第十五章 第31课时 综合与实践：最短路径问题-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂（人教版·新教材）

数学·八年级·上册（人教版） 第31课时综合与实践：最短路径问题 A基础巩固 ●● 落实课标 1.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是 ( ) A.两点确定一条直线 B.垂线段最短 C.两点之间，线段最短 D.以上都不对 2.如图，直线a是一条输气管道，M,N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站 O,向M,N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是 0 1 B D 3.如图，从A地到B地有①②③三条路可以走，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ③ (第3题图) (第4题图) (第5题图) (第6题图) B能力提升●。 灵活应用 4.如图，在△ABC中，AB=4,AC=6,EF垂直平分线段BC,P是直线EF上的任意一点，则△ABP 周长的最小值是 5.如图，已知∠MON=60°，P为∠MON内一点，OM上有一点A,ON上有一点B,当△PAB的周长 取最小值时，∠APB的度数为 ( A.40 B.60° C.100° D.120° 6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于 E,F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为( A.6 B.8 C.9 D.10 7.【人教版八上P95活动二任务1改编】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边 饮马，然后回到B处，请画出最短路径. 草地 马A B ●>740 第十五章轴对称 8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标为A(1,2),B(4,1),C(2,4). y (1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'; (2)在图中x轴上作出一点P,使PA十PB的值最小. 9.【人教版八上P95活动二任务2改编】如图，牧羊人从羊圈A地出发，先让羊群在草地边（射线m)吃 草，再让羊群去河边（射线）饮水，最后将羊群带到休息区B地休息.请你帮牧羊人确定最短的出行 路线. m 草地」 公羊国 ●B休息区 河流 C拓展应用。。· 深度思考 10.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,AB=5,D,E,F分别是AB,BC,AC边上的动点，则 △DEF的周长的最小值是 () A.2.5 B.3.5 D C.4.8 D.6 ●>750数学八年级上册(RJ) .DE=DF,AE-AF, 点A,D都在EF的垂直平分线上 .AD垂直平分EF. (2)解：：∠BAC=60°，AD平分∠BAC, .∠EAD=30 .AD=2DE,∠EDA=60°. ,AD垂直平分EF, ∴.∠EOD=90°. .∠DE0=30. ∴.DE=2DO ..AD=4DO. ∴.AO=3OD=6. 第30课时等腰三角形、等边三角形习题课 1.C2.A3.C4.a-105.156.177.45 8.解：(1)，∠C=90°，∠DBC=60°， ∴.∠BDC=180°-∠C-∠DBC=30°. ∠A=15°，∠A+∠ABD=∠BDC, ∴.∠ABD=15°. (2)在△BDC中，∠BDC=30°，∠C=90°， ∴.BD=2BC=2 ∠ABD=15=∠A,.AD=BD=2. 9.解：(1)△ABC是等边三角形， ∠B=∠ACB=60°. :DE∥AB, .∠EDC=∠B=60° EF⊥DE, ∠DEF=90, .∠F=180°-∠DEF-∠EDC=30°， (2)∠ACB=60°，∠EDC=60°， △EDC是等边三角形， .DE=CD=4. :∠DEF=90°，∠F=30°， .DF=2DE=8. 10.解：(1).△ABC为等边三角形， .∠B=60°.∴.BP=BQ时，△BPQ为等边三角形 根据题意，得AP=3tcm,BQ=2tcm, .BP=(16-3t)cm. 16-31=2,解得1=9 :当1=9时，△BPQ是等边三角形。 (2)由(1)知BQ=2tcm, ∴.BP=(16-3t)cm,∠B=60°， ∠BQP=90°，∴∠BPQ=30° BQ-BP,即2=16-30， 解得=9 当1=9时，∠BQP是直角， 第31课时综合与实践：最短路径问题 1.C2.C3.②相等4.105.B6.C 7.解：如答图所示，AQ一QP-PB为所求 草地 A● 0 N B 马A 答图 8.解：(1)如答图，△A'BC即为所求， (2)如答图，点P即为所求。 YA --L- 0 ----- }----- 答图 9.解：如答图，AC十CD+BD=AC+CD+B'D=A'B',故牧羊 人应让羊群在点C处吃草，在点D处饮水，才能使他出行路 线最短。 A 草地 羊 PB休息区 河流Dg 答图 10.C 微专题5：手拉手模型 1.A 2.证明：：△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形， BC,DE是底边， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, .△BAD≌△CAE(SAS), .BD=CE 3.证明：△ABD和△ACE是等腰直角三角形， ∠BAD=∠CAE=90°， ..AB-AD,AC=AE, ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, .∠DAC=∠BAE. AB=AD 在△AEB和△ACD中， ∠BAE=∠DAC, (AE-AC. ∴.△AEB≌△ACD(SAS), .BE=CD. 12