所以， 所以，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，从而求得数列的通项an，由此可得答案. 【详解】因为Sn＝2an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an(n≥2)，即， 又a2＝，所以an＝×(n≥2)． 当n＝1时，a1＝1≠×＝， 所以an＝ 所以Sn＝2an＋1＝2××＝, 故答案为：. 13. 有款小游戏，规则如下：一小球从数轴上的原点出发，通过掷骰子决定向左或者向右移动．掷出骰子，若是奇数点向上，则向左移动一个单位；若是偶数点向上，则向右移动一个单位，则第一次掷完骰子小球位于且第五次掷完骰子小球位于1的概率为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】掷出骰子，奇数点向上与偶数点向上的概率均为，第一次向左移动位于，且后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次才能保证第五次位于1，根据独立重复试验的概率公式求解即可. 【详解】掷出骰子，奇数点向上的概率为，偶数点向上的概率亦为； 第一次掷完骰子小球位于，即第一次向左移动，且第五次位于1， 则后续4次移动中小球向右移动3次，向左移动1次， 故其概率为． 故答案为. 14. 在平面四边形中，，，，，和的面积分别为，，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，，即可表示出，，在中利用正弦定理表示出，由面积公式表示出，，将转化为关于的三角函数，即可求出的最小值. 【详解】设，，则，， 因为，所以，， 在中，即，所以， 所以， ， 所以 ， 因为，所以，所以， 则， 所以当，即，时取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 随机询问80名不同职业的人在购买食品时是否看营养说明，得到如下调查结果： 职业 买食品时是否看营养说明 合计 不看营养说明 看营养说明 从事与医疗相关行业 12 28 40 从事与医疗无关行业 18 22 40 合计 30 50 80 （1）从这80名受访者中随机抽出1人，已知此人在购买食品时要看营养说明，求这名受访者从事与医疗无关行业的概率； （2）依据小概率的独立性检验，能否推断两个群体在购买食品时是否看营养说明存在差异？ 参考公式： 独立性检验中常用小概率值和相应临界值： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）无差异 【解析】 【分析】（1）根据条件概率及古典概型计算即可； （2）代入公式计算的值，结合临界值判断即可. 【小问1详解】 用A表示事件“受访者在购买食品是要看营养说明”， B表示事件“受访者从事医疗无关行业”，“已知此人在购买食品时要看营养说明， 求这名受访者从事与医疗无关行业”的概率就是在“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为， ，，所以； 【小问2详解】 零假设为：职业与看营养说明相互独立，即两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立， 即认为两个群体在购买食品时是否看营养说明无差异. 16. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【小问1详解】 设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17. 在正三棱台中，已知，，三棱台的高. （1）求棱台的体积； （2）若球与正三棱台内切（与棱台各面都相切），求球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接代入台体的体积公式求解. （2）利用上下底面之间的距离为内切球的直径求解. 【小问1详解】 因为，分别为下底面，上底面面积. . 【小问2详解】 因为上下底面相互平行且均与内切球相切， 故上下底面之间的距离为内切球的直径， 所以，故球O的半径. 所以球的表面积． 18. 已知函数，． （1）证明：当时，． （2）若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合端点值证明不等式成立； （2）通过求二阶导数分析极值点条件，分情况讨论参数对函数单调性的影响，从而确定极大值点对应的参数范围. 【小问1详解】 证明：，则， 当时，，所以在上单调递减. 又，所以．故当时，． 【小问2详解】 的定义域为，， 令，，则． ①若，即，则.令，则， 所以在上单调递增， 当时，．当时，， 所以，在上单调递增，不符合题意. ②若，即，则必存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． ③若，即，则同理可得，存在，使得当时，， 所以在上单调递减． 又，所以当时，在区间单调递减， 当时，，在区间单调递增， 所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． 19. 若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列是一个二阶等差数列，其中． （1）求及的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式，求出，再利用累加法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，利用分组求和及裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 由，得，， 由数列是一个二阶等差数列，得是以2为首项，1为公差的等差数列， 因此，， 当时，， 满足上式，则， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $