精品解析：贵州省名校协作体2025届高三上学期联考（二）数学试题

贵州省名校协作体2024-2025学年高三联考（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给的四个选项中，只有一个符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 5. 已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切，则圆M的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经研究可知：在室温20℃下，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感，设经过tmin后茶水的温度为y℃，且，茶水从泡制开始降至60℃大约需要的时间为（参考数据：，）（ ） A. 2.5min B. 3.5min C. 4.5min D. 6min 7. 若函数满足在有1个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 正四棱柱一定是长方体 B. 斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C. 正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D. 正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是奇数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ） A. A与B为互斥事件 B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在等比数列中，，，则__________. 13. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和，以它的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的封闭空间几何体的体积为_________. 14. 在中，若，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 16. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，现从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 女生 54 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45. （1）判断是否有95%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取5名学生，再在这5人中随机抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.010 k 2.072 2.706 3.841 6.635 17. 三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AP，AB，AC上的点，，是等边三角形 （1）若，求证：； （2）若二面角P-AC-B为90°，且，求AC与平面PAB所成角的正弦值. 18. 已知椭圆，点在椭圆上，上顶点为. （1）求的方程； （2）设P是直线上一点，点M满足.若经过点M，求点P的坐标； （3）过的右焦点F作不垂直于x轴且斜率不为0的直线l，交于N、Q两点，线段NQ的垂直平分线交x轴于点T，求（O为坐标原点）的取值范围. 19. 对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点，已知函数其中a，. （1）当时， （i）求的极值点； （ii）若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值； （2）若关于的不等式的解集为，且中有且仅有一个整数，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省名校协作体2024-2025学年高三联考（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题所给的四个选项中，只有一个符合要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义计算求解. 【详解】集合，，则. 故选：B. 2. 复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法除法运算可求得复数，可求得虚部. 【详解】因为，所以，所以的虚部为2. 故选：. 3. 已知数列满足，且，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用递推公式逐步计算即可. 【详解】因为，所以， 令，则，又，所以， 令，则. 故选：A 4. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，化简即可. 【详解】由已知条件得， 代入余弦定理公式化简得，即， ， . 故选：B 5. 已知圆M的圆心为，且直线与圆M相切，则圆M的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求半径，然后可得标准方程. 【详解】由题意可知，圆心到直线的距离， 即圆的半径，所以圆的方程为：. 故选：D 6. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经研究可知：在室温20℃下，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感，设经过tmin后茶水的温度为y℃，且，茶水从泡制开始降至60℃大约需要的时间为（参考数据：，）（ ） A. 2.5min B. 3.5min C. 4.5min D. 6min 【答案】C 【解析】 【分析】先由求出k，再由结合对数运算性质即可求t. 【详解】由题可得， 设经过tmin后茶水的温度为60℃， 所以， 所以. 故选：C 7. 若函数满足在有1个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把转化为，然后结合正弦函数图像的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有2个零点，1个极值点， 所以，即，解得. 故选：D 8. 已知，向量满足，抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据差向量的几何意义确定点的轨迹，然后利用抛物线的定义，结合图形求解可得. 【详解】作，因为，所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，如图： 由抛物线定义可知， 由图可知，当点在线段上，且垂直于准线时取得最小值， 最小值为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分. 9. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 正四棱柱一定是长方体 B. 斜四棱柱的侧面一定不是矩形 C. 正四棱锥所有侧面都一定是正三角形 D. 正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据柱体、锥体、台体的定义和结构特征即可判断正误. 【详解】对于A：正四棱柱一定是长方体，A选项正确； 对于B：若斜四棱柱底面是平行四边形，侧棱不垂直底面，侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面是矩形，所以斜四棱柱的侧面可以是矩形，B选项错误； 对于C：若正四棱锥的侧棱与底面边长不相等时，所有侧面都是等腰三角形不是正三角形，C选项错误； 对于D：正四棱台所有侧棱所在的直线一定相交于一点，D选项正确； 故选：AD. 10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是奇数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ） A. A与B为互斥事件 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，结合古典概型计算公式、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】A：不放回地随机取两次，当第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是时，A与B能同时发生，所以A与B不是互斥事件，因此本选项说法不正确； B：事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，所以第一次有可能奇数也有可能是偶数， 所以，所以本选项说法正确； C：因为，， 所以，因此本选项说法正确； D：因为，， ， 所以，因此本选项说法不正确. 故答案为：BC 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数方程结合对称性推导出是偶函数且周期为6，利用计算关键点值并判断导函数性质，从而逐项检验选项. 【详解】在A选项中，由题意可得，，， 令，得，解得或， 若，令，则，即， 又因为，所以，选项A错误， 在B选项中，因为，则函数关于对称， 对两边求导，得，即， 令，得，所以，选项B正确， 在C选项中，因为， 令，得，所以，即为偶函数， 由和偶函数可得，， 所以是周期为6的函数， 令，得，所以， 由于周期为6，，所以，所以选项C正确， 在D选项中，由于为偶函数，故，求导可得，故，故为奇函数，因此又，故，在中，令,则，不满足要求，所以选项D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在等比数列中，，，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求解即可. 【详解】因为，，且是，的等比中项， 所以， 又因为与，同号， 所以. 故答案为：6. 13. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为2和，以它的斜边所在直线为旋转轴旋转一周形成的封闭空间几何体的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直角三角形斜边上的高，作出图形，根据圆锥体积公式计算可得. 【详解】在中，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则，即， 则该空间几何体的体积为. 故答案为： 14. 在中，若，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】将角化边求出，将角化边后代入的值，可得，结合条件和正弦定理可得. 【详解】由可得，即， 解得或. 由可得，整理得, 两边同时除以得， 若，则，解得； 若，则，此时无实数解. 由可得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分；请考生根据要求作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用和的关系求解即可； （2）利用分组求和法，结合已知和等比数列求和公式计算可得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 因为不满足上式，所以. 【小问2详解】 因为，所以 ， 所以. 16. 为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，现从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表： 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 女生 54 合计 已知在这200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45. （1）判断是否有95%的把握认为喜欢跑步与性别有关？ （2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取5名学生，再在这5人中随机抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.150 0.100 0.050 0.010 k 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有 （2） 0 1 2 期望 【解析】 【分析】（1）根据卡方计算公式求解卡方，即可与临界值比较求解； （2）根据分层抽样比求解抽取人数，即可利用超几何分布的概率公式求解概率，进而即得. 【小问1详解】 由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到不喜欢跑步的概率为0.45， 故不喜欢跑步的人有（人），喜欢跑步的人有（人）． 喜欢跑步 不喜欢跑步 合计 男生 64 36 100 女生 46 54 100 合计 110 90 200 ∴，，，， 故有95%把握认为喜欢跑步与性别有关． 【小问2详解】 按分层抽样，设女生名，男生名，，解得，， ∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生3名，男生2名，故可取. ，，， 故X的分布为： 0 1 2 ∴ 17. 三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AP，AB，AC上的点，，是等边三角形 （1）若，求证：； （2）若二面角P-AC-B为90°，且，求AC与平面PAB所成角的正弦值. 【答案】（1）证明: 因为，所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 又因为,所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 又因为, 所以平面平面, 平面平面,平面平面, 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明面面平行，再由面面平行得出线线平行； （2）由题建立空间直角坐标系计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由二面角P-AC-B为90°，可知 平面垂直于平面， 取中点，连接， 因为是等边三角形，所以 所以且平面. 以 为原点，分别为轴建立坐标系, 所以, 所以 设平面的法向量为，则 ， 令 ，得 ，，故 ， 设与平面所成角为 ， ， 又因为， 所以. 18. 已知椭圆，点在椭圆上，上顶点为. （1）求的方程； （2）设P是直线上一点，点M满足.若经过点M，求点P的坐标； （3）过的右焦点F作不垂直于x轴且斜率不为0的直线l，交于N、Q两点，线段NQ的垂直平分线交x轴于点T，求（O为坐标原点）的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出即可得解. （2）设，由得即，将点P代入直线上得到P的轨迹，再联立椭圆方程即可分析求解. （3）联立直线与椭圆方程，由韦达定理和弦长公式以及中点坐标公式依次求出和线段的中点，由线段的垂直平分线方程求出得到即可计算求解（O为坐标原点）的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得， 所以椭圆； 【小问2详解】 设，则， 因为，所以，即， 又点P在直线上，所以即，即点M在直线上， 联立或， 所以或，即或； 【小问3详解】 由（1）得，所以由题意可设， 联立， 设，则， 所以， ， 线段中点坐标为， 所以线段NQ的垂直平分线方程为， 令，所以， 所以. 19. 对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点，已知函数其中a，. （1）当时， （i）求的极值点； （ii）若存在既是的极值点，又是的不动点，求b的值； （2）若关于的不等式的解集为，且中有且仅有一个整数，求实数a的取值范围. 【答案】（1）（i）当时，没有极值点；当时，的极大值点为，极小值点为.（ii）. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数，以及对进行分类讨论来求得的极值点. （ii）结合极值点、不动点的知识来列方程组，从而求得的值. （2）参变分离，记，利用导数研究函数单调性，作出草图，结合图象可解. 【小问1详解】 （i）当时，，. 当时，恒成立，在上递增，没有极值点. 当时，令解得， 则在区间单调递增； 在区间单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. （ii）若是的极值点，又是的不动点， 则，即， 即，代入得 ， ，， ，， ，所以，则. 【小问2详解】 因为，所以， 记，则， 由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且， 所以的图象如图所示： 由图可知，要使有唯一整数解，则， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $