期末专项复习题 轴对称中的最短路径问题 2025-2026学年人教版八年级数学上册

期末专项复习题----轴对称中的最短路径问题 一．选择题 1．如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（    ）时，的值最小．    A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．． 2．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 7．唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点为直线上一点，连结，则下列关于周长的说法正确的是（   ）． A．点与点重合时的周长最小； B．点与点重合时的周长最小； C．点落在之间（不包括端点）时的周长最小； D．点落在的延长线上时的周长最小． 9．如图，在中，于点，于点，，，若点，分别是线段，上的动点，则的最小值与线段（   ）的长度相等． A． B． C． D． 10．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二．填空题 11．如图，在边长为6的等边三角形中，F是边的中点，D是线段上的动点，连接，在的右侧作等边三角形，连接，，．有下列说法：①；②；③；④周长的最小值为9；⑤当的周长最小时，；⑥的大小随着点D的移动而变化．其中正确的是 ．（填序号） 12．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 13．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 14．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 15．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为 ． 16．在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系： ． 17．如图，在菱形中，，，E，F分别为边和的中点，连接，点P是上一动点，则的最小值为 ． 18．如图，内一点，、分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若，当周长最小时，则 ． 19．如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ． 20．如图，是等边三角形，于点D，，E是上的一个动点，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值是 ． 三．解答题 21．如图，方格纸中每个小方格的边长都是1，点、、． (1)作关于y轴对称的； (2)请直接写出、、的坐标： ___________；___________； ___________； (3) 在x轴上找出点P，使最小，在图中描出满足条件的点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标． 22．利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 23．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A、B均为格点（网格线的交点），直线l与点A右侧2个单位竖直方向的网格线重合． (1)画线段，使与关于直线l对称； (2)在l上找一点C，使得最小． 24．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供气站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 25．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形． (2)在轴上找一点，使得最小，请画图并直接写出点的坐标． 26．如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 27．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 28．我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 29．已知线段，点C是平面内一动点，且，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，交于点E．    (1)如图1，若． ①求的度数； ②如图2，作的角平分线交于F，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； (2) 若，当最长时，求的长． 30．如图，在Rt中，，，，平分交斜边于点D，动点P从点C出发，沿折线向终点D运动． (1)点P在上运动的过程中，当 时，与的面积相等；（直接写出答案） (2)点P在折线上运动的过程中，若是等腰三角形，求度数； (3)若点E是斜边的中点，当动点P在上运动时，线段所在直线上存在另一动点M，使两线段的长度之和，即的值最小，则此时的长度 （直接写出答案）． 参考答案 一．选择题 1．B 解：连接，，    ∵是的对称轴， ∴， ∴， ∴点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长， 故选B． 2．C 解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 3．D 解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 4．B 解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 5．A 连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 6．C 解：作N关于l的对称点E，连接，交l于点C， ∴的垂直平分线为l， ∴， ∴， 即P与C重合， 故选：C． 7．A 解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 8．A 解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 9．B 解：在上取点，使得，过作于， ， 垂直平分， ，， ，即的最小值为的长， 当时，最小，过作于， ，， 为等边三角形， 于点，于， ， 故选：B． 10．C 解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 二．填空题 11．①②③④ 解：∵是等边三角形，F是边的中点， ∴．故①正确； ∴是线段的垂直平分线，即． ∵是等边三角形， ∴． ∴，即．故②③正确； ∵点D在线段上， ∴当，点D与点F重合时，的长最小，即此时的周长最小． ∵等边三角形的边长为6，F 是的中点， ∴，即的长的最小值为， 此时的周长最小值为．故④正确； ∵，都是等边三角形， ∴，，． ∴，即． ∴． ∴．又F是的中点， ∴平分，即．故⑥错误； ∴，即点E在射线(射线)上运动． 如图，作点A关于直线的对称点M，连接，，，交直线于点 ，连接，∴． ∴的周长为． ∴当E，F，M三点共线，即点E与点重合时，最小．此时的周长最小． ∵点A与点M关于直线对称， ∴，，即． ∴是等边三角形．又F是边的中点，∴，即，故⑤错误． 综上，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 12． 解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 120 解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 14． 解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 15． 解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 16． 解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当三点共线，且时，此时为最短， ，平分，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． 17．4 解：如图，连接、，连接交于点， 菱形，，， ，，，， 是等边三角形， ， 又E，F分别为边和的中点， ，垂直平分， 点P是上一动点， ， 在和中， ， ， ， ， 当三点共线时，有最小值4． 故答案为：4． 18． 解：∵、分别是关于、的对称点，交于点，交于点， ∴，， ∵的周长， ∴当共线时，的周长最小； 如图，连接、、， 由轴对称的性质得，，，， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ 故答案为：． 19． 解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、， ， ， ， ∴， ，， 垂直平分， ， ， 当点E在点处时，最小， ， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的度数为 故答案为： 20．5 解：如图，连接并延长， 为等边三角形，， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点F在射线上运动， 作C关于射线的对称点，连接，，则，，， ∴，当D、F、共线时取等号， 此时取最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 三．解答题） 21．（1）解：如图，即为所求， （2）解：由坐标系得：、、的坐标分别为，，， 故答案为：，，； （3）解：如图点P即为所求，． 22．（1）解：如图， （2）解：如图， 23．（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，连接交直线l于点C，连接， 此时，为最小值， 则点C即为所求． 24．（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 25．（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：作B点关于x轴对称的对称点，连接，与x轴交点即为P，点P的坐标为． 26．（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 27．（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 28．（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 29．（1）解：①，， 是等边三角形， ，， ， ， 由题意，得， ， ， ， ②；理由如下： 在线段上截取，如图2，   ， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； （2）解：如图3，过作，且使，所以点是定点，的长度是定长．   ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， 当最长时，，，三点在同一条直线上，如图4，   ，， ， ， ， ， ． 30．（1）解：∵平分， ∴点D到和的距离相等， ∴当时，与的面积相等， 故答案为：6； （2）解：如图1， ， 当时，（点P在处）， ∴， 当时，（点P在处）， ∴， ∵， ∴， 当时，（点P在处时）， ∵， ∴， 综上所述：或或或； （3）解：如图2， ， 作点E关于对称点F，作于P，交于M，则最小， 延长交于Q， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司 $