精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期末阶段性检测 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 2. 设集合，，则______． 3. 已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 4. 某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则______. 5. 为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 6. 已知，空间向量，，若，则______. 7. 已知等比数列满足，设的前项和为，则______. 8. 在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 9. 已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 10. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 11. 已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是______. 12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（ ）. A. B. C. D. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 15. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于、两点，要求弓形部分面积.先构造直线，且与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级、；再用同样的方法在切点、两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明可知级三角形的面积都是级三角形面积的，则这无穷多个三角形的面积之和逼近弓形面积，所以求出这无穷多个三角形的面积之和的极限值就可以得出弓形面积.若已知抛物线：，直线：，则抛物线与直线围成的弓形面积为（ ）. A. B. C. D. 16. 已知的定义域为，若对任意，均有，则称该函数具有性质.对于下列两个命题，以下选项中正确的是（ ）. ①若具有性质，且在上严格增，则是奇函数； ②“是偶函数”的充要条件为“对任意定义在上的偶函数，函数均具有性质”. A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在正三棱柱中，，，点、、分别是棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 18. 已知，其中. （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 19. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 20. 已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点. （1）若是椭圆上的一个动点，求的最大值； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦大学附属中学2025学年第一学期高三年级 数学学科期末阶段性检测 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 【答案】2 【解析】 【详解】焦点（1，0），准线方程，∴焦点到准线的距离是2. 2. 设集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得或，再根据交集计算即可． 【详解】根据题意，或， ． 故答案为：． 3. 已知，若复数满足（为虚数单位），且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，模长公式计算即可. 【详解】由，得， 由，得， 又因为，所以. 故答案为：. 4. 某工厂生产一批零件，其尺寸（单位：）服从正态分布，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解. 【详解】服从正态分布，，， ，. 故答案为：. 5. 为增强学生的体质，某校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和乒乓球.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学两者都爱好.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好乒乓球，则该同学也爱好羽毛球的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式进行求解. 【详解】记“爱好乒乓球”为事件，“爱好羽毛球”为事件， 由题可知，，则. 故答案为： 6. 已知，空间向量，，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得，则，再解方程即可． 【详解】，， ，解得，． 故答案为：2． 7. 已知等比数列满足，设的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为（），则，. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. . 故答案为：. 8. 在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 9. 已知正数，，成等差数列，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与基本不等式中“1”的应用方法求解即可. 【详解】因为正数，，成等差数列，所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以，当且仅当即时取等号. 两个等号可以同时取得，所以的最小值为. 故答案为：. 10. 如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 11. 已知球的半径为2，是球的一条直径，点是球面上一个定点，且.设点是球面上异于、、的动点，若点满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，利用空间向量求夹角即可. 【详解】以为圆心，以所在直线为轴，以所在平面为平面建立空间直角坐标系. 则，，，. 设点，则. ，，， ，，， 因为， 所以， 整理得， 又， 所以， 若要取最小值，则取最大值，而可为钝角，只需， 当时，， 当时等号成立， 所以的最大值为，的最小值为. 12. 已知共有10项的数列是1，2，3，…，10的一个排列，若对于任意正整数，都有，则满足条件的不同数列的个数为______. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，易得才能满足要求，通过不等式可知，故分类讨论和不同情况下其余八个数的排序情况，从而找到十个数排列情况，进而推出，而两个数的排列，以此递推进而求出答案. 【详解】注意到的各项之和， 所以必有. 将10个数划分为5组，每组的和为11，只能是，，，，. 由于，所以可得，进一步可得. 考虑组数，，…，满足奇数项递减的所有情形，总数记为，要求： ①当时，，此时后四组排在，可以将后4组每组减去1，得，，，，将这四组排在，即为的情况，因此共种； ②当时，因为奇数项递减，故奇数项任意一项不可能等于，且，若,则，若,则不是第九个数，下一个奇数项存在且不满足奇数项递减，与题不符，则必然有，则，此时后四组排在，与①中类似可得方案数为；一般地，有递推关系，而，，所以. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程进行判断. 【详解】当表示双曲线时，， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 当时，可将方程转化为，方程表示焦点在轴上的双曲线， 故， 故选：. 14. 对变量、有观测数据，得散点图1；对变量、有观测数据，得散点图2.分别用、表示变量与、与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）. A. 变量与呈现正相关，且 B. 变量与呈现负相关，且 C. 变量与呈现正相关，且 D. 变量与呈现负相关，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图的分布的趋势和集中程度可得正确的选项. 【详解】对于图1，散点总体斜向上分布，故变量与呈现正相关，故排除B； 对于图2，散点总体斜向上分布，故变量与呈现负相关，故排除C； 图1中散点图分布较为集中，图2中的散点图分布较为分散，故， 故选：D. 15. 阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线与直线交于、两点，要求弓形部分面积.先构造直线，且与抛物线相切于点，得到一级；用同样的方法在切点两旁得到两个二级、；再用同样的方法在切点、两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明可知级三角形的面积都是级三角形面积的，则这无穷多个三角形的面积之和逼近弓形面积，所以求出这无穷多个三角形的面积之和的极限值就可以得出弓形面积.若已知抛物线：，直线：，则抛物线与直线围成的弓形面积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行关系设直线的方程为，利用相切关系可得，进而求出，再利用三角形构造规则以及等比数列前项和公式计算求出表达式的极限可得结果. 【详解】设直线的方程为， 联立可得， 因此，解得，可得； 设， 联立可得； 因此 所以， 点到直线的距离为， 因此的面积； 记第级的每个三角形的面积为，即， 又第级三角形的面积都是级三角形面积的，所以可得； 根据三角形构造规则可知第级共有三角形个数为， 所以第级中所有三角形面积为； 因此抛物线与直线围成的弓形面积为. 故选：C 16. 已知的定义域为，若对任意，均有，则称该函数具有性质.对于下列两个命题，以下选项中正确的是（ ）. ①若具有性质，且在上严格增，则是奇函数； ②“是偶函数”的充要条件为“对任意定义在上的偶函数，函数均具有性质”. A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】根据性质①举反例即可判断①错误；对于②，对于必要性，易知成立，对于充分性，令，，联立方程组即得充分性得证. 【详解】对于①，反例满足性质且在上严格增，但，此时不是奇函数.故①错误； 对于②，必要性：若和都是偶函数， 则有，故， 即均具有性质，故必要性成立； 充分性：令得， 令得， 两式联立，得，充分性得证.故②正确. 故选： 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图，在正三棱柱中，，，点、、分别是棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1） 连接，如下图所示： 则，且， 所以四边形为平行四边形，， 又平面内，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线性质证明四边形为平行四边形，结合线面平行的判定定理证明可得结论； （2）解法一：作，，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再由勾股定理可得二面角的余弦值或正切值，用三角函数表示即可； 解法二：以为原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系，求出两平面和的法向量，即可得出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一： 作，，垂足分别为和，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又，所以平面. 因此为在平面内的投影，由三垂线定理可知， 所以二面角的平面角为的补角. 又，，可得，因此可得， 又易知，所以 可得， 所以（或）， 因此二面角的大小为（或） 解法二： 以为原点，、、为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，； 可得， 设平面的一个法向量； 所以，解得，令，可得； 即平面的一个法向量可以为， 设平面的一个法向量为， 又； 即，解得，令，可得； 即平面的一个法向量可以为， 所以， 因为二面角是钝角， 所以二面角的大小为. 18. 已知，其中. （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【小问1详解】 当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. 【小问2详解】 因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 19. AI手机是近年来备受关注的新一代智能终端，与智能网联新能源汽车、智能机器人等共同纳入国家发展战略.某商场为了解顾客的购买意愿，随机调查了200位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表. 购买AI手机 购买无AI技术的手机 总计 男性顾客 45 65 110 女性顾客 56 34 90 总计 101 99 200 （1）根据表中数据，判断是否有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关？并说明理由； （2）从这90位女性顾客中随机挑选4位，求其中至少有2位购买AI手机的概率（精确到0.01）； （3）为促进AI手机的销量，该商场为购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为和，其余情况不中奖.每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立.记某位顾客两次抽中的奖金之和为元，求随机变量的数学期望. 参考公式及数据：①，其中. ②，，，. 【答案】（1） 作原假设：购买AI手机与顾客的性别无关，取，， 因为，所以否定原假设，即有99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关. （2）0.85 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的数据计算，结合临界值表可判断99%的把握认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）利用对立事件可求至少有2位购买AI手机的概率； （3）先求出的分布列，再根据期望公式可求，或者利用独立事件的期望公式求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 【小问3详解】 法1：可取值， 而，， ，， ， 故的分布为， 期望. 法2：设第次抽中奖金为，由题设可得的分布为， 从而，而相互独立，故. 20. 已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点. （1）若是椭圆上的一个动点，求的最大值； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）或. （3）存在定点. 【解析】 【分析】（1）求的最大值，利用椭圆的定义转化，求其最大值， （2）设直线：，与椭圆联立，再结合可得，，得到直线方程， （3）分类讨论：直线斜率存在时，直线平行于轴时，直线斜率不存在时，利用两种特殊情况找到坐标，再对斜率存在的情况进行计算，设直线：，只要证明即可得证， 【小问1详解】 ，，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， 【小问2详解】 由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， 【小问3详解】 当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 21. 设，. （1）求证：在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆（其中）相切，求实数的取值范围； （3）设，点在函数的图像上，且的横坐标，.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】（1）令，，，，在上为单调递增函数，， ，所以在上恒成立，即在上恒成立. （2） （3），， 当时，；当时，； 则点在曲线上，点在上， 当，，， ， 线段的方程为， 即， 在上任取一点， 设， ， ，，， ，， ，，，， 在上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线下方， ， 直线与的交点都在轴的上方. 令，则， 当时， ，则在上是单调递增函数， 当时， ，则在上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为. 当时，，故，即直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时直线与曲线相切于点，与折线段无交点； 当时，，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得. 当时，直线在曲线上方，与折线段无交点； 当时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. 【解析】 【分析】（1）构造函数，通过导数法得到单调性，得到，从而得证； （2）设，利用导数的几何性质求出曲线在点 处的切线的方程，由曲线在点 处的切线与圆相切，则有圆心到切线方程的距离得到，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数 的取值范围. （3）求出，通过讨论和得到点在曲线上，点在上，且，因此线段均在曲线下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为.讨论的最小值与的大小得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在曲线上，，， 设， 不同于坐标原点，， ，， 曲线在点 处的切线的斜率为， 切线方程为，即， 圆的圆心为，半径为 ， 曲线在点 处的切线与圆相切， 圆心到切线方程的距离， 即， 令，，，，解得， 则，，时 取最大值，且最大值为， ，， 实数 的取值范围. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $