专题2 填空题知识点分类2025-2026学年江苏省九年级上学期期末数学复习（10个知识点+10种题型）

该初中数学讲义通过“知识梳理+题型精讲”系统构建九年级上学期期末复习知识体系，知识梳理部分用表格对比（如二次函数对称性与增减性）、公式梳理（加权平均数、方差）及几何模型（隐圆最值轨迹）呈现10个核心考点，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“例题+变式题”分层练习设计，如题型2配方法通过例题及变式题强化运算能力，题型10隐圆最值结合几何直观培养空间观念，每个题型配套方法指导（如三角形内切圆面积法），助力基础生掌握方法、优秀生拓展思维，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

九年级上学期期末填空题知识点分类复习（10个知识点+10种题型） 【题型归纳】 题型1 加权平均数的求法 4 题型2 解一元二次方程-配方法 4 题型3 方差 4 题型4 圆锥的侧面积 4 题型5 一元二次方程求代数式的值 5 题型6 三角形的内切圆与内心 5 题型7 二次函数的对称性与增减性 5 题型8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 6 题型9 垂径定理 6 题型10 隐圆最值 7 一、知识梳理 考点1 加权平均数的求法 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 考点2 解一元二次方程-配方法 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 考点3 方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 考点4 圆锥的侧面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 考点5 一元二次方程根与系数关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 考点6 三角形的内切圆与内心 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径)，所以r=（a、b、c为三角形的3条边）. 考点7 二次函数的对称性与增减性 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 考点8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 考点9 垂径定理 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 考点10 隐圆最值 若∠ACB=90°，则点C在以AB为直径的圆上。 若AC的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角），则B点的轨迹是一个圆。 二、题型精讲 题型1 加权平均数的求法 例1. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是____分． 【变式1-1】小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试90分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末，则小明总评成绩是 _____分． 【变式1-2】某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是___________. 题型2 解一元二次方程-配方法 例2.用配方法解一元二次方程，则方程可化为_________________． 【变式2-1】用配方法解一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，则方程可化为_________________． 题型3 方差 例3. 甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，方差分别是，，，则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是______．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【变式3-1】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______． 【变式3-2】若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则_______（填“>”“<”或“=”）． 题型4 圆锥的侧面积 例4.用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________． 【变式4-1】若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm． 【变式4-2】若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为________． 题型5 一元二次方程求代数式的值 例5.若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【变式5-1】若关于的方程的一个根是，则代数式的值为________． 【变式5-2】若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 题型6 三角形的内切圆与内心 例6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为_______cm． 【变式6-1】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 【变式6-2】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分为的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为______． 题型7 二次函数的对称性与增减性 例7.在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为_______________（用“”表示） 【变式7-1】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______________. 【变式7-2】已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系为________________. 题型8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 例8. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是____米． 【变式8-1】一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m． 题型9 垂径定理 例9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为_____． 【变式9-1】如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为__________． 【变式9-2】如图，抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是_____________． 题型10 隐圆最值 【变式10-1】如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______． 【变式10-2】 如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期末填空题知识点分类复习（10个知识点+10种题型） 【题型归纳】 题型1 加权平均数的求法 4 题型2 解一元二次方程-配方法 5 题型3 方差 5 题型4 圆锥的侧面积 7 题型5 一元二次方程求代数式的值 8 题型6 三角形的内切圆与内心 10 题型7 二次函数的对称性与增减性 13 题型8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 14 题型9 垂径定理 15 题型10 隐圆最值 18 一、知识梳理 考点1 加权平均数的求法 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 考点2 解一元二次方程-配方法 　　　①把原方程化为的形式； 　　　②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； 　　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 　　　④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 　　　⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 考点3 方差 在一组数据中，各个数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用它们的平均数，即用来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差，记作.　　 