精品解析：青海省西宁市大通县2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷

2024~2025学年度第一学期大通县期末联考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的标准方程，确定，根据直线方程，即可求解. 【详解】因为，所以抛物线方程为，， 因抛物线准线方程为，所以抛物线准线方程为. 故选：D 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 【答案】B 【解析】 【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可. 【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，， ，，，…，，…，则数列的第项为， 令，解得，所以9是该数列的第41项. 故选：B. 3. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接设直线的一般式方程，然后把点代入方程即可求解. 【详解】设与直线垂直的直线方程是，代入点，得， 解得，所以所求的直线方程是. 故选：A 4. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 5. 已知圆及圆，则与圆都相切的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距和两半径的关系得到两圆内切，从而得到公切线条数. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 所以，圆内切， 所以与圆都相切的直线只有1条． 故选：A． 6. 已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ） A 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式求出，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】因为， 所以，又，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4. 故选：B. 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解. 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 8. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理， 【详解】因为点在直线上，且，所以， 直线的方程为，整理得， 设、，联立得， 恒成立， 所以，，， 又因为，所以，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线：与圆：的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】BC 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离的取值范围，即可判断. 【详解】圆：的圆心为，半径， 当时，点到直线的距离， 因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为或． 故选：BC． 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ） A. 若为双曲线，则或 B. 若为椭圆，则 C. 曲线可能是圆 D. 若为双曲线，则焦距为定值 【答案】BD 【解析】 【分析】A，B，C中，由曲线为双曲线或椭圆或圆，可得参数所满足的条件，进而求出的范围，即可判断A，B，C的真假；D中，分焦点在，轴，可得的值，与有关，判断D的真假. 【详解】若为双曲线，则，故或，所以选项A正确； 若为椭圆，则且，故且，所以选项B错误； 若为圆，则，故，所以选项C正确； 若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误. 综上，选项BD错误， 故选：BD. 11. 已知等比数列的前项积为，公比，则（ ） A. B. C 当时，最小 D. 当时，最大 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，则，，进而，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD. 【详解】对于选项A，B：由题意知，由，得， 所以，得，所以，且， 所以，故A错误，B正确. 对于选项C，D：因为，， 所以数列为递增数列，且当时，，当时，， 所以当时，最小，故C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则___________． 【答案】15 【解析】 【分析】用之间的关系式计算即可. 【详解】由题知． 故答案为：15. 13. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，设，从而得解. 【详解】因为，所以，则存在实数，使， 即，解得，所以 故答案为： 14. 已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在公比大于0的等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】运用等比数列的性质公式构造方程计算，得到通项公式，结合求和公式求和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由题意得 所以，解得（舍去）， 所以． 【小问2详解】 由于，则． 16. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 【答案】不会有触礁危险 【解析】 【分析】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为，则可得暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程和轮船航线所在直线的方程，然后判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系． 为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为，则圆心，半径为2， 轮船航线所在直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离， 所以直线l与圆O相离，所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得，进而证平面， （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，以及的方向向量，可求直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 ，所以得， 又,所以， 又，，平面，所以平面， 【小问2详解】 知，， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,,,1,,,0,,,,,,1, 则,0,,,1,,,,， 设平面的一个法向量,,， 则有，令，则有，， 平面的一个法向量,0,， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 19. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义先求出，然后利用圆上的点到圆心的距离为半径求出，最后求出和椭圆方程； （2）先联立得到的取值范围，然后得到面积的解析式，根据函数性质求得面积最大值，最后判断是否符合要求即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又且以为圆心的圆与直线相切，所以， 又圆过点，所以，解得， 所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 如图所示， 不妨令直线，， 联立，得， 所以，解得， 又， 且点到直线的距离为， ， 所以， 当且仅当时取到最大值，此时满足， 所以 【点睛】关键点睛：熟练应用韦达定理和弦长公式是解决解析几何的基本功，需要大量的训练和练习. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期大通县期末联考 高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C D. 2. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ） A. 第42项 B. 第41项 C. 第9项 D. 第8项 3. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 5. 已知圆及圆，则与圆都相切直线的条数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知等差数列的前n项和为，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，已知直线与抛物线交于、两点，且，交于点，点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线：与圆：的公共点的个数可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中错误的是（ ） A. 若为双曲线，则或 B. 若为椭圆，则 C. 曲线可能是圆 D. 若双曲线，则焦距为定值 11. 已知等比数列的前项积为，公比，则（ ） A. B. C. 当时，最小 D. 当时，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则___________． 13. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________. 14. 已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在公比大于0的等比数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 19. 已知O为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过，的圆与直线相切. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线交椭圆C于M，N两点.若直线l的斜率等于1，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$