四川省绵阳南山中学实验学校2026届高三上学期数学期末模拟试题（七）

绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（七） 数学 命题：胡晓兰 审题：胡国华 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若复数z满足z(1-i)=2i,则= A.1 B.2 C.2 D.4 2.已知集合A={r2+2x<3}B={g(x+9)<,则xeA是“x∈B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知平面向量a,b,c满足a+b+c-0,la=b=1,c=V3,则a与b的夹角为 A牙 B.3 D. c.3 4.已知圆锥的侧面展开图是圆心角为正且弧长为2π的扇形，， 则该圆锥的体积为 A. B.25m 3 C. D.x 5.已知函数f)=2os(m+)0<p<)的图像关于点石0对称，/(，)-f(40<<),则 x+x,的最小值为 A 7 B. c.g D.a 6.若点P是直线：3x+4y+15=0上的一动点，过点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A、B, 当PA最小时，∠APB的余弦值为 c.g 5 D. 试卷第1页，共4页 D 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，点P在线段DE 上，点P到直线A4的距离的最小值为 D A.专5 B.5 c.5 D. 8.定义函数f(x)=[[x],其中[x表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2.当 0,00neN)时，了)的值拔为4记集合A中元素的个数为a,则Σa广的值》 4040 2019 A.2021 B.2021 C.2019 2019 2020 D. 1010 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分。 9.下列命题中，真命题的是 A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2 B.若a<b,则a<b C.若c>a>b>0, a b Vc-a-Vc-b D.若血(a+2)<h血（亿+2），则上 a b 10.已知双曲线C等茶-1a>06>的左、有焦点分别为、及，过R作斜率为-下的直线与双曲 线的右支交于A、B两点(A在第一象限)，AB=BF,P为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列说法 正确的是 A.4F=24F, B.双曲线C的离心率为2 C.△ArE,的面积为2√15a D.直线OP的斜率为-西 1.已知函数()=。，8()-g,若直线y=b与曲线y-f)和y=()分别相交于点A.f》, B(x2,f(x2),C(3,8(x3),D(x4,8(x4),且<x2,x3<x,则 A.X=x2x3 B.+=x2+5 C.In D.in 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为 13.己知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，PB⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形，A为直角顶 点.若PA=V13,且tan∠PAB=2√3，则球O的表面积为 4,P是椭圆C3等+片1(a>b>0)上-点，R、乃是C的两个焦点，PRPR=0,点0在四 的平分线上，O为原点，Q2∥P四，且OQ=b.则c的离心率为 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) B+C △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=6,bsin =asin B. 2 (1)求角A的大小： (2)M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D,且AM=2√3，求△ABC的面积. 16.(15分) 已知函数f)-血x+d,aeR (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： (2)若()有极小值，且)≥2x兰求a的取值范国。 17.(15分) 已知在正项数列{a}中，a=1且VS,+VS=a≥2，neN),其中S,为数列{a}的前n项和. (1)求数列{a}的通项公式： (2)若对于任意n∈N,2”.入≥S,恒成立，求实数1的取值范围. 18.(17分) 如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上的动点，且 EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE. (1)求证：EF⊥平面PBC; (2)若BE=AE,二面角P-EF-C是直二面角，线段PA上是否存在一点M,使得平面MEC与平面AEC 夹角的余弦值为：苦存在，求出必的值：若不存在，请说明理由： (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 试卷第3页，共4页 19.(17分) 圆锥曲线有着丰富的光学性质.从抛物线Γ：y2=2x(p>0)的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点 P(x,。),经反射后的光线平行于抛物线的轴.若点P在第一象限、直线1与抛物线T相切于点P. (1)已知点P1,√2)，求切线1的方程： (2)过原点作切线1的平行线，交PF于点S,若|FS=1. (i)求抛物线T的方程： (i)过T准线上点N作圆M:(x-m)2+y2=1(m>0)的两条切线，12，且4,42分别与T交于 A(S,t),B(52,t2)两点和C(S,),D(S4,t4)两点.是否存在圆M,使得当点N运动时，ttt4为定值？并说 明理由. 试卷第4页，共4页绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（七） 数学参考答案 1-8:BABC BCAD 9.BC 10.ABD 11.AD 126 13.14π 14v6 3 3 0,x∈[0,1) 0,x∈[0,1) 1,x∈[1,2) x,x∈[1,2) 8.【详解】因为[x]={2,x∈[2,3) ,所以x[x]=2x,x∈[2,3) n-1,xE[n-1,n) (n-1)x,xe[n-1,n) 所以x[x]在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4，n-1, 所以当x∈[O,n),neN时，f(x)的值域为A,集合A中元素个数为： a11++n-1公g2,所。品 2 2 n-1 n mu星=-引g+9对 ,故选：D. 1.【详解】因为f)的定义域为R,f'()=ee=1-x (e*) =e，令f(x)>0,即x<1, 所以f(x)在(-o,1)上为增函数，在(1，+o)上为减函数，且f(0)=0, 当x∈(-o,0)时f(x)<0,当x∈(0，+o)时f(x)>0, 86的定文孩为eQo,W,◆g倒0,0<e 所以g(x)在(0，e)上为增函数，在(e,+o)上为减函数，且g(1)=0, 当x∈(0,1)时g(x)<0,当x∈(1，+o)时g(x)>0, A D y=b 如图： 易知0<51<，l<y<e<x,且=点==m, xi/Ix2 x3 e X4 f(x) g(x) 因为受-器.所以-兴=1a. 因为nx<ln-l,f(x)在(-o,1)上为增函数，所以=lnx,即x=e, 同理x2=lnx,即x4=e,所以xx=e,x,5=x,e, 第1页共6页 又立=→xe=x,e,所以x,=x,,故A正确，B错误： 又y=y,→=点→ns =In =In e 3 x3 e =ne=x2-x 故D正确，C错误；故选：AD. 14.【详解】如图，设P=,PF=n,延长O2交P于A, 由题意知OQ∥P耳，O为F的中点，故A为PF中点， 又P呕P区=0，即PR1PE,则∠OAP= 又由∠QPA=牙则△MQP是等腰直角三角形， m+n=2a 故有2+n2=4c2,化简得 -n=2b =-b,代入m+r=4c得a+b+a-b-4c,即 m=a+b 11 m+n=2a'即 b+二n=-L 2 2 a2+b2=2c2,由b2=a2-c2所以2a2=3c2， 所以e'=2 3e6 3 15.【详解】(1)在△ABC中，因为bsinB+C=bsin下4） 2 bcos 4=asinB, “(22 2 由正弦定理可得sinBcos1=si4simB,0<B<π，：7B≠0，即cos=sinA, 2 A Aπ A 所以cos 2=2sin 2 cos2 ,0<A<π→0< 2 2行o分0，放m子即A-月 2 (2)因为M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D,且AM=2√5， 所以点D为BC中点，且AD=3√3， 在44BC中，a=6,co34=6+0=):即bc=b+c2-36, 2bc 在△ABD和MCD中，cos乙ADB=4D+BDc-c0s∠ADC=-4D+CD6,化简得6+G=72. 2AD·BD 2AD.CD 所以bc=bB+c2-36=72-36=36,故Sac=bcsi4=×36×sim见95， 2 2 3 所以△ABC的面积为9√5， 16【详解】(1)因为a=1,所以f(x)=x2-nx+1, 2 求导得r)x是所了包)2又因为f2=3-2, 3 故曲线y=f(四)在点(2f(2刃处的切线方程为v=x-血2. 第2页共6页 (2)由函数f()=x2-ar+a,aeR可知，x>0. 求导得：(y)=x-g-a,当a≤0时，因为x>0,所以f'(>0, 此时y=f(x)为单调递增函数，没有极小值，与题意不符： 当a>0时，f=x-4_+@(x-回 因为x>0,所以当x∈(0，回时，f'(x)<0,当x∈(Na,+m)时，f(x)>0, 所以函数f因有极小值为/八回-0-由v石-a-0受m+a 又)≥2x-号所以小同≥2n号即a+m-a≤0， 因为a>0,所以2ad2+lna-2≤0. 设h(a=2ax2+1na-2,则h(a=4a+1>0, 所以h(a)=2a2+lna-2在(0，+∞)上单调递增， 又h(1)=0,所以2a2+lna-2≤0的解集为(0，]，即a的取值范围是(0，. 17.【详解】(1)在数列{a}中，Sn-Sn-1=an(n≥2，neN)①， 又因为VS+S-=a,≥2，n∈N)②，a>0, 所以①÷②，得√Sn-VSn-1=1n≥2，neN). 又因为√S=√a=1,所以数列{S}是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以VS,=1+(0m-1)=n,所以S=n2. 当n≥2时，4，=Sn-Sn1=n2-(n-1)2=2-1, 当n=1时，4=1，也满足上式，所以数列{a}的通项公式为a.=2n-1. (2)由(1)知，8=m.因为对于任意neN,2,2S恒成立，所以2≥公恒成立. 设&-安则6-A=a-是-2n+ 212” 2 当n=1,2时，bn+1-bn>0,b.<ba+1: 当n≥3，n∈N时，bnH-bn<0,bn>bn+1,所以b<b,<b,>b>b>…, 所以数列}的最大项是。骨所以2即实数入的取信范园为 9 第3页共6页 18.【详解】(1)证明：在四棱锥P-ACEF中，由EF∥AC,且AC⊥BC,可得EF⊥BC, 所以EF⊥PF,EF⊥CF,因为PF∩CF=F,且PF,CFC平面PFC, 所以EF⊥平面PFC,即EF⊥平面PBC, (2)解：因为AC⊥BC,以C为原点，以AC,CB所在的直线分别为x轴和y轴， 以过点C垂直平面ACFE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由EF∥AC,可得EF⊥PF,EF⊥CF,则∠PFC是二面角P-EF-C的平面角， 又由∠PFC=90°，即PF⊥CF,又PF⊥EF,且EF∩CF=F,EF,CFc平面ACFE,所以PF⊥平面ACFE, 所以PF//C, 由BE=AE,得E,F分别是AB,CB中点， 又由AC=BC=2,可得A(-2,0,0),C(0,0,0),P(0,1,1),E(-1,1,0), 令PM=tPA(0≤t≤1)，则PM=(-2t,-t,-t),M(-2t,1-t,1-t), 可得CM=(-2t,1-t,1-t),CE=(-1,1,0), i.CM=-2+1-t)y+(1-t)z=0 设平面MEC的法向量n=(xy,习，则 iCE=-x+y=0 取x=1-t,可得y=1-t,z=3t-1,所以n=1-t,1-t,3t-1), 又由平面AEC的法向量为=(0,0,1)， 因此cos(m列- m m丽03，解得或1合去)， 所以在线段PA上存在一点M满足题意，此时PM=3 PA5 (3)解：由(2)中空间直角坐标系，知D(-1,0,0),A(-2,0,0), 设P(0,5,0),F(0,y,0),E(-2,y,0),其中，y>0, 则AE=(,,0),PD=(-1,-3,-0,由PD⊥AE,得A亚PD=-v-m=0, 解得g=-1,即P(0,-1,0,则PE=(v-2,v+1,-), 点P与其在直线FC上射影点及点F围成以线段PF为斜边的直角三角形， 1 则2+(+1)2=(2-)2，即u2=3-6,又由2-v>v+1且v>0,即0<v< 2 由平面ABC的法向量为m=(0,0,1),设直线PE与平面ABC所成角为O, PE.m 则sin6=cos(PE,m V3-6y PE元成 V(v-2)2+(v+1)2+tV2y2-8+8 第4页共6页 6 则m9=280+82=B+0-2Q-20+9本6” 2w=元e0,,因函数f(风=元+十6在(0，)上递减，f)>f0=16, 因此0<sim9<及，而sm9>0,解得0<sin6< 8 4 所以直线PE与平面4BC所成角的正弦值的取值范围是O.Y 4 19.【详解】(1)因为P1,√2)在抛物线T:y2=2x(p>0)上，所以p=1,所以抛物线为y2=2x 设切线方程为y-√2=k(x-1),与抛物线y2=2x联立得：2-2y+2√2-2k=0, 所以A=(2少-4k2N2-2=8k:-8√2k+4=0,所以k=5,切线方程为：X-V2v+1=0 2 (2)(i)(法1)如图，因由光学性质可知PT∥x轴， 因为入射角等于反射角，所以A=∠2， 所以∠FPQ=∠FPQ=∠PQF,所以∠OSF=∠FOS, 所以OF=四=1-号P=2,所以抛物线方程为y广=4 (法2)设切线1的方程为：y-y。=k(x-x) 与抛物线方程y2=2x联立得2-2y+2py。-2x。=0, 由△=（-2p)°-4(2p-2%)=0,整理k2-2py,k+p2=0,即k=巴 如图，因为kk=-业 =-1,所以1⊥FF',又因为P=PF叫， 所以∠OPF=∠OPF,所以∠085=∠F08,即OF=s=1-号，p=2,抛物线方程为y产=4 (法3)点P(,y)在第一象限，同法2，求得k=卫 yo 设直线PP的倾斜角分别为aB,tama=P,tmp= x。 卫， 2 2p 2tana 计算可得：tan2a= y 2wy。 y。 =yo =tanB 1-tan2a 1p 2 -巾_卫 y。 2p yo 即2a=B,即0F=S=1号p=2,所以抛物线方程为)二4K (i)由(i)可得抛物线方程为：y2=4x,则准线方程为：x=-1 第5页共6页 设N(-1,m),(:y=k(x+1)+n,I2:y=k,e+1)+n, 将方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：ky2-4y+4k+4n=0, 又4)B.圆店市达定理可得华=然女机。同理可得以，-长机 k k, 则ut,=16k+n+k)+-1d1+ 风k+)+t kk, kk, 又与圆M:(x-m2+y2=1(m>0)相切，则l到圆心的距离为1， 刘+m+四-1→r+2m+2nu+1)k←心-1=0， Vk2+1 同理有(m2+2m)k2+2n(m+1）k+n2-1=C, 则k,k2为方程(m2+2m)k2+2(+1)k+m2-1=0的两根， 由韦达定理可得：飞+k,=一 2n(m+1 2(m+2 ,kk=1 m(+2) 则44，=161+-20(+)+r(m+2)m n2-1 =16+16n2.m-2 n2-1 注意到当n=1时，切线中有一条与x轴平行，不合题意，则2-1≠0. 要使tt4为定值，则2-2=0，又>0，则m=√2 故存在圆M:(x-√2)2+y2=1,使得当点N运动时，tt4为定值. 第6页共6页绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（七) 数学 命题：胡晓兰 审题：胡国华 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.若复数z满足z(1-i)=2i,则= A.1 B.2 C.2 D.4 2.已知集合A-{x2+2.x<3B={lg(x+9)<1},则x∈A"是“x∈B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知平面向量a,b,c满足a+b+c-0,la=b仁1，lc=V3,则a与b的夹角为 A B.3 c.3 D.4 4.己知圆锥的侧面展开图是圆心角为”且弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为 B. 2W3 兀 c.15 D.3V 3 5.已知函数了)=2cs(+p0<p<的图像关于点〔名0对称， f(3)-f(x2=4(0<x<x2),则x+x的最小值为 试卷第1 A. 3 B.7 3 C. 6 D. 6 6.若点P是直线1：3x+4y+15=0上的一动点，过点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分 别为A、B,当PA最小时，∠APB的余弦值为 9 B.g c D 7.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P 到直线AA的距离的最小值为 A.5 B.5 c. D.25 8.定义函数f(x)=[x[x],其中[x表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2 1 2020 EV)时，网的值域为A记集合4中元素的个数为g,则 ，的值为 4040 2019 2019 2019 A B. C D. 2021 2021 2020 1010 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分。 9.下列命题中，真命题的是 A.若a>b>0,c∈R,则ac2>bc2 B.若a<b,则d<b b C.若c>a>b>0,则 Vc-a VC-b D.若n(a+2)<ln(6+2),则1<} a b 10.已知双曲线C等需=1a>0b>0的左、右焦点分别为片、，过R作率为-5的 直线与双曲线的右支交于A、B两点(A在第一象限)，AB=BF,P为线段AB的中点，O为 坐标原点，则下列说法正确的是 A.AF =2AF B.双曲线C的离心率为2 C.△AFF的面积为2W15a2 D.直线OP的斜率为- 5 ,共2页 1.已知函数)，8()-，若宜线y-b与曲线(d和y=g(9分别相交于点 A(3,f(),B(x2,f(x),C(x,8(x)》,D(x,8(x4),且x<x,<x4,则 A.=B.+=x+5C.m =x-D.ln点=x-s x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.两条平行直线2x-y+3=0和ax+3y-4=0间的距离为· 13.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O上，PB⊥平面ABC,△ABC为等腰直角三角形，A 为直角项点.若PA=V3,且ta∠PAB=2√3，则球O的表面积为一 14P是圆C千+若-1(a>b0)上一点，R、R是C的两个共点，P阴，顶=0，点g 在∠FPF的平分线上，O为原点，OQ∥P?,且OQ=b.则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) △ABC的内角A、B、C所对的边分别为ab、c,a=6,bsi ,B+C=asin B· 2 (1)求角A的大小： (2)M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D,且AM=2W3,求△ABC的面积. 16.(15分) 已知函数/()--ax+d.aeR. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程： (2)若()有极小值，且了)≥2a-号求a的取值范国. 试卷第2 17.(15分) 已知在正项数列{a}中，a=1且VS+VS-1=a.≥2，neN),其中S,为数列{a}的前n 项和 (1)求数列{an}的通项公式： (2)若对于任意n∈N+,2”·≥S,恒成立，求实数的取值范围. 18.(17分) 如图，在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,D是AC中点，E、F分别是BA、BC边上 的动点，且EF∥AC,将△BEF沿EF折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE. (1)求证：EF⊥平面PBC; (2)若BE=AE,二面角P-EF-C是直二面角，线段PA上是否 存在一点M,使得平面MC与平面ABC夹角的余弦值为Y6?若 3 PM E 存在，求出P的值：若不存在，请说明理由： A (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围. 19.(17分) 圆锥曲线有着丰富的光学性质.从抛物线Γ：y2=2x(p>0)的焦点F处出发的光线照射到抛 物线上点P(x,y),经反射后的光线平行于抛物线的轴.若点P在第一象限、直线1与抛物线 相切于点P. (1)己知点P1,√2)，求切线1的方程； (2)过原点作切线1的平行线，交PF于点S,若|FS=1. (i)求抛物线T的方程： (ii)过T准线上点N作圆M:(x-m2+y2=1(m>0)的两条切线，2，且1，l2分别与T交于 A(s,t),B(S2,t2)两点和C(S3,t),D(S4,t4)两点.是否存在圆M,使得当点N运动时，tt4为 定值？并说明理由. ,共2页 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题(七) 数学参考答案 1-8：BABC BCAD 9.BC 10.ABD 11.AD 12. 13. 14. 8.【详解】因为，所以， 所以在各个区间中的元素个数分别为：， 所以当时，的值域为，集合中元素个数为： ，所以， 所以，故选：D. 11.【详解】因为的定义域为R，，令，即， 所以在上为增函数，在上为减函数，且， 当时，当时， 的定义域为，，令，即， 所以在上为增函数，在上为减函数，且， 当时，当时， 如图： 易知，且， 因为，所以， 因为，在上为增函数，所以，即， 同理，即，所以， 又，所以，故A正确，B错误； 又， 故D正确，C错误；故选：AD. 14.【详解】如图，设，，延长交于A， 由题意知，O为的中点，故为中点， 又，即，则， 又由，则是等腰直角三角形， 故有，化简得，即，代入得，即，由所以， 所以，. 15.【详解】（1）在中，因为， 由正弦定理可得，，，即， 所以，，，故，即. （2）因为为的重心，的延长线交于点，且， 所以点为中点，且， 在中，，，即， 在和中，，化简得，所以，故， 所以的面积为． 16.【详解】（1）因为，所以， 求导得所以，又因为， 故曲线在点处的切线方程为． （2）由函数可知，. 求导得：，当时，因为，所以， 此时为单调递增函数，没有极小值，与题意不符； 当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数有极小值为． 又，所以，即， 因为，所以． 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以的解集为，即的取值范围是． 17.【详解】（1）在数列中，①， 又因为②，， 所以，得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，也满足上式，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，．因为对于任意，恒成立，所以恒成立． 设，则， 当时，，； 当，时，，所以， 所以数列的最大项是，所以，即实数的取值范围为． 18.【详解】（1）证明：在四棱锥中，由，且，可得， 所以，，因为，且平面， 所以平面，即平面， （2）解：因为，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴， 以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，可得，则是二面角的平面角， 又由，即，又，且平面，所以平面，所以， 由，得分别是中点， 又由，可得， 令，则， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的法向量为， 因此，解得或（舍去）， 所以在线段上存在一点满足题意，此时.              （3）解：由（2）中空间直角坐标系，知， 设，其中， 则，由，得， 解得，即，则，                                       点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，又由且，即， 由平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 则， 令，因函数在上递减，， 因此，而，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19.【详解】（1）因为在抛物线上，所以，所以抛物线为 设切线方程为，与抛物线联立得：， 所以，所以,切线方程为： （2）（i）（法1）如图，因由光学性质可知轴， 因为入射角等于反射角，所以， 所以，所以， 所以，所以抛物线方程为 （法2）设切线l的方程为： 与抛物线方程联立得， 由，整理，即 如图，因为，所以，又因为， 所以，所以，即,抛物线方程为 （法3）点在第一象限，同法2，求得 设直线l，PF的倾斜角分别为， 计算可得： 即，即，所以抛物线方程为 （ii）由（i）可得抛物线方程为：，则准线方程为： 设，， 将方程与抛物线方程联立，消去x并化简可得：， 又，则由韦达定理可得，同理可得. 则. 又与圆相切，则到圆心的距离为1， 则， 同理有， 则为方程的两根， 由韦达定理可得：. 则 注意到当时，切线中有一条与x轴平行，不合题意，则. 要使为定值，则，又，则. 故存在圆，使得当点N运动时，为定值. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（七） 数 学 命题：胡晓兰 审题：胡国华 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则 A．1 B． C．2 D．4 2．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为 A． B． C．π D．π 4．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 5．已知函数的图像关于点对称，，则的最小值为 A． B． C． D． 6．若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为 A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 A． B． C． D． 8. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9．下列命题中，真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是 A． B．双曲线的离心率为2 C.的面积为 D. 直线的斜率为 11. 已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两条平行直线和间的距离为 ． 13．已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 14．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，． （1）求角A的大小； （2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积． 16． （15分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围． 17． （15分） 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 18． （17分） 如图，在△ABC中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分） 圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． （1）已知点，求切线l的方程； （2）过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，在△ABC中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面; (2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． (1)已知点，求切线l的方程； (2)过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学实验学校高2023级二诊模拟试题（七） 数 学 命题：胡晓兰 审题：胡国华 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则 A．1 B． C．2 D．4 2．已知集合，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知平面向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=|b|=1,|c|=,则a与b的夹角为 A． B． C．π D．π 4．已知圆锥的侧面展开图是圆心角为且弧长为的扇形，则该圆锥的体积为 A． B． C． D． 5．已知函数的图像关于点对称，，则的最小值为 A． B． C． D． 6．若点P是直线上的一动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，当最小时，的余弦值为 A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为 A． B． C． D． 8. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分． 9．下列命题中，真命题的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为的直线与双曲线的右支交于、两点（在第一象限），为线段的中点，为坐标原点，则下列说法正确的是 A． B．双曲线的离心率为2 C.的面积为 D. 直线的斜率为 11. 已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两条平行直线和间的距离为 ． 13．已知三棱锥的四个顶点均在球O上，平面为等腰直角三角形，A为直角顶点．若，且，则球O的表面积为 ． 14．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） △ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，． （1）求角A的大小； （2）M为△ABC的重心，AM的延长线交BC于点D，且，求△ABC的面积． 16． （15分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且，求的取值范围． 17． （15分） 已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 18． （17分） 如图，在△ABC中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．（17分） 圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． （1）已知点，求切线l的方程； （2）过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，在△ABC中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面; (2)若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 19．圆锥曲线有着丰富的光学性质．从抛物线的焦点F处出发的光线照射到抛物线上点，经反射后的光线平行于抛物线的轴．若点P在第一象限、直线l与抛物线相切于点P． (1)已知点，求切线l的方程； (2)过原点作切线l的平行线，交PF于点S，若． （i）求抛物线的方程； （ii）过准线上点N作圆的两条切线，且分别与交于两点和两点．是否存在圆M，使得当点N运动时，为定值？并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $