精品解析：宁夏回族自治区中卫市第一中学2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题

中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期第5次过程性质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找出各项与序号之间的规律，写出通项公式即可. 【详解】将数列改写为：，，，，，…， 所以是数列1，，，，3，…，的一个通项公式. 故选：D 2. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面垂直时，直线与平面的法向量共线，即可得解. 【详解】若直线平面，则直线与平面的法向量共线， 因此，当时，即为A选项，对于选项B、C、D，找不到满足条件的，故B、C、D错误. 故选：A. 3. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设出圆的方程，根据相切的性质可求半径，进而可得答案. 【详解】设圆的方程为， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，即， 所以. 故选：A 4. 数列的前n项和，则（ ） A. 70 B. 120 C. 40 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】通过，先求出，当时，构造，得出，然后求出即可. 【详解】由， 所以当时，， 当时，， 所以 ， 当时，满足， 所以， 故选：A. 5. 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得或， 又数列为递增等比数列，所以，所以. 故选：C. 6. 设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再利用基本不等式即可求出答案. 【详解】因为是与的等比中项， 所以，即，所以， ， 因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据抛物线方程求解焦点坐标，再根据双曲线的右焦点与抛物线焦点重合可得：，又，得：，最后根据渐近线方程进行求解即可. 【详解】已知抛物线方程为，可得其焦点坐标为， 由于双曲线的右焦点与抛物线焦点重合，可得双曲线的焦点为，即， 由，可得：，即， 综上可得：双曲线的渐近线方程为：. 故选：B 8. 已知圆C的方程为，，点P在圆C内部，过点P的2025条弦长组成一个等比数列，且过点P的最短弦长和最长弦长分别为，，若，则的最大值为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据圆的性质可得过点P的最长弦长，再由等比数列的性质求出，由求出，进而得到点P的轨迹是圆，即可利用圆的性质求出的最大值. 【详解】 由圆C的方程为可知，圆心，半径 由题意可知，过圆内点的最长弦为直径，即. 过圆内点的最短弦与垂直，设， 所以①. 又因为数列是等比数列，由等比数列的性质可知， 即，解得，将其代入①式可得， 所以点P在以C为圆心，8为半径的圆上. 由，可得， 所以圆外一点到圆上一点的最大值. 故选：A 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断． 【详解】对于AB，由题意得且，， 由得，由得， 所以，化简得， 解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确； 对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以； 法二：因为，所以，所以； 故D正确． 故选：ABD． 10. 已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 若，则的面积为 D. 椭圆的离心率为 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆方程得，即判断离心率，由焦点三角形的性质求解其周长和面积，从而判断AC，由焦半径的取值范围判断B. 【详解】由椭圆方程：，可知，. 对于D选项，离心率为，D选项错误； 对于A选项，的周长为，A选项正确； 对于B选项，根据椭圆焦半径性质，，取等号条件是为长轴的两个端点， 由题知等号条件取不到，因此，无最小值，B选项错误； 对于C选项，不妨设，由椭圆的定义，则， 中，由余弦定理可得， 从而，即，，C选项正确. 故选：AC 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 12. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（，需验证的情况），等差数列的定义，通过对递推式变形，构造新的等差数列，及代入具体正整数验证不等式成立的最小取值，逐个分析即可. 【详解】选项A：因为，， 令，则， 因为，所以， 又因为，故，选项A正确； 选项B：因为， 则两边同时除以，得：， 即，且， 因此是首项为1，公差为1的等差数列，选项B正确； 选项C：由的通项可得：，即， 当时，， 当时，，通项成立， 则， 所以：， 所以是等差数列，选项C正确； 选项D：由，则不等式为：， （，，两边除以）得：， 则当时：，，，不成立， 当时：，，，成立， 所以的最小值为6，选项D错误. 故选ABC. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 在等差数列中，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项性质运算即可. 【详解】因为在等差数列中，若，则， 且等差中项，所以， 得到，故. 故答案为： 14. 若数列是等比数列，，则公比_________. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据等比数列的项与前项和的基本量运算列方程求解即得. 【详解】由，可得， 两式相除，可得，即， 解得或. 故答案为：1或. 15. 已知数列的前项和为，满足，则_____. 【答案】121 【解析】 【分析】根据数列的前项和为与的关系，利用相减法得递推关系式，根据递推关系式求解，从而得的值. 【详解】因为， 则当时，， 相减得，即，所以， 又当时，，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为：121. 16. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由递推公式可得数列是常数列，即可得到的通项公式，结合裂项相消法即可得到，然后结合基本不等式，即可得到结果. 【详解】由题意知，则数列是首项为的常数列， ， ，，， 当且仅当，即时取等号， ，则的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知等比数列满足，求. （2）已知数列为等差数列，，计算 【答案】（1）；（2）19 【解析】 【分析】（1）设出等比数列的首项和公比，结合题干条件列方程组求解； （2）由等差中项的性质求出，进而得出，再由可得解. 【详解】(1)设首项为，公比为， 则，解得， ∴. (2)由可得， 所以可得， 又可得， 所以. 18. 设为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若，，成等比数列，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． 【小问2详解】 因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 19. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意知E，F分别是，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出的坐标及平面的法向量，进而可求解直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，，可知两两垂直，则可以A点为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 20. 已知数列，前项和为， （1）若是等差数列，求数列的前项和； （2）若，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出等差数列的通项公式，然后利用裂项相消法求出结果即可. （2）利用分组求和法和等差数列、等比数列的前项和公式进行计算即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； 【小问2详解】 由题意， 21. 数列满足：设 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和为． 【答案】（1） 证明：因为， 所以，即. 又因为，所以， 故是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列定义进行证明； （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 数列的前项和， 相减可得 ， . 22. 已知点和是椭圆上的两个点． （1）求的方程； （2）过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的标准方程为，先把椭圆上两点的坐标代入方程，得到关于的方程组，再解方程组即可确定椭圆方程； （2）利用“切线过已知点”这一条件，将点坐标代入切线方程，即可建立关于切点纵坐标的等式，进而求出通项； 【小问1详解】 将点代入椭圆方程，可得，即， 将与点的坐标代入椭圆方程，可得，，解得， 因为，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设过点的切线方程为， 将代入椭圆方程，得到， 展开并整理可得， 因为直线与椭圆相切，所以：， 化简得，所以，即，解得， 将，代入， 可得，即， 因为直线与椭圆相切，所以， 将代入，可得， 将代入上式，可得， 所以数列的通项公式为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第一学期第5次过程性质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数列1，，，，3，…，的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面的一个法向量，若直线平面，则直线的一个方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 数列的前n项和，则（ ） A. 70 B. 120 C. 40 D. 14 5. 已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（ ） A. B. 27 C. 81 D. 或81 6. 设，，若9是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C的方程为，，点P在圆C内部，过点P的2025条弦长组成一个等比数列，且过点P的最短弦长和最长弦长分别为，，若，则的最大值为（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 10. 已知分别是椭圆：，的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（    ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 若，则的面积为 D. 椭圆的离心率为 11. 下列说法正确的有（ ） A. 在等差数列中，，，则前9项和 B. 在等差数列中，，，则 C. 数列为等比数列，，，则 D. 数列的前n项和为 12. 已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 是等差数列 D. 若，则n的最小值为5 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 在等差数列中，，则的值为______. 14. 若数列是等比数列，，则公比_________. 15. 已知数列的前项和为，满足，则_____. 16. 已知在数列中，，，设数列的前项和为，若不等式对恒成立，则的最小值为________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知等比数列满足，求. （2）已知数列为等差数列，，计算 18. 设为等差数列的前项和，，． （1）求数列的通项公式和前项和； （2）若，，成等比数列，求的值． 19. 如图，在三棱锥中，平面，，D，E，F分别是棱，，的中点，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 已知数列，前项和为， （1）若是等差数列，求数列的前项和； （2）若，求； 21. 数列满足：设 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和为． 22. 已知点和是椭圆上的两个点． （1）求的方程； （2）过点作的切线，切点为，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $