北京市东城区2025-2026学年高二上学期期末样卷数学试题

2025一2026学年第一学期期末样卷 高二数学 2026.1 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。 (1)直线√3x一y十1=0的倾斜角为 (A)30° (B)60° (C)120° (D)150° (2)双曲线等-1的右焦点坐标为 (A)(3,0) (B)(√5,0) CC)(3,0) (D)(5,0) (3)已知直线b:2x一y叶3=0，直线2：一4x十my十1=0.若4∥2，则m的值为 (A)-8 (B)-2 (C)2 (D)8 (4)与y轴相切，且圆心坐标为(2，一1)的圆的方程为 (A)(x-2)2+(y+1)2=4 (B)(x-2)2+(y+1)2=1 (C)(x+2)2+(y-1)2=4 (D)(x十2)2+(y-1)2=1 (5)已知(an)是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)在平行六面体ABCD一A1B1CD1中，AC,BD交于点M.设A1B=a,A1D=b, A1A=c,则下列向量中与M⑧相等的向量是 (A)Tar-c a+20-c (C)- (D) +2- 1 高二数学第1页（共6页） (7)已知等比数列(an)的前n项和为Sn,2S,=a一1,2S,=a-1,则公比g的值为 (A)3 (B) 13 ⊙-号 (D)一3 (8)已知等差数列(an)的前n项和为Sn,a1<0,a2o24十a2o25<0,a2o24a2o2s<0. 记T=min(nlSm>0),则T的值为 (A)4048 (B)4049 (C)4050 (D)4051 (9)已知正三棱锥P一ABC的六条棱长均为6，点O是点P在平面'ABC上的射影， 点Q为△PAB的重心.若空间中的点S满足{SQ$·Pδ=0)，则|P的最小 值为 (A)26 (B)√5 3 (C)4 3 (D)2√5 (10)在平面直角坐标系xOy中，曲线C:x2+yy=a2,其中a>0.给出下列四个结论： ①曲线C关于y轴对称； ②设M(x1y)(x1<-a),N(x22)(0≤x2≤a)在曲线C上，则|MN|>2a; ③当0<a<1时，记曲线x2+yly=a2(x>0)上的点到直线y=一x十√2的距离为d, 则1-a≤d<1; ④对于任意a>1,存在k∈R使得直线y=kx+1与曲线C的公共点个数为3. 其中所有正确结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 高二数学第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)已知抛物线C:y2=4x的顶点为O,焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上.若点P 到准线L的距离为2，则△POF的面积为 (12)(本题见校本卷) (13)(本题见校本卷) (14)已知(an)是公差为d的等差数列.若a1十1，a2十2，a十3是公比为q的等比数列， 则d= q= (15)已知数列(an}的各项均为非负数，前n项和为Sn,a+1十a+1一a片一1=0(n∈N). 给出下列四个结论： ①当a1=1时，{an}为常数列； ②对于Ya∈[0,1)，存在常数M>0,使得a.<M恒成立； ③当a1∈(1，十∞)时，{an}为递增数列； ④对于Vn∈N°，Sn>n一2. 其中正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 在△ABC中，eosA=青asinC=-号， (I)求c的值； (Ⅱ)再从条件④、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯 一确定，求BC边上的高， 条件①：a=6.2; 条件②：cosB=一5 条件③：△ABC的面积为6. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分。 91)(本小题14分) 在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD∥B此，AB=CD,AD=2BC, BE⊥AD,F为PB中点， (I)求证：平面PBE⊥平面PAD; (Ⅱ)求证：AF∥平面PCE; (Ⅲ)已知PE⊥AD,PE=2AE=2,∠BAD=45°，求点F到平面PCD的距离. 高二数学第4页（共6页） (18)(本小题14分) 已知椭圆E号+苦=1（®>6>D的离心率为停，精圆E上的点到两焦点的距离之和为么 (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设椭圆E的右顶点为A,过点（一1,0）的直线l与椭圆E交于不同两点P,Q 当△APQ的面积为号时，求直线L的斜率， (19)(本小题14分) 如图，在长方体ABCD-A1B,CD中，AD=AA,=1,AB=√E,E是楼A:B1上的点. (I)求证：CE⊥AD1; (I)设二面角E一AD1一A1的大小为a,直线CE与平面ADD,A,所成的角为B,是否 存在点E使得a=们若存在求会气的值若不存在，谈明理由。 B 高二数学第5页（共6页） (20)(本小题15分) 已知椭圆E等+芹=1(a>6>0)的左焦点F(-1,0),a=20, (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设O为坐标原点，过点P(一4，一3)作斜率为k且不经过焦点F的直线l,直线l与 椭圆E交于不同两点A,B,直线AF,BF与y轴正半轴分别交于点M,N.求证： ∠MFO+∠NFO的值为定值. (21)(本小题15分) 若无穷数列(an)满足如下两个性质，则称(an)具有性质P: ①(an-aw-1)(an-a+1)>0(n=2,3,…)； ②an-a-1∈[-3,3](n=2,3,…). (I)若a=(-)(n=1,2,…),b=2(n-2)(n=1,2,…),分别判断数列(a),(b)是 否具有性质P,说明理由； (Ⅱ)无穷数列(an}的每一项都是正整数，且具有性质P. (|)若a1=6,a2=3,求a1十a2十…十ao的最小值； (‖)已知Hi,j∈N°，i≠j,都有a≠a.