考点4 圆锥的侧面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 考点5 一元二次方程根与系数关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 考点6 三角形的内切圆与内心 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径)，所以r=（a、b、c为三角形的3条边）. 考点7 二次函数的对称性与增减性 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 考点8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 考点9 垂径定理 　　 　①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 　　 　③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 　　 　④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. 　　 　⑤平行弦夹的弧相等. 考点10 隐圆最值 若∠ACB=90°，则点C在以AB为直径的圆上。 若AC的长度固定不变（定弦），∠ABC=α不变（定角），则B点的轨迹是一个圆。 二、题型精讲 题型1 加权平均数的求法 例1. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是__分． 【答案】96 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算可得． 【详解】解：小丽的平均成绩是＝96（分）， 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确． 【变式1-1】小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试90分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末，则小明总评成绩是 __分． 【答案】81 【解析】 【分析】按的比例算出本学期数学总评分即可． 【详解】解：本学期数学总评分（分． 故答案为：81． 【点睛】本题考查了加权成绩的计算，掌握平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩的含义就是分别占总数的、、是关键． 【变式1-2】某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85．则小桐这学期的体育成绩是___________. 【分析】直接利用每部分分数所占百分比进而计算得出答案． 【答案】解：由题意可得，小桐这学期的体育成绩是： 95×20%+90×30%+85×50%＝19+27+42.5＝88.5（分）． 【点睛】此题主要考查了加权平均数，正确理解各部分所占百分比是解题关键． 题型2 解一元二次方程-配方法 例2.用配方法解一元二次方程，则方程可化为________． 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果． 【详解】方程移项得：， 配方得：，即． 故答案为． 【点睛】此题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 【变式2-1】用配方法解一元二次方程2x2﹣5x+1＝0，则方程可化为________． 【答案】（x）2 【解答】解：∵2x2﹣5x＝﹣1， ∴x2x， ∴x2x，即（x）2 【点睛】此题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 题型3 方差 例3. 甲、乙、丙三名运动员在次射击训练中，平均成绩都是环，方差分别是，，，则这三名运动员中次训练成绩最稳定的是______．（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差的定义：方差反映一组数据的大小，方差越大，波动性越大，反之也成立”解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 这三名运动员中次射击训练成绩最稳定的是乙， 故答案为：乙． 【变式3-1】小丽计算数据方差时，使用公式，则公式中______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差公式，确定这组数据中的每个数据，再求这组数据的平均数即可． 【详解】解：根据方差公式可知，这组数据分别是：1，2，3，4； ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差公式的理解和求平均数，解题关键是明确方差公式的意义，确定每个数据，准确进行计算求平均数． 【变式3-2】若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则_______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了方差，分别计算出、，比较即可得解，熟练掌握方差的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ∴， 故答案为：． 题型4 圆锥的侧面积 例4.用半径为30，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为， 则， 解得：， 故圆锥的底面半径为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及扇形的弧长的计算的知识，解题的关键是牢固掌握和弧长公式，难度不大． 【变式4-1】若一个圆锥的母线长为5cm，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的底面半径为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】由于圆锥的母线长为5cm，侧面展开图是圆心角为 120°扇形，设圆锥底面半径为rcm，那么圆锥底面圆周长为2πrcm，所以侧面展开图的弧长为2πrcm，然后利用弧长公式即可得到关于r的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆锥底面半径为rcm， 则圆锥底面周长为：cm， ∴侧面展开图的弧长为：cm， ∴， 解得：r=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识；正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【变式4-2】若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长公式得出它的侧面展开图的弧长，从而得出圆锥的底面圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为， ∴它的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴这个圆锥的底面圆面积为， 故答案为：． 题型5 一元二次方程求代数式的值 例5.若m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝4，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m，n分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式5-1】若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 题型6 三角形的内切圆与内心 例6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6cm、8cm，则它的内切圆的半径为_______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】利用内切圆半径r=（a、b为直角边，c为斜边）易得这个三角形的内切圆的半径． 【详解】因为直角三角形两条直角边长分别为6cm，8cm， 则这个三角形的内切圆的半径==2（cm）． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心到三角形三边的距离相等. 【变式6-1】如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、．由已知条件可得出，，结合已知条件证明四边形是正方形，由正方形的性质可得出， 根据切线长定理可得，，进而可得出，，，最后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：连接、． ∵内切于， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴．． ∵内切于， ∴，， ∵，， ∴，， 在中， 即． 解得：，（舍去）， 故的半径为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理，勾股定理，掌握三角形内切圆的性质，正方形的判定以及性质，切线长定理是解题的关键． 【变式6-2】如图，是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知，，，阴影部分为的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式、三角形内切圆的性质求出圆的半径，然后根据圆的面积公式求出阴影部分的面积，最后利用概率公式计算即可． 【详解】，，， ， 是直角三角形， 如图，设内切圆的半径为， 则，即， ∴， 解得：， 则的面积为，内切圆的面积为， 因此，小鸟落在花圃上的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、几何概率等知识点，根据三角形内切圆的性质求出圆的半径是解题关键． 题型7 二次函数的对称性与增减性 例7.在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为________（用“”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数对称性与增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∵， ∴点离对称轴最远，点离对称轴最近 ∴ 故答案为：． 【变式7-1】设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______________. 【分析】由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为x＝﹣1．根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【答案】解：∵二次函数线y＝﹣（x+1）2+k， ∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝﹣1． ∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+k上的三点， 而三点横坐标离对称轴x＝3的距离按由近到远为： （﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3）， ∴y1＞y2＞y3 【解答】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 【变式7-2】已知二次函数，若自变量分别取，，，且，则对应的函数值，，的大小关系为________________. 【分析】先根据抛物线的性质得到抛物线对称轴，则x＞﹣时，y随x的增大而减小，于是由0＜x1＜x2＜x3即可得到y1，y2，y3的大小关系． 【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣， 而抛物线开口向下， 所以当x＞﹣时，y随x的增大而减小， 所以当0＜x1＜x2＜x3时，y1＞y2＞y3． 【解答】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 题型8 二次函数的实际应用（抛物线问题） 例8. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是____米． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将已知解析式化简为顶点式即可求得答案． 【详解】解：， 依据顶点式可知顶点坐坐标为，则最大值为45． 故答案为：45． 【变式8-1】一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为________m． 【答案】10 【解析】 【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时， 解得：（不合题意，舍去）， 则铅球推出的距离为是10m 故答案为：10 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法． 题型9 垂径定理 例9.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝4，那么CD的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】 由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠B＝60°，AC＝4，即可求得BC的长，然后由AB⊥CD，可求得CE的长，又由垂径定理，求得答案． 【详解】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠B＝60°，AC＝4， ∴BC＝， ∵AB⊥CD， ∴CE＝BC•sin60°＝＝2， ∴CD＝2CE＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角函数的性质．注意直径所对的圆周角是直角，得到∠ACD＝90°是关键 【变式9-1】如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示．根据垂径定理，，推出且，由，推出，得到弦的长为定值，的长也为定值．也可取特殊位置，快速求解． 【详解】解：（演绎推理法）延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示： 根据垂径定理可知，， 则是的中位线， ∴且， ∵， ， ∵，， ， 为弧上的一个动点（不与点，重合）， ， ，， 是的角平分线，且， 在中，，，则， ，则， ∴， 故答案为：． （特殊位置法）当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，如图所示： 根据垂径定理，， ∵，， ∴， ， ， ，， 是的中位线，即，且， 中，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线的判定与性质、邻补角、四边形内角和、圆周角定理、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，得到，并确定为定值是解题的关键．对于填空题，不需要严格的证明，选取特殊位置法求解能更直观快速． 【变式9-2】如图，抛物线过点、、，平行于x轴的直线交抛物线于点、D，以为直径的圆交直线于点、，则的值是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，为直径的中点，连接，过点作于，则，，分别求出、即可． 【详解】由题意可得：、， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴， 如图，为直径中点， 连接，过点作于，则，， 则， ∴． 故答案为：． 题型10 隐圆最值 例10.如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形中位线的性质、勾股定理，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接，由题意可得在为直径的圆上运动，从而可得当点与点重合时，最长，即为，再由当最大时，即最大，而、、三点共线时，当在的延长线上时，最大，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接， ， ∵点为坐标平面内一点，， ∴， ∴在为直径的圆上运动， ∴当点与点重合时，最长，即为， ∵，，为的中点，点为线段的中点， ∴当最大时，即最大，而、、三点共线时，当在的延长线上时，最大值即为的值， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点重合时，最大，最大值为， 故答案为：． 【变式10-1】如图，在中，是内一动点，为的外接圆，交直线于点，交边于点，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，A，D，M三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， A，D，M三点共线时，最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，点圆最值问题，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】 如图，在扇形中，，，是弧上一动点，过点作，交于点，连接，，分别平分、，当点从运动到的过程中，点的运动路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据、分别平分、，求出，连接，证明，得到，得到点路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧，构造，求出，，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，， ， ，分别平分、， ， 连接， ，，， ， ， 点的路径为以为弦，所对圆心角为的圆弧的一部分， 过点、、作圆，作圆内接四边形，则， ， ，， ， 当重合时， 则， ，则是等边三角形 点的运动路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题根据题意确定点所经过的路径，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，求弧长，转化为定边对定角问题是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $