2026年中考数学第一轮复习精讲精练 第三章函数 专题二 一次函数的性质

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题二 一次函数的性质 命题点1 一次函数的性质 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 3．（2025·山西长治·模拟预测）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山西长治·模拟预测）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 5．（2025·山西吕梁·二模）已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 命题点2 待定系数法确定一次函数解析式 1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 2．（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 3．（2025山西中考模拟预测）已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（    ） … 1 3 … … 2 … A．6 B． C．2 D． 4．（2025·山西运城·一模）脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 ．．． 23 24 25 26 27 28 ．．． 身高 ．．． 156 163 170 177 184 191 ．．． 则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．（2025·山西晋中·二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间（）是烘焙温度（）的一次函数，部分数据如下表所示： 烘焙温度（） … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间（） … 30 27.5 25 22.5 20 … 则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山西吕梁·二模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ． 7．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 8．（2025·山西吕梁·三模）如图，一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加． (1)设杯子的总高度为（单位：），杯子的个数为，求与之间的函数关系式； (2)小涵把杯子叠成如图1所示的一摞，放入内高为的柜子里（如图2）．请帮小涵算一算一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进杯子里？ 命题点3 一次函数的变换 1．（2025·山西吕梁·二模）要将直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 2．（2025山西中考模拟预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，得到的新图象经过点和点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025山西临汾中考预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 4．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 5．（2024·山西忻州·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 ． 三、解答题 6．（25山西中考模拟）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 命题点4一次函数与方程（组）、不等式(组)的关系 1．（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 3．（2024·山西运城·一模）在平面直角坐标系中，已知直线和直线（其中k，b是常数，，）相交于点M，则交点M的横坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 5．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 6．（2025·山西大同·二模）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线绕点A逆时针旋转交x轴于点C．则点C的坐标为 ． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，直线与直线交于点，且点的坐标为，则关于的一元一次方程的解为 ． 8．（2025·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为 ． 1．对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 5．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 6．已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 7．如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 8．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 9．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 10．如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 1．【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 2．在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（取3.14）． （1）求400米跑道中一段直道的长度； （2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 … 跑道周长/米 400 … 若设表示跑道宽度（单位：米），表示该跑道周长（单位：米），试写出与的函数关系式： （3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？ 1．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 5．如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 6．在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 7．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 8．如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第三章 函数 专题二 一次函数的性质（解析版） 命题点1 一次函数的性质 1．（2024·山西·中考真题）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是根据正比例函数的斜率判断函数的增减性． 对于正比例函数（为常数，），当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．先根据正比例函数的表达式确定其增减性，再根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系． 【详解】在函数中，，所以该函数随的增大而增大． 已知，根据函数的增减性可得． 故选：A． 2．（2025·山西·模拟预测）对于正比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．图象经过二、四象限 B．图象与坐标轴有两个交点 C．图象经过点 D．图象上点的纵坐标随着横坐标的增大而增大 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据正比例函数的图象和性质进行逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限；故选项A正确； 正比例函数的图象与坐标轴交于原点，故选项B错误； ∵当时，， ∴正比例函数的图象不经过点，故选项C错误； ∵， ∴正比例函数的图象随着x的增大而减小，故选项D错误； 故选：A． 3．（2025·山西长治·模拟预测）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：因为正比例函数的比例系数是， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以． 故选：B． 4．（2025·山西长治·模拟预测）若点，在直线上，且，则该直线所经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是确定各项系数的符号． 先确定k的符号，再根据解析式确定经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， 又点，在直线上，且， ∴随的增大而减小， ∴， ∴直线所经过的象限是第一、二、四象限， 故选：B． 5．（2025·山西吕梁·二模）已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，由直线经过第一、三象限，得到，解不等式即可确定答案，熟记正比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ，解得， 由四个选项中的数值可知，满足， 故选：D． 