若ag=3,求数列(an)的通项公式. (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高二数学第6页（共6页） 2025一2026学年第一学期期末样卷 高二数学参考答案及评分标准 2026.1 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） (1)B (2)B (3)C (4)A (5)D (6)A (7)B (8)B (9)C (10)C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） (11)1 (12)(见校本卷答案) (13)(见校本卷答案) (14)-1;1 (15)①②④ 三、解答题（共6小题，共85分） (16)(共13分) 解：(I)在△ABC中，因为cosA=号，所以sinA=号 由正玻定理品一苏c及inC-号得c--号×号=2 sinA 5 (Ⅱ)选择条件①：a-6√2. 由余弦定理a2=b2+c2一2 bccosA,得5b2一16b一340=0. 所以b=10, 所以BC边上的高为~asinC-10X吃×号-厄。 a 6√2 选择条件③：△ABC的面积为6. 因为706si=6,所以6=品c=12×g-10, 由余弦定理a2=2+c2-2bcc0sA,得a2=102+2-2X10X2X号 所以a=6√2， 所以BC边上的高为2SA4c=12 =√ 13分 a 62 (17)(共14分) 解：(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, BEC平面ABCD,BE⊥AD, 所以BE⊥平面PAD. 因为BEC平面PBE, 高二数学参考答案及评分标准 第1页（共6页） 所以平面PBE⊥平面PAD. (Ⅱ)取PC中点G,连接FG,EG P 因为F为PB中点， 所以FG∥BC,FG=BC 因为AD∥BC,AB=CD,AD=2BC,BE⊥AD, 所以AE=合BC,AE∥FG, 所以AE=FG 所以四边形AEGF为平行四边形， 所以AF∥EG. 因为EGC平面PCE,AF丈平面PCE, 所以AF∥平面PCE. (Ⅲ)因为BE⊥平面PAD,所以BE⊥PE. 个z 因为BE⊥AD,PE⊥AD, 如图建立空间直角坐标系E一xy之， 则P00,2),C(-21,0,D(-3,0.0,F0,21D. 因此7=(-21，-2.pi=(-30,-2》.C=2,-1. B 设平面PCD的法向量为n=(x,y,之)， (n·Pt=0,m〔-2x十y-2x=0, 则 即 n·Pj=0,-3.x-2x=0. 令x=一2，则之=3，y=2. 于是n=(-2,2,3) 设点F到平面PCD的距离为d, 则d=1ci·nl=2 17 …14分 n (18)(共14分) 2a=4, 解：(I)由题意得 ￡=3 a2 a2=b2+c2. 解得a=2,b=1,c=√3. 所以椭圆E的方程为子+y=1, (Ⅱ)由条件可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为x=ty一1(t≠0). 高二数学参考答案及评分标准第2页（共6页） x=y一1， 由 得(t2+4)y2-2ty-3=0 x2+4y=4 所以△=16(t2+3)>0. 设点P(x1,y1),Q(x2,y2), 3 则y+y2=224yy2三241=1y1-1,2=ty2-1 所以|PQ|=√-x2)2+(y-y2)了 =√1+平√(y,+y2)2-4y1y2 =4v①+)(+3) t2+4 设△APQ边PQ上的高为h,则h=2-×0+1=3 √1+t √+2 则Sa%=号|PQ|Xh= 6+3 t2+4 由得-号解得=士1 所以直线l的斜率为士1. 14分 (19)(共14分) 獬：(I)在长方体ABCD一AB,C1D1中，AD⊥AB,AD⊥AA1,AB⊥AA1 如图建立空间直角坐标系A一xy之. 2 因为AD=AA,=1,AB=√2， B 所以A(0,0,0),D(1,0,1),C(1w2,0). 设A,E=λA1B(∈[0,1])， A 则点E(0√2入，1). 所以CE=(-1√2λ-√2,1)，AD,=(1,0,1). 因为CE.AD=(-1)×1+(W2-√2)X0+1X1=0, 所以CE⊥AD,即CE⊥AD. (Ⅱ)当点E与点A,重合时，a=0,而B≠0，当点E与点B1重合时，=0，而a≠0， 所以λ∈(0,1) 由(I)得AE=(0,√2λ，1) 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,之)， 则n·A而=0，n小+=0， 即 n.AE=0,V2y十之=0. 令=一1，则x=1y= 2λ1 高二数学参芳答案及评分标准 第3页（共6页） 于是a=1竖-1》 因为AB=(0√2,0)是平面ADD1A1的法向量， 所以cos(,A1=n·AB 1 nAB√4x+i simg=|cos(A克，Ci1=1Aa.Cè-A-1山 Γ1 ABI CE√-1)+1 由题知a,β均为锐角，则cosa= 1-λ √4λ2+1 sing=√-)+于 所以sina=- 2λ 4+1 因为a=B当且仅当sina=sin3, 所以A= 1-λ √42+1√(A-1)2+1 所以3入2+2λ一1=0. 所以A=子 所以在棱AA,上存在点E,使得a=B,此时AE=号 A1B13· …14分 (20)(共15分) 解：(I)由题意得c=1,a=2. 因为a2=b2+c2,所以b=√3. 所以椭圆E的方程为号+号-1 (Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+4k一3. 由条件，得∈（分，1U1,2). （y=kx+4k-3, 由 得(3+4k2)x2+8k(4k一3)x+4(4k一3)2一12=0. 3.x2+4y2=12 所以△=一288(2k2一4k+1)>0. 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 3平←44-39-2 则+2=-8k(4k-3) 3+42兰y=k十4k-3,2=k2十4k-3. 直线AF的方程)=十行x+D. 令x=0,得点M的纵坐标为yM= x1+1 同理可得点N的纵坐标为yN= x2+1 高二数学参考答案及评分标准 第4页（共6页）