2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学第一轮专题复习- 二次函数压轴题（线段周长问题） 一、单选题 1．如图，是抛物线在第三象限部分上的一点，过点向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 4．抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（  ） A． B．n﹣1 C．n D． 8．如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（    ） A．一直在增大 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大 9．抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（　　） A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5 10．如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②若点、点、点在该函数图象上，则； ③将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为； ④点关于直线的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确判断有（   ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①② 二、填空题 11．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为 ． 12．抛物线，与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 13．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．若点是二次函数在第四象限内图象上的一点，作轴交于点 ，则的长的最大值是 ． 14．已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为 ． 15．如图，已知抛物线与轴交于，两点，顶点在轴上，则下列结论：①抛物线的解析式是；②若函数值，则的取值范围是或；③若点为抛物线上的一点，且，则点的坐标为或；④连接，为线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，则有最大值为1．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）．    三、解答题 16．如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，点C的坐标为，连接B、C两点，设直线的解析式为． (1)直接写出使不等式成立的x的取值范围，并求该二次函数的表达式． (2)点P为线段BC上的一点（不与重合），过点P作x轴的垂线与该二次函数的图像相交于点M，与x轴交于点N，请在图像上画出，当时，求点P的坐标； 18．如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； 19．如图，抛物线：的对称轴为，且与y轴交点的纵坐标为． (1)求b，c的值； (2)若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），求A、B两点的坐标； (3)抛物线：经过抛物线的顶点P． ①请判断抛物线的顶点Q是否在抛物线上，并说明理由； ②若，点E是在点P和点Q之间抛物线上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，直接写出长度的最大值． 20．综合与探究 抛物线（）与轴交于点、点，与轴交于点，且顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线在第三象限内任意一点，连接、得到，当取最大值时，请直接写出此时中边上的高的值为______； (3)如图2，点是抛物线在第三象限内任意一点，过点作轴的垂线，垂足为点，连接，若，求此时点的坐标； (4)在（2）的条件下，当取最大值时，若点是轴上一动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为点，连接、，则的最小值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学第一轮专题复习-二次函数压轴题（线段周长问题）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C B B B B A C 1．D 【分析】本题考查二次函数的最值，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．设，，则，，于是四边形的周长，根据二次函数性质求解． 【详解】解：令，则， 解得，， 抛物线与轴的交点为，， 设，则，， 令四边形的周长为，则， ， 时，取最大值，为6． 故选：D． 2．C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 3．A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：    在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 4．C 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 5．B 【分析】如图所示，连接，先求出二次函数顶点坐标为，进而利用待定系数法求出二次函数解析式为，求出点B的坐标，进而求出点C的坐标，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此利用三角形面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵二次函数图象经过，且有最小值， ∴二次函数对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标为， 设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵A点关于y轴的对称点为B点，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形面积等等，证明四边形是矩形，得到是解题的关键． 6．B 【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论． 【详解】解：令，则， ∴， ∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E， ∴， ∴， 作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图， 则，，，， 此时， ∴此时四边形EDFG周长最小， 延长，它们交于点H，如图， 则， ∴， ∴四边形EDFG周长的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键． 7．B 【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣ ）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1． 【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx， 解得x1＝0，x2＝， ∴P的横坐标为， ∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣， ∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣， ∵＝， ∴＝， ∴＝， ∴＝ ， ∴＝， ∴＝n﹣2， ∴﹣1＝n﹣2， ∴＝n﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键． 8．B 【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设，分别解得直线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN 的长，据此解题． 【详解】抛物线的对称轴为 直线为 E为对称轴与x轴的交点， 点D为抛物线上一动点，设 令x=0，解得y=-3， 令y=0，则 设直线的表达式为，代入点B、D 得 直线的表达式为 设直线的表达式为，代入点A、D 得 直线的表达式为 直线交直线于点M 解得 同理直线交直线于点N， 解得 的长度不变， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 9．A 【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式. 【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3） ∴OC＝3， ∵OB＝OC＝3OA， ∴OB＝3，OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0） 把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得： a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题. 10．C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键． 把二次函数的一般式转化为顶点式，即可发现函数图形与直线相切于顶点，据此判定①，根据“上加下减，左加右减”求出平移后的抛物线的解析式，可判定③，根据对称性质确定点的对称点，再根据二次函数的增减性质可判定②，求出时的抛物线的解析式，作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，四边形周长最小值为与的和，计算后判定④． 【详解】解：将化为顶点式为： 顶点坐标为，函数图形与直线相切于顶点，只有一个公共点，①正确； 将向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到：，③正确； 二次函数的对称轴是直线，故可对称到，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，故，②错误； 当时，函数解析式为：，故 作B关于y轴对称点N，作C关于x轴对称点M，则连接，则为和的最小值，四边形周长最小值为与的和，则有： 当时，四边形BCDE周长的最小值为，④正确； 正确的有：①③④， 故选：C． 11． 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、坐标与图形．先由顶点C的坐标为求得抛物线的解析式，再求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线顶点C的坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， ∵点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上， ∴，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数最值，由求出，，再得出直线解析式为，设，则，则，最后利用二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，令得， ∴， 令得或， ∴， 设直线直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 故答案为：． 14． 【分析】、两点关于抛物线对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，点即为所求，只要求出直线的解析式，把对称轴的值代入直线的解析式，可求的坐标． 【详解】解：如图，连接交对称轴于点，连接，点即为所求， 由二次函数，得， 令，得，， 故，， 故对称轴为， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线， 把代入直线的解析式，得， 的坐标为． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的轴对称性确定使当取得最小值时的点坐标． 15．①②④ 【分析】利用待定系数法求解可判断①；求得点B坐标，根据图象位于x轴上方的点的横坐标范围可判断②；利用坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可判断③；求得直线的表达式，根据坐标与图形性质、三角形的面积公式，利用二次函数的性质求解可判断④，进而可得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴设该抛物线的解析式为， 由图象知，，则，∴， ∴抛物线的解析式是，故①正确； ∵抛物线与轴交于，两点，对称轴为y轴， ∴， 根据图象，当或时，， 即若函数值，则的取值范围是或，故②正确； 由得， ∴或， 解得或， 则满足的点的坐标为或或或， 故③错误； 设直线的表达式为， 将，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 设，则点， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为1，故④正确， 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、坐标与图形等知识，利用数形结合思想求解是解答的关键． 16．(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 17．(1)， (2)画图见解析， 【分析】（1）根据图象求不等式的解集，利用待定系数法求函数的解析式； （2）先求直线的直线的解析式，再设点的坐标，列方程求解． 【详解】（1）解：（1）由图象得：当时，， 将点，代入， ， 解得：， ； （2）解：如图所示， ，在直线上， ， 解得：， 直线， 设，， 则，，， ，， ， ， 解得：或， 不与，重合， ． 【点睛】本题考查了二次函数与方程不等式的关系，及待定系数法，数形结合思想是解题的关键． 18．(1) (2)最大值为4，此时 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，通过对称轴确定系数a和b的关系，并通过设坐标表示出的值是解题关键． （1）通过对称轴确定系数a和b的关系，再代入点A的坐标，即可求出解析式； （2）根据解析式求出点B，C的坐标，从而得到直线的解析式，设出点P的坐标，从而用所设字母表示出点M，N的坐标和和，构造函数关系求最值即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵A点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线解析式为， ∴ 解得 ∴直线表达式为， 设， 则由题意得，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 此时， ∴． 19．(1)b的值为，c的值为 (2)， (3)①抛物线的顶点Q在抛物线上，见解析；② 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可解答； （2）把代入函数解析式即可解答； （3）①求得顶点P的坐标，代入，得到之间的关系，求得抛物线的顶点Q，代入即可判断； ②设点E的横坐标为，表示出的长度，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：的对称轴为， ， 解得， 抛物线与y轴交点的纵坐标为， ； （2）解：根据（1）可得抛物线的解析式为， 令， 解得， 点A在点B左侧， ，； （3）解：①抛物线的顶点Q在抛物线上，理由如下： ， ， 把代入抛物线：， 可得， ， 抛物线：， ， 把代入：， 可得， ， 把代入抛物线：， 可得， ∴抛物线的顶点Q在抛物线上； ②， ， ∴抛物线：，， 设，则， ， ， ， 当，取最大值为． 20．(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，三角形相似的性质与判定，二次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握数形结合和分类讨论的思想，正确画出图形． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴的平行线，交于点，利用铅锤法表示的面积，根据二次函数求得的最大面积，再利用三角形面积公式求得边上的高即可； （3）分两种情况，即点在点上方或点在点下方，利用相似三角形的性质即可解答； （4）画出图形，根据轴对称的性质即可求得求最小值时，点的位置，再利用勾股定理，求得相关线段长度即可解答． 【详解】（1）解：根据顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 令， 解得， ， 令，， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， 当时，可得有最大值为， ， 的最大值为， ， 此时中边上的高的值为， （3）解：， ， 设，则， 当在点上方时，如图， 此时，， ， ， ， 解得， ， ； 当在点下方时，如图， 此时，， ， ， ， 解得， ， ； 综上，点的坐标为或； （4）解：如图，连接， 对称轴为直线，垂直对称轴， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 当三点共线时，取最小值， 根据（2）可得当取最大值时，, ， ，即的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $