2026年中考数学第一轮复习精讲精练 专题四 一元一次不等式（组）及其应用

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题四 一元一次不等式（组）及其应用 命题点1 一元一次不等式（组）及其解法 1．（2023·山西·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·山西·模拟预测）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 4．（2024·山西·学业考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西·中考真题）已知点（m－1，y1），（m－3，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“=”或“＜”）． 6．（2023·山西·中考真题）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 7．（2025·山西·中考真题）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来. 8．（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 命题点2 一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2025山西运城·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 2．（2024·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元． 3．（2025·山西·中考真题）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为　 　cm． 4．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 5．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 6．（2024·山西·中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元). (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 7．（2025·山西·中考真题）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一，2024年全国谷子种植面积为2 000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg．请解答下列问题： （1）求我省2024年谷子的种植面积是多少万亩； （2）2025年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子． 8．（2025山西忻州·二模）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元． (1)求每个足球、篮球的价格？ (2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？ 9．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 10．（2024·山西晋中·一模）阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国．某水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售．鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的价格出售．果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售．请结合题意解答下列问题． (1)该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果脯各多少千克? (2)该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和果脯(所购进果脯不高于40千克)，则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大?最大利润是多少? 1．已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 2．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 二、解答题 3．解不等式组． 4．某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 5．中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 6．某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 7．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 8．2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 9．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 10．项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品的信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； (2)设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； (3)若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 1．【综合与实践】 在综合与实践课上，小明所在的综合实践小组对一款新型太阳能充电宝的充电和放电特性进行了研究． 【实验操作】 实验一：探究充电宝在给手机供电过程中剩余电量e（）与使用时间t（分钟）的关系，记录数据如下： 使用时间t（分钟） 0 30 60 90 剩余电量e（） 100 85 70 55 实验二：探究充电宝在充电过程中增加的电量y（）与充电时间x（分钟）的关系，发现y与x之间满足函数关系式，且当时，． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求e与t之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）根据实验二的数据，求电量增加y与充电时间x之间的函数表达式； （3）某同学使用该充电宝给手机供电，从满电状态开始使用．使用90分钟后，结束给手机充电，他开始给充电宝充电．若他希望在充电结束后，充电宝的总使用时间（包括已使用的90分钟）能达到240分钟，且最终剩余电量不低于20（），则他至少需要充电多长时间？ 2．综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： (1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式； (2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； (3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 3． 综合与实践 背景 随着我国新能源汽车的快速发展，新能源车也越来越多的走进了千家万户，新能源车和燃油车相比较哪种车的使用费更低也是很多人关心的问题，为此，某校数学课外小组选择价格相近的两款国产汽车进行年使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素村1 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池容量：60千瓦时 油价： 元/升 综合电价：元/千瓦时 续航里程：m公里 续航里程：m公里 每公里行驶费用： 每公里行驶费用：__________ 素材2 燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用(保养，维修，保险等)分别为4850元和6800元． 问题解决： 任务1：用含m的代数式表示新能源车的每公里行驶费用 (化为最简) 任务2：分别求出这两款车的每公里行驶费用． 任务3：每年行驶里程为多少公里时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 4．综合与实践： 【问题情境】 某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买，两种魔方． 【素材展现】 素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个种魔方和6个种魔方共需130元；购买3个种魔方所需款数和购买4个种魔方所需款数相同． 素材2：该商店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：种魔方八折，种魔方四折； 活动二：“买一送一”：购买一个种魔方送一个种魔方． (1)【解决问题】 （1）该商店在无促销活动时，求，这两种魔方的销售单价各是多少元？ (2)【拓展提升】 （2）结合同学们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）．设购买种魔方个，按活动一和活动二购买所需费用分别为多少元？（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】 （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，根据的值说明选择哪种促销活动，购买魔方更实惠？ 1．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 2．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 4．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 5．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 6．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 7．项目化学习 项目主题：优化运输方案 项目背景：物流业是一个新兴产业，该产业是为保证社会生产和社会生活的供给，由运输业，仓储业，通信业等多种行业整合的结果，物流业的速度和精准就集中体现在快递业中．近年来，物流公司使某企业节省了货运成本．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集某公司每月运往各地商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设运往A地的商品x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式； (2)若某月计划总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为多少件？ 8．种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习．活动小组收集了区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息： 信息1：甲商店这种玉米种子的售价为元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价为元，对超过的部分打折销售．乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额/元 问题解决： (1)请分别求出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量之间的函数关系式； (2)农民伯伯根据所种耕地面积，准备一次性购买超过的玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 9．综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 10．综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1    壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠 久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个 生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部 门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包 任务2 拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 B 、能力提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题四 一元一次不等式（组）及其应用（解析版） 命题点1 一元一次不等式（组）及其解法 1．（2023·山西·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此， ． 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．因此，的解集在数轴上表示为C．故选C． 2．（2025·山西·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示出不等式组的求解，先分别求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 在数轴上表示如下图： 故选：A． 3．（2023·山西·模拟预测）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，分别解出两个不等式，然后即可求出不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式的解集为， 故选：C． 4．（2024·山西·学业考试）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集． 分别求出两不等式的解集，进而求出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： 解得， 在数轴上表示为： 故选：A． 5．（2024·山西·中考真题）已知点（m－1，y1），（m－3，y2）是反比例函数图象上的两点，则y1 y2（填“＞”或“=”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】由反比例函数系数小于0，可得出该反比例函数图像在第二、四象限且在每一象限内y随着x的增大而增大，结合m－1、m－3之间的大小关系即可得出结论． 【详解】解：反比例函数， ∵k=m＜0， ∴函数图象在第二、四象限且在每一象限内y随着x的增大而增大， ∵m＜0， ∴m－3＜m－1＜0， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质找出其增减性是关键． 6．（2023·山西·中考真题）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二： 【分析】根据不等式的性质3判断并计算即可． 【详解】①乘法分配律（或分配律） ②五  不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． 7．（2025·山西·中考真题）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来. 【答案】解： 由①得：x<8 (2分) 由②得x≥6 （4分） ∴不等式的解集是：6≤x<8 （6分） 【详解】试题分析：首先分别求出每个不等式的解，然后得出不等式组的解，最后在数轴上表示出即可. 试题解析：解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以这个不等式组的解集是. 考点：解不等式组 8．（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，正确求得不等式组的解集是解答的关键． 先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示如图： 命题点2 一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2025山西运城·一模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 2．（2024·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元． 【答案】32 【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可； 【详解】解：设该商品最多可降价x元； 由题意可得，， 解得：； 答：该护眼灯最多可降价32元． 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键． 3．（2025·山西·中考真题）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为　 　cm． 【答案】55 【分析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm得出不等式求出即可． 【详解】设长为8x，高为11x， 由题意，得：19x+20≤115， 解得：x≤5， 故行李箱的高的最大值为：11x=55， 故答案为55 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 4．（2024·山西·中考真题）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设可购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 取最大值为12， 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个． 5．（2023·山西·中考真题）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．    (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； (2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】(1)一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 (2)6套 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【详解】（1）解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． （2）解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 6．（2024·山西·中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元). (1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱. 【答案】(1)；(2)当时，选择方式一比方式二省钱. 【分析】(1)根据题意列出函数关系式即可； (2)根据题意，列出关于x的不等式进行解答即可. 【详解】(1)， ； (2)由得：， 解得：， ∴当时选择方式一比方式2省钱， 即一年内来此游泳馆的次数超过20次时先择方式一比方式二省钱. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是弄清题意，找准各量间的关系，正确运用相关知识解答. 7．（2025·山西·中考真题）“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”)，被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一，2024年全国谷子种植面积为2 000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160 kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60 kg．请解答下列问题： （1）求我省2024年谷子的种植面积是多少万亩； （2）2025年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160 kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子． 【答案】（1）300万亩；（2） 25万亩 【分析】（1）可设我省2024年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，根据2024年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可； （2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设我省2024年谷子的种植面积为x万亩，其他地区谷子的种植面积为y万亩． 由题意得，解得 答：我省2024年谷子的种植面积是300万亩． （2）设我省今年应再多种植z万亩谷子， 由题意得≥52， 解得z≥325， 325－300＝25 答：今年我省至少应多种植25万亩谷子． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，还找到所求的量的等量关系和不等关系． 8．（2025山西忻州·二模）绿茵场！闪电突破！篮筐下！精准投射！热血在奔跑中沸腾！团队在配合中闪光！从2025年春季学期起，云南省义务教育学校课间休息时间全面调整为15分钟，为给学生们丰富课间活动资源，某校计划购买一批足球和篮球．若购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元． (1)求每个足球、篮球的价格？ (2)若该校计划购买足球和篮球共120个，购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的，为使购买的总费用W最低，应购买足球和篮球各多少个？最低总费用为多少元？ 【答案】(1)每个足球70元，每个篮球125元 (2)当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出方程组，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元，根据购买5个足球和8个篮球，需1350元，购买10个足球和4个篮球，需1200元建立方程组求解即可； （2）设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个，则可列出W关于n的一次函数关系式，再根据购买足球的数量不超过篮球数量的且不低于篮球数量的列出不等式组求出n的取值范围，据此根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个足球的单价为x元、每个篮球的价格为元， 由题意得：， 解得：， 答：每个足球70元，每个篮球125元； （2）解：设购买篮球的数量为个，则购买足球的个数为个， 购买的总费用． 由题意得：，解得：， ， 随的增大而增大， 又是整数， 当，即时，购买的总费用最低， 最低总费用为（元）． 答：当购买足球53个、篮球67个时，购买的总费用最低，最低总费用为12085元． 9．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话． 王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800元．” 小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．” 小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； (2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？ 【答案】(1)每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人 (2)八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设每辆A型客车坐满后载客x人，每辆B型客车坐满后载客y人． 根据题意得， 解得． 答：每辆A型客车坐满后载客60人，每辆B型客车坐满后载客45人． （2）设租用m辆A型客车，辆B型客车，所需租金w元． 根据题意得， 解得， ． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取最小值， ∴． 答：八年级租用4辆A型客车，6辆B型客车所需的租金最少． 10．（2024·山西晋中·一模）阳高县是山西省的“杏果之乡”，杏树种植历史悠久，当地的阳高大接杏畅销全国．某水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯进行销售．鲜果以5元/千克的成本价购进，并以7元/千克的价格出售．果脯以30元/千克的成本价购进，并以36元/千克的价格出售．