6．（2025·山西长治·模拟预测）已知一次函数，其中与的部分对应值如表所示，根据表中数据分析，下列结论不正确的是（   ） … 1 3 … … 5 … A．随着的增大而减小 B．一次函数的图象与正比例函数的图象平行 C．一次函数的图象与轴交于点 D．一次函数的图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质．根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； 一次函数的图象与正比例函数的图象平行，故选项B不正确，符合题意； ∵当时，， ∴一次函数的图象与轴交于点，故选项C正确，不符合题意； ∵一次函数的图象与轴交于点，且，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 命题点2 待定系数法确定一次函数解析式 1．（2024·山西·中考真题）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，一次函数图象上点的坐标特征，根据题意可设，利用待定系数法求出k，b即得x、y之间的函数关系式． 【详解】解：∵蛇的体长是尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， ∴y与x之间的关系式为． 故选：A． 2．（2025·山西临汾·模拟预测）已知是平面直角坐标系中的点，则点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分别代入四个选项中的解析式，求出对应的值，如果，那么符合题意；否则不符合题意． 本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，函数图像上的点的坐标一定满足该函数的解析式． 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选C． 3．（2025山西中考预测）已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（    ） … 1 3 … … 2 … A．6 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数求函数解析式，求函数值．根据一次函数的定义，设解析式为，利用已知两组对应值求出和，得到该函数解析式，再代入计算． 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴该一次函数解析式为， 当时，， ∴． 故选：D． 4．（2025·山西运城·一模）脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 ．．． 23 24 25 26 27 28 ．．． 身高 ．．． 156 163 170 177 184 191 ．．． 则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，掌握运用待定系数法求函数解析式是解题关键．直接运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设身高和脚长之间近似存在一个函数关系式为， 将代入可得： ， 解得：， ∴． 故选：C． 5．（2025·山西晋中·二模）学校劳动课上开展烘焙实践课，同学们发现烘焙某种面点时，当烘焙温度大于且小于时，烘焙时间（）是烘焙温度（）的一次函数，部分数据如下表所示： 烘焙温度（） … 160 170 180 190 200 … 烘焙时间（） … 30 27.5 25 22.5 20 … 则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意，设与的函数关系式为，把，代入，求出与，得到与的函数关系式即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把，代入， 得， 解得：， 与的函数关系式为：； 故答案为：C. 6．（2025·山西吕梁·二模）如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点．过点A的直线l交x轴正半轴于点C．若，则直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，先求出A、B的坐标，然后根据三线合一的性质求出，则可求出C的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线l的函数表达式为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（2025·山西太原·一模）随着科技的发展，智能照明系统普遍应用于人们的生活．在某种智能照明系统中，灯光亮度与光敏传感器感应到的环境光线强度值的关系，近似满足一次函数，其中．已知当时，灯光亮度的值为80，则当时，灯光亮度的值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求函数值，先把，分别代入，得出，即，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，且当时，灯光亮度的值为80， ∴， ∴， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 8．（2025·山西吕梁·三模）如图，一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加． (1)设杯子的总高度为（单位：），杯子的个数为，求与之间的函数关系式； (2)小涵把杯子叠成如图1所示的一摞，放入内高为的柜子里（如图2）．请帮小涵算一算一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进杯子里？ 【答案】(1) (2)一摞最多能叠63个杯子，可以竖着一次性放进柜子里 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，求函数值的计算是关键． （1）根据题意，当有两个杯子时，高度为，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，运用不等式，求自变量的值即可． 【详解】（1）解：一个杯子的直立高度为，每增加一个杯子，杯子的总高度增加， ∴当有两个杯子时，高度为， 设，经过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：， 解得：， ∴一摞最多能叠63个杯子，可以竖着一次性放进柜子里． 命题点3 一次函数的变换 1．（2025·山西吕梁·二模）要将直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】此题主要是考查了一次函数的平移．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线的图象向上平移1个单位后就经过点； 把代入得：， 解得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线向左平移个单位，经过点， 综上分析可知：直线的图象向上平移1个单位后就经过点或直线向左平移个单位，经过点． 故选：A． 2．（2025山西中考预测）在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移4个单位长度，得到的新图象经过点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移规律与函数上点的坐标特征，掌握一次函数图象平移上加下减的规律，以及函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 平移后函数解析式为，将点和点的纵坐标代入，求解和并比较大小． 【详解】解：∵将函数的图象向上平移个单位， ∴ 新函数为： ∵ 点在新图象上， ∴， ， 解得， ∵ 点在新图象上， ∴， ， 解得， ∵， ∴． 故选：A． 3．（2025山西临汾中考预测）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的平移，待定系数法求解析式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意一次函数向上平移后的解析式为，代入点坐标求解. 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 即， ∴， ∴. 故选：B． 二、填空题 4．（2025·山西朔州·模拟预测）将直线向上平移，使之经过点，则平移后的函数图象是原函数图象向上平移 个单位长度得到的． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，求一次函数解析式，设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点，则平移后的直线解析式为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设将直线向上平移m个单位后得到的直线经过点， ∴平移后的直线解析式为， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（2024·山西忻州·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移变换，关键是对平移性质的应用．根据平移的性质得到平移后的函数解析式，再把代入平移后的解析式即可得出结论． 【详解】解：根据题意得平移后直线的表达式为：， 将点代入得，， 解得：， 所以平移后的一次函数的表达式为 故答案为： 三、解答题 6．（25山西中考模拟）如下图，已知一条直线经过点，，将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，．若，求直线对应的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，线段垂直平分线的判定，熟知一次函数图象平移时k的值不变，只有b发生变化是解答此题的关键． 先通过待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质求直线的解析式． 【详解】解：设直线对应的函数解析式为， 点，在直线上， ， 解得， ∴直线对应的函数解析式为， ∵将这条直线向右平移使之与轴、轴分别交于点，，且， ∴垂直平分， ， ， 设直线对应的函数解析式为， 把点的坐标代入中， 得， 解得， 直线对应的函数解析式为． 命题点4一次函数与方程（组）、不等式(组)的关系 1．（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键在于从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．据此结合图象即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴相交于点， ∴当时，一次函数的图象在x轴上方， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 2．（2025·山西忻州·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 3．（2024·山西运城·一模）在平面直角坐标系中，已知直线和直线（其中k，b是常数，，）相交于点M，则交点M的横坐标是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查求两条直线的交点坐标，直接令，进行求解即可． 【详解】解：由题意，令， ∴， ∴ ∵，， ∴； 故选C． 4．（2025·山西运城·模拟预测）如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 5．（2025·山西·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 6．（2025·山西大同·二模）如图，一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，把直线绕点A逆时针旋转交x轴于点C．则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，可求出，根据旋转之后又可得出，然后根据特殊三角函数值即可求解． 【详解】解：∵一次次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B， 令，则， 令，则， ∴， ， ， ∴， 将逆时针旋转后，则， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，以及解直角三角形，解题关键是求出A，B两点坐标，得出． 7．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，直线与直线交于点，且点的坐标为，则关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查两条直线交点，掌握直线交点与二元一次方程解的关系是解题的关键． 【详解】解：直线与直线交于点， 关于、的方程组的解为， 即的解为， 原方程的解为． 故答案为：． 8．（2025·山西太原·二模）已知点在直线上，点在直线上，与关于轴对称．则和的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】先求出点（2，0）关于y轴对称点，由对称性可知点（-2，0）在直线上，利用待定系数法求出直线表达式为，求出y轴交点坐标即可． 【详解】解： 点（2，0）关于y轴对称点为点（-2，0）， ∵点在直线上，与关于轴对称， ∴点（-2，0）在直线上， 又点在直线上， 设直线表达式为， 代入点的坐标得， 解方程组得， ∴直线表达式为， ∵轴是与对称轴， ∴和的交点在y轴上， ∴当x=0时，， ∴和的交点坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点睛】本题考查轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法，掌握轴对称性质，关于y轴对称点的坐标求法，待定系数法求直线表达式，函数与坐标轴的交点坐标求法是解题关键． 1．对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 4．已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 5．平面直角坐标系中，过点（-2，3）的直线经过一、二、三象限，若点（0，），（-1，），（，-1）都在直线上，则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据直线l经过第一、二、三象限且过点（-2，3），所以y随x的增大而增大． 因为-2<-1<0，所以3<b<a，所以A、B、C均错； 又因点（c，-1）在直线l上，所以c<-2． 故选D． 【点睛】考点：一次函数的图象和性质． 6．已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 7．如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（    ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 【答案】A 【分析】根据所求方程的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点横坐标，确定出解即可． 【详解】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y=ax+b过B（-3，0）， ∴方程ax+b=0的解是x=-3， 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 8．如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 9．如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1）， ∴方程组的解为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解． 10．如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 1．【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 2．在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（取3.14）． （1）求400米跑道中一段直道的长度； （2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表： 跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 … 跑道周长/米 400 … 若设表示跑道宽度（单位：米），表示该跑道周长（单位：米），试写出与的函数关系式： （3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？ 【答案】（1）400米跑道中一段直道的长度为86.96m； （2）；（3）最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条． 【分析】根据周长的意义：直道长度弯道长度求出， 跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为1、2、3、4、5、时，跑道的周长，填写表格并求出函数关系式． 依据关系式，可求当跑道周长为446米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽米，求出可以设计几条跑道． 【详解】解：（1）400米跑道中一段直道的长度 （2）表格如下： ； （3）当时，即， 解得： 条 ∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条． 【点睛】体会跑道周长怎样随着跑道宽度的变化而变化的关系，进而得出宽度周长y与跑道宽度x之间的函数关系式，其中圆的周长公式、一次函数性质是解决问题必需的知识． 1．如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 3．已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数过点得出与的关系，再结合随增大而增大得，然后将各选项坐标代入函数，判断是否符合条件 ．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数中的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 【详解】∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大， ． 选项A：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件， 故选：． 4．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 5．如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 6．在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 7．如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 8．如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 B 、能力提升练 学科网（北京）股份有限公司 $