四川省射洪中学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

射洪中学高2024级高三上期入学考试 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 3．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数，则其图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 6．位于西部地区的A，B两地，据多年的资料记载：A，B两地一年中下雨天仅占6%和8%，而同时下雨的比例为2%，则A地为雨天时，B地也为雨天的概率为（ ） A． B． C．0.12 D．0.18 7．设，则随机变量X的分布列是： X 0 a 1 P 则当a在内增大时（ ） A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 8．已知，．设，，，则（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分． 9．下列判断正确的是（ ） A．与表示同一个函数 B．已知函数，则 C．计算： D．已知函数的定义域为A，函数，的值域为B，则等于 10．已知正数x，y满足，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值是2 B．的最小值是1 C．的最小值是4 D．的最大值是 11．定义在R上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（ ） A．4是的一个周期 B．的图象关于中心对称 C．关于对称 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．展开式的常数项是_______． 13．已知随机变量服从正态分布，且，则_______． 14．记函数的导函数为，已知，且，，若关于x的不等式在上有解，则a的取值范围为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知函数．求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数在区间上的最值． 16．（本题满分15分）某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）具有较强的相关性，且两者之间有如下对应数据： x 2 4 5 6 8 y 28 36 52 56 78 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为10万元时，预测销售额是多少？ 参考公式：，． 参考数据：，，． 17．（本题满分15分）已知函数对任意的实数a，b，都有，且当时，． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）若存在实数x，使得不等式成立，求实数t的取值范围． 18．（本题满分17分）国家加大了对全民体育锻炼的重视程度，推行全民体育锻炼工作，全民体育锻炼活动在全国各地蓬勃发展，活动规模不断扩大，内容不断充实，方式不断创新，影响日益扩大，使我国国民身体素质得到了大幅度提高．某高中为响应政府号召，在寒假中对某校高二400名学生（其中男生240名）按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生进行调查，了解他们每天的体育锻炼情况如下表： 每天体育锻炼时间低于1h 每天体育锻炼时间不低于1h 总计 男生 30 女生 10 总计 100 （1）根据统计数据完成以上列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的条件下，认为该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异？ （2）若从抽出的100名学生中按“每天体育锻炼时间是否低于1h”采用分层随机抽样抽取10名学生准备进行身体素质测试，在这10名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生每天体育锻炼时间不低于1h的人数为X，求X的分布列和数学期望． （3）若将频率视作概率，从该校所有在校学生中随机抽取10人进行调查，记10人中每天体育锻炼时间不低于1h的人数为k的概率为，当取得最大值时，求k的值． 附参考数据及公式：，其中． （） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（本题满分17分）已知（） （1）设函数，讨论函数的单调性； （2）当，时，证明：． （3）当时，，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三入学考试数学参考答案 1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．A 7．D 8．A 9．ABC 10．AD 11．ACD 12．24 13．0.3 14． 15．【解析】（1），则，，切点是， 故切线方程是，即； （2）令，解得：或， x，，在的变化如下： x 0 2 3 0 0 单调递增 极大值1 单调递减 极小值 单调递增 1 在和上单调递增，在上单调递减， 最大值是，又，， 在的最大值是，在在最小值是． 16．【解析】（1）根据表中数据，得，， ，，， ， 关于x的线性回归方程； （2）当时，，当广告费支出为10万元时，预测销售额是92.5万元． 17．【解析】（1）令得，所以； （2）函数在R上单调递增，理由如下：任取，，且，则，故，所以，即，所以函数在R上单调递增； （3）令得，即， 所以不等式可化为，即， 由（2）可知函数在R上单调递增，所以， 整理得， 因为，所以，所以满足题意的t的取值范围是． 18．【解析】高二有400名学生（其中男生240名），则抽取100名学生中， 男生有名，女生有40名， 列联表如下： 每天体育锻炼时间低于1h 每天体育锻炼时间不低于1h 总计 男生 30 30 60 女生 10 30 40 总计 40 60 100 （1）， 所以在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能推断该校女生和男生在每天体育锻炼时间方面存在差异； （2）100名学生中“每天体育锻炼时间不低于1h”的人数为60人， 因此抽取10名学生“每天体育锻炼时间不低于1h”的人数为6人， 而X的所有可能取值为0，1，2，3， ，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望； （3）将频率视作概率，则，所以， 由，得，解得， 又因为．所以． 19．【解析】（1）由题意，，定义域为求导得：， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证，即证明：，即证 即证， 令（），则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证． （3）原不等式（）， 当时，当时，，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式， 设（），则， 令（），， ，， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $