2026年中考数学第一轮复习精讲精练 专题二 一元二次方程及其应用

2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题二 一元二次方程及其应用（解析版） 命题点1 一元二次方程及其解法 1．（2024·山西阳泉·二模）已知关于x的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程的定义是解题的关键． 设一元二次方程为，将代入方程求解即可． 【详解】解：设一元二次方程为， 将代入得，，解得，， ∴一次项系数为． 故选：C． 2．（2024·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（    ）． A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入原方程即可求出的值． 【详解】把代入 得， 解得． 故选：C． 3．（2024·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题关键． 常数项移到方程的右边，两边再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方公式即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2024·山西·中考真题）下列一元二次方程，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误； B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误； C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确； D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根． 5．（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 6．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法的运用及非负数的性质，解题的关键是将原式进行配方．已知等式左边利用完全平方公式变形后，利用非负数的性质求出与的值． 【详解】解：， ，， 解得：， 故答案为：，． 7．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，于点，若，，，则的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，解一元二次方程，轴对称等知识．以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G．由轴对称的性质证明四边形是正方形，设，则，即可求出，，在中，根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G． ∵， 由轴对称的性质得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 8．（2024·山西·中考真题）解方程： 【答案】x1=2 ，x2=4 【分析】将原方程整理成一般形式，再按照配方法求解，即可得出答案. 【详解】解：原方程可化为：， ， ， ， ∴x1=2 ，x2=4 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，关键是熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤. 命题点2 一元二次方程根的判别式 1．（204·山西·中考真题）下列一元二次方程，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误； B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误； C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确； D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根． 2．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3．（2025·山西阳泉·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 方程没有实数根． 故选：D． 4．（2025·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：； 故选：A． 5．（2025·山西吕梁·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的根的判别式等于0，由此可列出关于的等式，求出的值． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根 故选：D． 6．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键． 直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解． 【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意； B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意； C、 ，故选项C没有实数根，符合题意； D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意． 故选C． 7．（2024·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 【答案】A 【分析】先计算出根的判别式的值得到，然后利用根的判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：依题意， ， 方程无实数根． 故选：A． 8．（2024·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程的根与判别式的关系、解一元二次方程： （1）求出方程的判别式，再根据一元二次方程的根与判别式的关系即可做出判断； （2）将代入原方程中可求得m值，再将m值代入原方程，解一元二次方程即可求得方程的另一个根． 【详解】（1）证明： 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：将代入中，得， 解得， 原方程为：， 即， 解得，， 方程的另一个根为． 命题点3 一元二次方程根与系数的关系 1．（2024·山西·中考真题）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得a+b=6，ab=-5，然后将所求式子通分整理后代入进行计算即可得． 【详解】∵一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b， ∴a+b=6，ab=-5， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键， 根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此可求出和的值，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2024·山西吕梁·模拟预测）已知，是一元二次方程.的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系求得，，然后将其代入整理后的代数式求值即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 4．（2024·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小宇撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务． 求两类特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道一元二次方程 ，a，b，c为常数)，当 时，其求根公式为 观察求根公式可知，一元二次方程的根与系数有着密切的关系．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系．分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢?我们用两种方法进行了分析： 方法一： ，． 该方程有实数根． ． 方程 可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 方法二，用求根公式法求解： …… 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根． ………… 任务： (1)小论文中，将方程变形为 ，然后求出方程的根，这种解方程的方法是 ．    A．配方法          B．公式法             C．因式分解法 (2)请参照小论文中的求解方法，用方法一将第二类方程的求解过程补充完整． (3)请结合小宇的小论文，直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 【答案】(1)C (2)见详解 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合因式分解的定义，一个多项式变形为几个整式的乘积的形式，故，变形为即为因式分解； （2）模仿题干的过程，即可作答． （3）借助（1）（2）的结论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意 则 故这种解方程的方法是因式分解法， 故选：C （2）解：依题意， ， ． 该方程有实数根． ． 方程可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 （3）解：结合（1）（2）的结论，得出要使一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 则， 即（答案不唯一）． 5．（2023·山西运城·一模）阅读下列材料并完成相应任务： 对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 小明给出了一部分解题思路： 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴______，∴______， ∴ 请填空并将过程补充完整． (2)类比应用 一元二次方程的一个根为，则______，另一个根为______． (3)思维拓展： 关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则______． 【答案】(1)；； (2)； (3) 【分析】（1）利用根与系数的关系可得，，再把分解因式，再代入求值即可； （2）利用根与系数的关系可得，，从而可得答案； （3）利用根与系数的关系可得，结合，可得，再解方程，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，∴， ∴ （2）∵一元二次方程的一个根为， ∴，， 解得：，； （3）设关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵这两个实数根的平方和是21， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴不符合题意，则． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系的应用，利用因式分解的方法解一元二次方程，熟记概念与方程的解法是解本题的关键． 6．（2025·山西晋城·一模）下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务． 一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：________，________． 任务： (1)填空：__________，__________． (2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空， 并补全推理过程． 解：对于一元二次方程， 当时，有两个实数根________，________． …… (3)方程的两根之和为__________，两根之积为__________． 【答案】(1)， (2)，，补全推理过程见解析 (3)， 【分析】（1）由合并同类项和同类项的定义即可得出答案； （2）根据公式法解一元二次方程即可得出，，再计算和即可补全推理过程； （3）根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：对于一元二次方程， 当时，有两个实数根，， ∴， ． 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴两根之和为，两根之积为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 命题点4一元二次方程实际应用 1. 增长率问题 1．（2025·山西·中考真题）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是 A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825 C．3×4.25%x=33825 D．3(x+4.25%x)="33825" 【答案】A 【详解】试题分析：根据“利息=本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论． 解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出： x+3×4.25%x=33825； 故选A． 考点：由实际问题抽象出一元一次方程． 2．（2025·山西吕梁·三模）某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有名学生，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出()张，共有名同学，那么总共送的张数应该是)张，即可列出方程． 【详解】∵全班有名同学， ∴每名同学要送出()张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是)=1540． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024·山西·一模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（　　） A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465 【答案】A 【分析】因为每位同学都要与除自己之外的（x﹣1）名同学握手一次，所以共握手x（x﹣1）次，由于每次握手都是两人，应该算一次，所以共握手x（x﹣1）÷2次，解此方程即可. 【详解】解：设九年级（1）班有x名同学， 根据题意列出的方程是 =465， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程在实际生活中的应用，明白两人握手应该只算一次并据此列出方程是解题的关键. 4．（2025·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 ． 【答案】 【分析】此题考查了列一元二次方程解决实际问题．设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为，1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，据此列出方程即可． 【详解】解：∵直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890， ∴第1小时有人购买，第2小时有人购买， 可得：． 故答案为：． 5．（2025·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为，则最大数为，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键． 2. 面积问题 6．（2025·山西长治·一模）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲和乙都正确 D．甲、乙、丙三人都正确 【答案】C 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，把各部分的面积用含x的代数式表示出来，并列出等式，即可得到需要的一元二次方程． 【详解】解：由已知条件可知：种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， ∴矩形的面积为， ∴可列方程， ∴甲列的方程正确； ∵两条竖直的小路的长为，宽为， ∴两条竖直的小路的面积为， ∵水平的小路的长度为，宽为， ∴水平的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， ∴重叠部分的面积为， ∴小路的面积可表示为， ∴可列方程为， ∴乙列的方程正确，丙列的方程错误； 综上所述，甲和乙都正确． 故选：C． 7．（2024·山西·模拟预测）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，利用下图可以求出方程的一个解．这里运用的数学方法是（   ） A．分类讨论 B．数形结合 C．从特殊到一般 D．类比 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、数学常识以及数形结合思想，掌握数形结合思想是解题的关键．根据将代数问题转化为几何图形问题的解法即可得出结论． 【详解】解：根据题意这里运用的数学方法是数形结合思想． 故选：B． 8．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为， 根据题意得，， 故选：． 9．（2024·山西·中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可． 【详解】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x, 由题意得:, 解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24, 整理得:2x2－11x+18=0． 解得x=2或x=9(舍去)． 故答案为2． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程． 10．（2025·山西·中考模拟）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 . 【答案】（12-x）（8-x）=77 【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】道路的宽为x米．依题意得： (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 11．（2025·山西晋中·二模）为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 【答案】折叠进去的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设折叠进去的宽度为，根据题意分别得到书纸长为，宽为，进而列方程求解即可． 【详解】解：设折叠进去的宽度为， 则， 整理得， 或（不合题意，舍去）， 答：折叠进去的宽度为 3. 销售问题 12．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 13．（2024·山西·模拟预测）随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 【答案】55 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件售价应定为x元， 根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为55元． 故答案为：55． 14．（2024·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【答案】（1）4元或6元；（2）九折 【分析】（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元 根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240， 化简，得 x2﹣10x+24=0， 解得x1=4，x2=6. 答：每千克核桃应降价4元或6元. （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元. ∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元 此时，售价为：60﹣6=54（元）， 答：该店应按原售价的九折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 15．（2025·山西阳泉·二模）综合与实践 问题背景： 山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生． 数学建模： 太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中． 问题解决： (1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式； (2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围； (3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？ 【答案】(1) (2) (3)当转速转/分钟时，总利润为11500元 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）令，解方程求出的值，再根据题意求出的取值范围； （3）根据利润=每小时的利润-损耗成本-每天固定成本列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，顶点坐标为， 设抛物线顶点式为：， 将起点代入得：， 解得， 抛物线解析式为：； （2）令，则， ，（舍去）， 锅在轴左侧 ，即． 锅的右端离轴不少于， ，即， 锅放置时锅的左端在轴的取值范围为； （3）由题意得：， 解得，， “尽量减少机器损耗”即取较小的转速（因损耗成本与成正比）， ． 当转速转分钟时，总利润为11500元． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程． 16．（2025·山西大同·三模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 【答案】(1)一次； (2)①；②当日该饮品产量为102千克或78千克 (3)m的值为100，最大日销售利润为1600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）①利用待定系数法即可解答； ②根据题意列方程，即可解答； （3）求得，根据题意表示出日销售利润，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的一次函数， 设饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， ， 解得， 所以饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：一次；； （2）解：①当时，设饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 把代入可得， 解得， 所以饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为， 故答案为：； 解：②由题意，得， 即． 解，得，，且均符合题意． 答：当日该饮品产量为102千克或78千克． （3）解：设与x之间的关系式为， 将分别代入，得 解，得 ． 设该饮品日销售利润为w元． 则． 由此可知，当时，w是x的二次函数． ， ， ∴抛物线开口向下，w有最大值． 且每日产量为80千克时，可获得最大销售利润， ， 解，得，经检验是上述方程的解． 当，时，． 答：m的值为100，最大日销售利润为1600元． 17．（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元 (2)该商场应将型电烤箱的售价定为1900元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元，根据每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，列放出即可解答． 【详解】（1）解：设一台型电烤箱的进价为元，则一台型电烤箱的进价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解． ． 答：一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元； （2）解：设该商场应将型电烤箱在2400元的基础上降价元． 根据题意，得． 解得，． 因为力求尽快清空库存，所以应降价500元． （元）． 答：该商场应将型电烤箱的售价定为1900元． 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 3．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 4．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 6．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 7．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)3元 (3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； （2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. （3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 8．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 1．（2025·广东中山·模拟）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 2．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． （2），是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 3．（2025江苏盐城·模拟）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 【答案】(1)车棚的长为米，宽为米 (2)小路的宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设与墙垂直的一面为米，然后可得另两面则为米，然后利用其面积为列出方程求解即可； （2）设小路的宽为米，利用去掉小路的面积为平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为米 根据题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，(舍去)， 当时，， 答：车棚的长为米，宽为米． （2）解：设小路的宽为米， 根据题意得：， 整理得， 解得：(舍去)，， 答：小路的宽为米． 4．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1) (2)当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）设可获得利润为元．根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可； （3）设每天扣除捐赠后可获得利润为W元．列出函数关系式，再根据二次函数的性质可得当时，W取得最大值，然后根据每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元，每本进价为20元， ∴ 根据题意得：； （2）解：设可获得利润为元． ， ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为2250， 答：当销售单价定为35元时，书店每天销售利润最大，最大利润为2250元； （3）解：设每天扣除捐赠后可获得利润为W元． ∴该函数图象的对称轴为， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W取得最大值， ∴， ∴（不合题意舍去）， ∴． 一、单选题 1．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，以及解一元二次方程，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故方程根为． 故选：C． 2．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式， 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 3．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再计算它们的和． 【详解】解：∵ 方程 中，，，， ∴ ， ， ∴ ， 故选：A． 二、填空题 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的根，由是方程的一个根，代入方程即可求出参数． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， 解得 ， 故答案为：1． 三、解答题 5．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， ∴，． 6．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价每个应定为75元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8750元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（舍去） 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元， 由题意得：， 解得：，， 因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，符合题意 则， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为75元． 7．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 8．一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)5 (3)售价为元时，每天最大利润为3310元 【分析】（1）设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x，依素材1列方程求解即可； （2）设应降y元，依素材2可列方程求解； （3）设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得W关于m的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查列一元一次方程和一元二次方程解应用题，以及二次函数性质的应用． 【详解】（1）解：设从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为x， 依素材1，可得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率为． （2）解：设应降y元，依素材2，可列方程， 解得． 答：应降5元． （3）解：设售价为m元，每天利润为W元，依素材2，可得： ， 当时，W取得最大值为3310． 答：售价为元时，每天最大利润为3310元． 9．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)；； (2)18元； (3)当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （）利用待定系数法求出与之间的函数关系式，进而求出与之间的二次函数关系即可； （）根据题意列出一元二次方程解答即可； （）根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：设，把和代入得， ， 解得， ∴； ∴ （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元， ∴不合，舍去， ∴， 答：销售单价为元； （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最大值，， 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 10．在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． 【答案】(1) (2)长和宽分别为55，5或者20，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意直接用x表示出y即可； （2）由（1）可得改良后养鸡场的长，再根据养鸡场的总面积为，列出一元二次方程求解并检验即可解答． 【详解】（1）解：若养鸡场的宽为， 由题意可得：改良后养鸡场的长，即． （2）解：由题可得：， 整理得：， 解之得：， 当宽为5，，长分别为55，20，均符合题意． 所以养鸡场的长和宽分别为55，5或者20，． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学第一轮复习精讲精练（山西卷） 第二章 方程（组）与不等式（组） 专题二 一元二次方程及其应用 命题点1 一元二次方程及其解法 1．（2024·山西阳泉·二模）已知关于x的一元二次方程，其中一次项系数被图迹污染了，若这个方程的一个根为，则一次项系数为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2024·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（    ）． A． B． C．2 D．3 3．（2024·山西·中考真题）关于x的一元二次方程用配方法可变形为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·中考真题）下列一元二次方程，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山西临汾·模拟预测）若，则，的值分别为 ． 7．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图，在中，于点，若，，，则的长度为 ． 8．（2024·山西·中考真题）解方程： 命题点2 一元二次方程根的判别式 1．（204·山西·中考真题）下列一元二次方程，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·一模）一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·山西阳泉·模拟预测）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．（2025·山西朔州·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·山西吕梁·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B．4 C． D． 6．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·山西长治·模拟预测）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关 8．（2024·山西·模拟预测）关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程有一个根为1，求方程的另一个根． 命题点3 一元二次方程根与系数的关系 1．（2024·山西·中考真题）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为a、b，则的值是 2．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 3．（2024·山西吕梁·模拟预测）已知，是一元二次方程.的两个根，则的值为 ． 4．（2024·山西晋中·一模）阅读与思考 下面是小宇撰写的数学小论文(部分)，请仔细阅读并完成相应的任务． 求两类特殊系数一元二次方程的解 通过学习我们知道一元二次方程 ，a，b，c为常数)，当 时，其求根公式为 观察求根公式可知，一元二次方程的根与系数有着密切的关系．我们小组的同学研究了两类特殊一元二次方程的根，得出了这两类方程根与系数之间的关系．分析如下： 第一类，当时，根据方程根的概念可知方程必有一个根为1，那么另一个根是多少呢?我们用两种方法进行了分析： 方法一： ，． 该方程有实数根． ． 方程 可变形为． 或． 当时，一元二次方程的两个实数根为 方法二，用求根公式法求解： …… 第二类，当时，同理可以求出这类方程的实数根． ………… 任务： (1)小论文中，将方程变形为 ，然后求出方程的根，这种解方程的方法是 ．    A．配方法          B．公式法             C．因式分解法 (2)请参照小论文中的求解方法，用方法一将第二类方程的求解过程补充完整． (3)请结合小宇的小论文，直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点． 5．（2023·山西运城·一模）阅读下列材料并完成相应任务： 对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 小明给出了一部分解题思路： 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴______，∴______， ∴ 请填空并将过程补充完整． (2)类比应用 一元二次方程的一个根为，则______，另一个根为______． (3)思维拓展： 关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则______． 6．（2025·山西晋城·一模）下面是小亮同学在数学杂志上看到的小片段，请仔细阅读并完成相应的任务． 一元二次方程根与系数的关系 通过学习用公式法解一元二次方程可以发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式．除此以外，一元二次方程的根与系数之间还有一些其他形式的关系． 从因式分解的角度思考这个问题，若把一元二次方程的两个实数根分别记为，则有恒等式，即．比较两边系数可得：________，________． 任务： (1)填空：__________，__________． (2)小亮同学利用求根公式进行推理，同样能够得出一元二次方程两根之和、两根之积与系数之间的关系．下面是小亮同学的部分推理过程，请完成填空， 并补全推理过程． 解：对于一元二次方程， 当时，有两个实数根________，________． …… (3)方程的两根之和为__________，两根之积为__________． 命题点4一元二次方程实际应用 1. 增长率问题 1．（2025·山西·中考真题）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33852元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是 A．x+3×4.25%x=33825 B．x+4.25%x=33825 C．3×4.25%x=33825 D．3(x+4.25%x)="33825" 2．（2025·山西吕梁·三模）某校九年级1班的同学毕业时都将自己的生活照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1540张照片，求全班的学生人数．设全班有名学生，根据题意，列出方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西·一模）某校九年级（1）班在举行元旦联欢会时，班长觉得快要毕业了，决定临时增加一个节目：班里面任意两名同学都要握手一次．小张同学统计了一下，全班同学共握手了465次．你知道九年级（1）班有多少名同学吗？设九年级（1）班有x名同学，根据题意列出的方程是（　　） A．=465 B．=465 C．x（x﹣1）=465 D．x（x+1）=465 4．（2025·山西·一模）某电商直播平台的山西专场开展了以“寻华夏之根，溯文明之源”为主题的直播，现场讲解山西的美食文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝，直播刚开始，就有1000人下单购买某款老陈醋，2小时后购买人数达到3890，求每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率．若设每小时购买山西老陈醋人数的平均增长率为x，则可列方程 ． 5．（2025·山西·中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）． 2. 面积问题 6．（2025·山西长治·一模）如图，某小区在一块长为，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为．设小路的宽度为，甲、乙、丙三位同学所列方程如下： 甲：．乙：．丙：． 其中正确的是（   ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲和乙都正确 D．甲、乙、丙三人都正确 7．（2024·山西·模拟预测）三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，利用下图可以求出方程的一个解．这里运用的数学方法是（   ） A．分类讨论 B．数形结合 C．从特殊到一般 D．类比 8．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（   ）    A． B． C． D． 9．（2024·山西·中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 ． 10．（2025·山西·中考模拟）如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 . 11．（2025·山西晋中·二模）为庆祝六一儿童节，某书店推出了一系列优惠活动．为了鼓励广大儿童阅读《世界经典童话》（如图），购买此书籍则赠送如图2所示的精致矩形包书纸，在图2的包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折进去的宽度．已知该包书纸的面积为（含阴影部分），且正好可以包好图1中的《世界经典童话》这本书，该书的长为，宽为，厚为．请求出该包书纸包这本书时折进去的宽度． 3. 销售问题 12．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 13．（2024·山西·模拟预测）随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就很受大众欢迎．某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按每件70元销售，每天可卖出10件．通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 元． 14．（2024·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 15．（2025·山西阳泉·二模）综合与实践 问题背景： 山西刀削面一千年刀工削出三晋风情，一碗筋道面香飘向世界．但近几年因传统手工面临劳动力短缺、标准化瓶颈及传承困境，亦得益于工业机器人技术突破、政策扶持，智能刀削面机器人应运而生． 数学建模： 太原某企业研发的“晋锋”智能刀削面机，其面团放置台截面近似为抛物线，刀片削出面条随此运动轨迹落入锅中．如图1，建立平面直角坐标系，锅面的上沿为轴，竖直方向为轴（单位：）．刀片从点出发，向左上方运动，削出的面条沿抛物线轨迹下落，落入口径为的锅中． 问题解决： (1)已知刀片在离轴处达到最高点，最高，求抛物线的解析式； (2)智能削面机虽然能提高效率，但在使用过程中，若出面口位置不当，面条偏离会造成浪费．某店老板把锅放在机器左侧，锅右端离轴不少于，按照（1）中运动轨迹，要让面条不落在锅外，当锅放置时，设锅的左端坐标为，求的取值范围； (3)每小时削面量（千克）与机器刀片转速转/分钟满足一次函数关系：．损耗成本与转速的平方成正比，比例系数为3（即损耗成本为32元/天），每天固定运营成本为800元．每千克削面的利润为15元，机器每天工作6小时，在尽量减少机器损耗的基础上，求转速为多少时，每天总利润为11500 元？ 16．（2025·山西大同·三模）综合与实践 活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题 问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名．综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集． 信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量x（千克）的范围是． 小彬：该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的关系如下表所示： 每日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的成本（元） 55 50 45 40 小颖：该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的关系可用如图的坐标系中的线段所示，所在直线与纵轴的交点为（其中）； 小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量）． 问题解决： (1)根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本（元）与每日产量x（千克）之间的变化规律可用我们学习过的______函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”），其函数关系式为______； (2)当时，解决下列问题： ①该饮品每千克的售价（元）与每日产量x（千克）之间的函数关系式为______； ②若该饮品某日的销售利润为1326元，求当日该饮品的产量； (3)若该饮品每日产量为80千克时，可获得最大日销售利润．请通过计算确定相应的m的值及最大日销售利润． 17．（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 1．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 2．（2025·四川乐山·中考真题）若方程的两个根是和，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 4．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 5．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 6．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 7．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 8．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 1．（2025·广东中山·模拟）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 2．（2023·湖北襄阳·一模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 3．（2025江苏盐城·模拟）某学校计划利用一片空地建一个面积为的矩形车棚，其中一边靠墙，这堵墙的长度为，另外三边用总长为的木板墙． (1)为方便出行，学校决定在与墙平行的一边上开一个宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？ (2)在（1）的条件下，如图，为了方便取车，施工单位决定在车棚内修建三条等宽的小路，使得停车区的面积为，那么小路的宽度是多少米？ 4．（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元． (1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？ (3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值． 一、单选题 1．对于任意实数m、n，定义新运算，，例如：，则方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D．无法确定 3．设方程的两实数根为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 二、填空题 4．若关于的一元二次方程的一个根为，则 ． 三、解答题 5．解方程： 6．公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为每个90元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增加20个．为使月销售利润达到8750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ 7．如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    8．一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习： 〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元． 〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本． 问题解决： (1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？ (2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？ (3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？ 9．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … (1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 10．在综合实践活动中，小张和小红准备将一个大型养鸡场重新设计为可养大、中、小三种鸡的综合性养鸡场，改良后的养鸡场的示意图如右图所示，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为．每类鸡舍均设计一道宽的门（门用普通的木材制作）． (1)若养鸡场的宽为，求改良后养鸡场的长y（请用含x的式子表示y）； (2)当养鸡场的总面积为，请求出养鸡场的长和宽． B 、能力提升练 C 、综合与实践 模拟预测 A 、基础分点练 学科网（北京）股份有限公司 $