请结合题意解答下列问题． (1)该水果商店购进阳高大接杏的鲜果和果脯共100千克，花费2000元，则购进鲜果和果脯各多少千克? (2)该水果商店两天售完所有阳高大接杏的鲜果和果脯后，决定再购进共200千克的鲜果和果脯(所购进果脯不高于40千克)，则当该水果商店购进多少千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大?最大利润是多少? 【答案】(1)购进鲜果40千克，果脯60千克； (2)当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元． 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的实际应用，根据题意正确列方程组和函数解析式是解题的关键． （1）设购进鲜果x千克，果脯y千克，根据鲜果和果脯共100千克，花费2000元，列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进鲜果m千克，则购进果脯千克，得到，再求出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设购进鲜果x千克，果脯y千克， 解得 答：购进鲜果40千克，果脯60千克； （2）设购进鲜果m千克，则购进果脯千克， 则 由题意可得， 解得， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， 答：当该水果商店购进160千克大接杏鲜果时，才能使利润w最大，最大利润是560元． 1．已知不等式的正整数解为1，2，3，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式的整数解．根据题目中的不等式分三种情况讨论，可以求得x的取值范围，再根据不等式的正整数解恰是1，2，3，从而可以求得a的取值范围． 【详解】解：（1）当时，不等式的解集为：， 正整数解一定有无数个．故不满足条件． （2）时，无论取何值，不等式恒成立； （3）当时，不等式的解集为：， ∵不等式的正整数解为1，2，3， ∴， 解得． 故的取值范围是． 故答案为：． 2．若关于的方程无实根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键． 分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可． 【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根； 当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况； 当，即时，原方程是一元二次方程， 因为方程无实根，所以，即， 解得：； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 二、解答题 3．解不等式组． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．熟练掌握该知识点是关键．分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得解． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得，． 原不等式组的解集为：． 4．某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 5．中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 6．某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克． ①若这两种水果按标价出售，求的取值范围； ②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值． 【答案】(1)购买A种水果2千克，B种水果1千克 (2)①；② 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用； （1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．再建立方程组解题即可； （2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元，再建立不等式求解即可；②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据不同的优惠方式可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克， 依题意得：， 解得：． 答：购买A种水果2千克，B种水果1千克． （2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：， ∴结合实际可得：； ②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克， ∴， 解得：. 7．2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 8．2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 9．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 10．项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品的信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； (2)设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； (3)若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，列代数式，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）根据每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，即可求出运往C地的商品数；由运往C地的总费用与运往A地总费用相同，即可得到y与x之间的数量关系； （2）根据题意将运往A，B，C三地的总费用相加即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式，结合（2）中总费用关系式，利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：运往C地的商品为件， 运往C地的总费用与运往A地总费用相同， ，即 y与x之间的数量关系为：； （2）解：运往A地的总费用为：， 运往B地的总费用为：， 运往C地的总费用为：， ； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）知总费用关系式为， ， 随的增大二增大， 当时，总费用有最小值，最小值为（元）， 答：最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元． 1．【综合与实践】 在综合与实践课上，小明所在的综合实践小组对一款新型太阳能充电宝的充电和放电特性进行了研究． 【实验操作】 实验一：探究充电宝在给手机供电过程中剩余电量e（）与使用时间t（分钟）的关系，记录数据如下： 使用时间t（分钟） 0 30 60 90 剩余电量e（） 100 85 70 55 实验二：探究充电宝在充电过程中增加的电量y（）与充电时间x（分钟）的关系，发现y与x之间满足函数关系式，且当时，． 【建立模型】 （1）观察发现实验一是一次函数模型，请结合表中的数据，求e与t之间的函数表达式； 【解决问题】 （2）根据实验二的数据，求电量增加y与充电时间x之间的函数表达式； （3）某同学使用该充电宝给手机供电，从满电状态开始使用．使用90分钟后，结束给手机充电，他开始给充电宝充电．若他希望在充电结束后，充电宝的总使用时间（包括已使用的90分钟）能达到240分钟，且最终剩余电量不低于20（），则他至少需要充电多长时间？ 【答案】（1）；（2）；（3）32分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意求出对应的函数表达式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出使用充电宝90分钟后剩余的电量，再求出使用充电宝150分钟的用电量，再根据使用充电宝90分钟后剩余的电量加上充电的电量减去使用充电宝150分钟的用电量后的剩余电量不低于建立不等式求解即可． 【详解】解：（1）设e与t之间的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴； （2）∵y与x之间满足函数关系式，且当时，， ∴， ∴， ∴； （3）在中，当时，， 在中，当时，， ∴使用充电宝150分钟时，耗电量为， ∴， 解得 ∵，即同时要满足充电量小于最多充电量（）， ∴x的最小值为32， 答：他至少需要充电多长时间32分钟． 2．综合与实践： 当下快递行业高速发展．某校数学兴趣小组决定开展快递包装盒设计的综合与实践活动课，探索设计包装盒的各种操作技能技巧． 【探索过程】 步骤一：准备长方形纸板，三角尺，剪刀，记号笔； 步骤二：在长方形纸板四个角用记号笔分别画出需要裁剪的小正方形和长方形；兴趣小组将长，宽的长方形纸板按如下方式进行裁剪设计，剪掉阴影部分后，再将四周沿虚线折叠，这样便可以制作完成一个长方体盒子．如图，设剪去的小正方形的边长为，长方体的长、宽、高的和为，长方体包装盒的底面积为． 【操作目标】按要求制作经济实惠的长方体包装盒． 【解决问题】请按要求完成下列任务： (1)分别求y关于x，S关于x的函数解析式； (2)若设计的长方体包装盒的底面积为，求x的值； (3)经过考查，当设计的长方体包装盒的长、宽、高的和不低于且不高于时，长方体包装盒最为经济实惠，求此时长方体包装盒的底面积S的最大值及剪去的小正方形的边长． 【答案】(1) (2)4 (3)S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，二次函数的实际应用． （1）根据题意列出y关于x，S关于x的函数解析式即可． （2）当时，解一元二次方程，并选择合适的答案即可． （3）由y的取值范围得出x的取值范围，再根据二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即． （2）解：当时，， ∴， 解得， （舍去）， 答：x的值为4． （3）解：由题意知，， ∴，解得，， ∵， 又∵， ∴当时，S随x的增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为408， 即S的最大值为，此时小正方形的边长为3cm． 3． 综合与实践 背景 随着我国新能源汽车的快速发展，新能源车也越来越多的走进了千家万户，新能源车和燃油车相比较哪种车的使用费更低也是很多人关心的问题，为此，某校数学课外小组选择价格相近的两款国产汽车进行年使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车． 素村1 燃油车 新能源车 油箱容积：50升 电池容量：60千瓦时 油价： 元/升 综合电价：元/千瓦时 续航里程：m公里 续航里程：m公里 每公里行驶费用： 每公里行驶费用：__________ 素材2 燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． 素材3 燃油车和新能源车每年的其它费用(保养，维修，保险等)分别为4850元和6800元． 问题解决： 任务1：用含m的代数式表示新能源车的每公里行驶费用 (化为最简) 任务2：分别求出这两款车的每公里行驶费用． 任务3：每年行驶里程为多少公里时，买新能源车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用) 【答案】任务1： 任务2：燃油车的每公里行驶费用为元，新能源车的每公里每千米行驶费用为元 任务3：每年行驶里程超过为2500公里时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式． 任务1：根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； 任务2：根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，列式计算即可； 任务3：根据燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4850元和6800元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：由表格可知，新能源车的每千米行驶费用为：， 故答案为：． 任务2：由表格可知，燃油车的每公里行驶费用为（元）， ∵燃油车的每公里行驶费用比新能源车多元． ∴新能源车的每千米行驶费用为：（元）， 任务3：设每年行驶里程为x公里，根据题意，得： ， 解得：， 答：每年行驶里程超过为2500公里时，买新能源车的年费用更低． 4．综合与实践： 【问题情境】 某学校大力开展社团活动，其中该校“百变魔方”社团准备去商店购买，两种魔方． 【素材展现】 素材1：某商店在无促销活动时，若购买2个种魔方和6个种魔方共需130元；购买3个种魔方所需款数和购买4个种魔方所需款数相同． 素材2：该商店开展促销活动： 活动一：“疯狂打折”：种魔方八折，种魔方四折； 活动二：“买一送一”：购买一个种魔方送一个种魔方． (1)【解决问题】 （1）该商店在无促销活动时，求，这两种魔方的销售单价各是多少元？ (2)【拓展提升】 （2）结合同学们的需求，社团决定购买，两种魔方共100个（其中种魔方不超过50个）．设购买种魔方个，按活动一和活动二购买所需费用分别为多少元？（均用含的代数式表示） (3)【综合应用】 （3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，根据的值说明选择哪种促销活动，购买魔方更实惠？ 【答案】(1)种魔方的单价为20元，种魔方的单价为15元 (2)活动一：元；活动二：元 (3)当时，选择优惠活动一购买更实惠；当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠；当时，选择优惠活动二购买更实惠 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组即可； （2）根据两种活动的优惠规则表示即可； （3）比较活动二的费用与活动一的费用，列出一元一次不等式，求解判断即可． 【详解】（1）解：设种魔方的单价为元，种魔方的单价为元， 依题意得， 解得． 答：种魔方的单价为20元，种魔方的单价为15元． （2）依题意得：活动一：； 活动二：． 综上，活动一：元；活动二：元 （3）①当时，解得：，又， 当时，选择优惠活动一购买更实惠． ②当时，解得：， 当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠． ③当时，解得：，又， 当时，选择优惠活动二购买更实惠． 综上，当时，选择优惠活动一购买更实惠；当时，选择优惠活动一和活动二同样实惠；当时，选择优惠活动二购买更实惠． 1．爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话： 小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格（元）所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可． 【详解】解：根据对话可得， 解得， 故答案为：． 2．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在数轴上表示如图： ∴不等式组的解集为． 3．解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 4．某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 5．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价． (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； (2)该公司最少需花费元． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意正确列式是解题关键． （1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据“2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元”，列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最值即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 则， 解得：， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； （2）解：设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得：， 设该公司需花费元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值为， 即该公司最少需花费元． 6．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是2400元，购进B款哪吒玩偶的金额是1600元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共100个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，问有多少种进货方案？ 【答案】(1)A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； (2)4种 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和一元一次不等式组，是解题的关键： （1）设B款玩偶的单价是元，根据购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少50个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍，列出方程进行求解即可； （2）设购进款玩偶个，根据B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元，列出不等式组，求出整数解，即可． 【详解】（1）解：设B款玩偶的单价是元，由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：A、B两款玩偶的单价分别是16元和8元； （2）设购进款玩偶个，则购进款玩偶个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴， ∴， 故共有4种方案． 7．项目化学习 项目主题：优化运输方案 项目背景：物流业是一个新兴产业，该产业是为保证社会生产和社会生活的供给，由运输业，仓储业，通信业等多种行业整合的结果，物流业的速度和精准就集中体现在快递业中．近年来，物流公司使某企业节省了货运成本．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集某公司每月运往各地商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的件数是运往A地件数的2倍； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设运往A地的商品x（件），总运费为y（元），试写出y与x的函数关系式； (2)若某月计划总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为多少件？ 【答案】(1) (2)总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）先分别求出运往B、C两地的商品数，再根据运费表列出函数关系式即可； （2）根据列出不等式，解不等式即可得． 【详解】（1）解：由运往A地的商品x（件），可知运往C地的商品2x件，运往B地的商品为件， ， 即：， y与x的函数关系式为； （2）解：， ． 解得． 总运费不超过64000元，最多可运往A地的商品为600件． 8．种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习．活动小组收集了区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息： 信息1：甲商店这种玉米种子的售价为元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价为元，对超过的部分打折销售．乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额/元 问题解决： (1)请分别求出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量之间的函数关系式； (2)农民伯伯根据所种耕地面积，准备一次性购买超过的玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 【答案】(1)甲商店：；乙商店： (2)当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，能正确确定函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据两个商店的销售信息计算即可； （2）比较两个函数值的大小并求出对应的取值范围即可； 【详解】（1）解：依题意，甲商店：， 乙商店：当时，依题意，， 当时，由题可知每增加，增加元， ∴是的一次函数， 设函数关系式为，将，代入， 得：， 解得：， ∴                 ∴乙商店：； （2）解：∵， ∴乙商店， 当时，得：， 当时，得：， 当时，得：， 综上所述：当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算． 9．综合与实践 项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装．一种规格的碗要装入包装盒，各类信息如下： 信息1 信息2 碗以及叠放后的尺寸（单位：） 两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：）和成本（单位：元） 盒：成本：3元/个 盒：成本：2元/个 问题解决： (1)将个这样的碗叠放后，直接写出总高度的值（用含的式子表示）． (2)叠放后的碗可横放也可竖放，则盒最多可放入______个，盒最多可放入______个． (3)若要买若干个盒或盒分装95个上述规格的碗（、盒都刚好装满），最少要花多少钱？ 【答案】(1) (2)叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入5个碗． (3)费用最小为元. 【分析】本题考查的是列一次函数关系式，不等式的应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意列不等式进行解答即可； （3）设购买A盒x个，B盒y个，可得，可得，的最大整数值为，设总的购买费用为元，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设关系式为：， 将代入上式得： 解得： 则； （2）解：当时， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大整数解为 叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入个碗， 同理：， 解得：， ∴的最大整数解为， ∴B盒（竖放）最多可放入个碗． （3）解：由（2）可得：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入5个碗． 设购买A盒个，B盒个，分装95个碗， ∴， ∴， ∴， ∴的最大整数值为， 设总的购买费用为元， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，费用最小为（元）. 10．综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1    壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠 久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个 生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部 门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包 任务2 拟订设计方案 如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个；任务2：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门每天能生成个壮锦手提包， 则甲部门每天能生成个壮锦手提包． 由题意得， 解得． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解，且符合题意． 甲部门每天生成数量：（个）． 答：甲部门每天能生成120个，乙部门每天能生成60个． 任务2：设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）． 根据题意， 解得， 则总支出费用． 随的增大而减小． 当时，取最小值， 最小值为（元）， 乙部门工作天数：（天）， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天时，总费用最小，最小为97200元． B 、能力提升练 A 、基础分点练 C 、综合与实践 模拟预测 学科网（北京）股份有限公司 $