精品解析：青海省西宁市大通县2025-2026学年高二上学期期末检测数学试题

青海省西宁市大通县2025-2026学年高二上学期期末检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据前5项的规律，分析总结，即可得答案. 【详解】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 2. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的方程即得. 【详解】因为抛物线的方程为，， 故其准线方程为，即. 故选：C. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理进行求解即可. 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准形式，结合渐近线方程的定义求结论. 【详解】双曲线的标准方程为， 所以该双曲线的渐近线方程为， 故选：C. 5. 已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（ ） A. 21 B. 39 C. 41 D. 43 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式可得结果. 【详解】由题意得，从前到后，每一排的座位数构成等差数列，公差， ∵， ∴. 故选：A. 6. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 8. 已知数列满足，记的前项和为，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据累乘法求通项，根据裂项相消法求. 【详解】由，得， 当时，， 以上各式相乘，得，又，所以， 因为满足上式，所以， 因为，所以. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 21 【答案】AD 【解析】 【分析】由两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意得，解得或. 故选：AD. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，则（   ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为16 【答案】CD 【解析】 【分析】由椭圆方程得到，进而逐项判断即可. 【详解】由题意知， 所以的长轴长为10，， 所以离心率为的周长为， 故AB错误，CD正确. 故选：CD. 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，则____________. 【答案】32 【解析】 【分析】根据等比数列的定义，结合等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 故答案为：32 13. 双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 【答案】17. 【解析】 【详解】试题分析：首先将已知的双曲线方程转化为标准方程，然后根据双曲线的定义知双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值为，即可求出点到另一个焦点的距离为17. 考点：双曲线定义. 14. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【详解】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）结论计算即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可得，所以数列通项公式为. 16. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）将圆心坐标代入直线方程后可求圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离为半径可求切线方程，注意斜率不存在的情形. 【小问1详解】 圆的圆心为， 因为圆的圆心在直线上，所以，解得， 所以圆的方程为. 小问2详解】 当直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离，所以直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解； （3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 由（1）得，，故以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，， 设平面的一个法向量， 则即，解得，，所以， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 由（2）得，， 设平面的一个法向量，则即 令，解得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则 . 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【解析】 【分析】（1）根据焦距和求出和，利用求出，得到椭圆方程； （2）①设，则，计算出； ②设，若直线的斜率为0，得到，与不在轴上矛盾，不合题意，若直线的斜率不为0，设，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由①知，又，所以，列出方程，舍去不合要求的根，求出，所以直线恒过点． 【小问1详解】 由，得，解得， 设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得， 又，所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①由题意，得， 设，由在椭圆上，得，即， 所以， 即直线的斜率之积为． ②设， 若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以， 又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即， 由不在轴上，得，与矛盾， 所以直线的斜率不为0． 设直线的方程为， 由，得， 所以， 且， 由①知，又，所以， 所以，即， 化简，得， 将代入上式并化简，得 即，解得或， 当时，与矛盾，舍去， 当时，满足 所以直线恒过点． 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海省西宁市大通县2025-2026学年高二上学期期末检测数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列，，，，，一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线的方程为，则其准线方程为（   ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 4. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一座能容纳人的学术报告厅共排座位，从第二排起，每排比前一排多2个座位，则第1排的座位数为（ ） A 21 B. 39 C. 41 D. 43 6. 圆与圆的公共弦的长为（ ） A. B. C. D. 7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，记前项和为，则（   ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知两条平行直线与间的距离为3，则的值为（ ） A. B. C. 22 D. 21 10. 已知椭圆左、右焦点分别为为上顶点，则（   ） A. 的长轴长为5 B. 的离心率等于 C. D. 的周长为16 11. 如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. D. P，G，E，F四点共面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在数列中，，则____________. 13. 双曲线上的一点到一个焦点的距离等于1，那么点到另一个焦点的距离为_________. 14. 已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，. （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式. 16. 已知圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知直线过点且与圆相切，求直线的方程. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 18. 如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点. （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $