专题01 二次根式及其性质（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（浙教版新教材）

专题01 二次根式及其性质（六大题型） 【题型1 二次根式的识别】...................................................................................................1 【题型2 求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型3 求二次根式中的参数】............................................................................................3 【题型4 二次根式有意义的条件】........................................................................................6 【题型5 利用二次根式的性质化简】....................................................................................7 【题型6 复合二次根式的化简】..........................................................................................10 【题型1 二次根式的识别】 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 2．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．形如是二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A 、为立方根，根指数 3，不符合二次根式的定义； B、 为常数 π，不符合二次根式的定义； C 、被开方数为 ，不符合二次根式的定义； D、 被开方数 ，根指数为 2，符合二次根式的定义． 故选 ：D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 4．下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的代数式叫做二次根式，其中．根据二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、，所以是二次根式，故A选项符合题意． B、，所以不是二次根式，故B选项不符合题意． C、是三次方根不是二次根式，故C选项不符合题意． D、，所以不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 【题型2 求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简、二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故答案为：3． 2．计算： ． 【答案】 【分析】先算负整数指数幂，再求二次根式的值，即可． 【详解】 ， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查负整数指数幂和二次根式，掌握负整数指数幂和二次根式的定义，是解题的关键． 3．当 时，二次根式的值为． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二次根式的值的计算，属于基础题型．理解二次根式的概念是解题的关键． 当二次根式的被开方数为零时，则二次根式的值为零． 【详解】解：根据题意可得：，解得：． 故答案为：． 4．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【答案】7． 【分析】与10相邻，且能开平方的整数是9和16，所以 ＜＜ ，所以3＜＜4，由此可以得出a、b的值，然后求和即可. 【详解】∵＜＜，∴3＜＜4；故a=3，b=4；因此a+b=3+4=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查估算无理数的大小．正确估算是解题的关键. 【题型3 求二次根式中的参数】 1．如果y＝+1，则2x＋y的值是 ． 【答案】9 【分析】根据二次根式的非负性可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴x=4，y=1， ∴2x＋y=9； 故答案为9． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键． 2．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 3．若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵|x+2|+＝0， ∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 4．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值． 【详解】解：∵ ， 若是整数， 则也是整数， ∴n的最小正整数值是3， 故选：B． 【点睛】考查了二次根式定义，解题的关键是能够正确的对进行开方化简． 5．已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】因为是整数，且，则2（9−a）是完全平方数，据此分析解答． 【详解】∵是正整数，且， ∴是完全平方数， ∴，即：， ∴实数a的最大整数值为7， 故选B． 【点睛】本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 6．方程的解为 . 【答案】 【分析】先移项，再两边同时平方即可. 【详解】，移项得，两边同时平方2x-1=1,可得x=1, 故答案为x=1. 【点睛】本题考查的是二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键. 【题型4 二次根式有意义的条件】 1．当 时，二次根式有意义． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质．根据二次根式的性质，被开方数必须为非负数． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得， 解得：， 故答案为：． 2．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零；二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，且， 解得． 故答案为：． 3．若有意义，那么满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得满足的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴． 故答案为：． 4．函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：且且， 解得：且且， 即且． 故答案为：且． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．二次根式的被开方数必须非负，分式有意义的条件是分母不能为零． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴ ， 解得 ． 故答案为 ：． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 1．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握． 先确定，然后根据化简代数式，再化简绝对值即可． 【详解】解： ∴， 故答案为：． 2．当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意可知，然后化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为 ：． 3．若，，则的值为 ． 【答案】8或2 【分析】根据二次根式的性质分别求出和的可能值，再计算． 【详解】解：根据二次根式的性质： 由，得； 由，得， ∴或． 分情况计算： 当时，； 当时，． 综上，的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次根式的性质、，解题关键是注意化简后是，需考虑的正负两种情况． 4．当且时，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质，由且，可将化简为，然后与合并同类项即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 故答案为：． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质，绝对值，正确掌握二次根式的性质是解题关键．利用数轴得出的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，且，， ∴， 故． 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，二次根式的性质，根据的取值范围，分别化简绝对值和平方根，然后合并同类项计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：3． 【题型6 数轴与二次根式的化简】 1．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 2．仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 3．完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 【答案】 【分析】（1）先对二次根式进行适当的变形，然后由得，进而代值求解即可； （2）利用完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）原式， ， ， ∵， ∴， 原式， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质及完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质及完全平方公式是解题的关键． 4．已知均为有理数，且满足，则 . 【答案】0． 【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质把化为，然后根据有理数和无理数的计算得到x=1，y=2，代入求值即可. 【详解】∵ ∴， ∵x，y均为有理数， ∴x=1，y=2， ∴ . 故答案为0. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，同时也考查了有理数和无理数. 1．若是二次根式，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义时被开方数非负是解题的关键． 根据二次根式被开方数非负，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， 解得． 故选：B． 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），掌握知识点是解题的关键。 根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）和分式有意义的条件（分母不为零），列出不等式求解即可. 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴有意义，要求，即； 有意义，要求，即. ∴且. 故选B. 3．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质是解题的关键．先观察数轴得，，，则，，再化简，即可作答． 【详解】解：由图知，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质（六大题型） 【题型1 二次根式的识别】...................................................................................................1 【题型2 求二次根式的值】...................................................................................................1 【题型3 求二次根式中的参数】............................................................................................2 【题型4 二次根式有意义的条件】........................................................................................2 【题型5 利用二次根式的性质化简】....................................................................................2 【题型6 复合二次根式的化简】............................................................................................3 【题型1 二次根式的识别】 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列选项中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为 ． 2．计算： ． 3．当 时，二次根式的值为． 4．在两个连续整数a和b之间，即a＜＜b，则a+b= ． 【题型3 求二次根式中的参数】 1．如果y＝+1，则2x＋y的值是 ． 2．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 4．若是整数，则正整数n的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．已知是正整数，则实数a的最大整数值为（   ） A．1 B．7 C．8 D．9 6．方程的解为 . 【题型4 二次根式有意义的条件】 1．当 时，二次根式有意义． 2．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 3．若有意义，那么满足的条件是 ． 4．函数中，自变量x的取值范围是 ． 5．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【题型5 利用二次根式的性质化简】 1．化简： ． 2．当时，化简 ． 3．若，，则的值为 ． 4．当且时，化简： ． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为 ． 6．已知，则 ． 【题型6 数轴与二次根式的化简】 1．化简： ． 2．仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 3．完成下列各题， （1）若，那么的值是 ． （2）化简： ． 4．已知均为有理数，且满足，则 . 1．若是二次根式，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 3．化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 4．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $