广东省广州市番禺区2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

2025学年第一学期九年级数学科期末测试题 【注意事项】 1.本试卷共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟.考生应将答案 全部（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效； 2.答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等（涂)写在答题卡上； 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列数学符号是中心对称图形的是（必） A. B.X C. D.士 2.若关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值 为（※）. A.1 B.2 C.3 D.4 3.将抛物线y=x向下平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式是（※). A.y=(x-22 B.y=(x+2 C.y=x2-2 D.y=x2+2 4.已知⊙0的半径为3，P为⊙0内一点，则OP的长度可能是（※）. A.2 B.3 C.4 D.5 5.用配方法解方程x2-6x-2=0时，通过配方后可得(x-m}=n的形式，则m的 值是（※)。 A.3 B.-3 C.6 D.-6 6.圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰兼隔断，既好看又 D 实用，还带着浓浓的中式韵味.如图1是一款圆形拱门屏风的 示意图，其中拱门最下端AB在地面上，C为AB的中点，D为 拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心O,若⊙O的半 径为1m,CD=1.8m,则AB的长度为(×). 图1 A.0.6m B.0.8m C.1m D.1.2m 九年级数学试题第1页共6页 7.数学课上李老师与学生们做“用频率估计概率”频率◆ 的试验：不透明袋子中有10个白球、6个红球 0.30 0.25 和4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋 0.20 子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率 0.15 0.10 如图2所示，则该球的颜色最有可能是（※） 0.05 4.白球 B.红球 01234567次数 （百次) C.黄球 D.黑球 图2 8.如图3，正六边形ABCDEF内接于⊙O,已知这个正六边形的边心距OM的长 为3，则⊙0的半径为（※). A.5 B.2V3 C.3 D.6 9.如图4，△ABC为等边三角形，点D是边AC上一点，连接BD,将△BCD绕点 B逆时针旋转60°，得到△BAE,连接ED.己知BD=7,△AED的周长是15， 则△ABC的边长是（※） A.4 B.7 C.8 D.10 10.如图5，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和 (-1,0)之间，顶点P为(1，n).下列结论：①abc<0;②2a+b=0;③3b>2c: ④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形，则 3 n=-. 其中正确结论的序号是（必）· a A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④ E YA Mh B 图3 图4 图5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11.在平面直角坐标系中，点A(3,-4)关于原点的对称点的坐标是※ h在尔出小西体n而计6而 12.若事件A为必然事件，则事件A发生的概率P(①)=※ 13.已知x=3是一元二次方程x2-mx+15=0的一个根，则该 方程的另一个根为x=※， 14.如图6，四边形ABCD内接于⊙O,BC为⊙0的直径， AB=AD,延长BA,CD交于点E.若∠EAD=40°，则 ∠B的度数为※ 图6 15.在2025年第十五届全运会10米跳台比赛中，某运动员从起跳到入水的运动轨 迹可以近似看作是抛物线的一部分.如图7所示，跳台宽度为3m,水池边与 跳台支柱之间的宽度为lm(见图中标注).该运动员的起跳点A距离水面10m, 运动过程中的最高点B距离水面11.25m,此时与点A的水平距离为0.5m.根 据上述信息，可估计入水点C与池边的水平距离为※m. 16.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程x2+ax=b2(a>0,b>0)的 图解法是：如图8，作Rt△ABC,其中∠ACB-90°，BC=8，AC=b,在斜边上截 取BD=4,则AD的长就是所求方程的正根根据上述图解法作出关于x的一元二次 程r+=三16a>0啊图解，若机则a的值为※ 跳台A -3m 跳 支 Im C水面 闺 池边 图7 图8 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 17.（本小题满分4分)解方程：x2-2x-3=0. 九年级数学试题第3页共6页 18.(本小题满分6分)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)补全表格，并画出二次函数的图象； (2)观察该图象，直接回答以下问题： -3-2 10 ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围； ②当y<0时，写出x的取值范围 19.(本小题满分6分)如图9，PA,PB是⊙O 的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径， ∠BAC=25°求∠P的度数， B 图9 20.（本小题满分6分)如图10，在平面直角坐标系 xOy中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的顶点都在格点上 (1)作出△ABC关于原点对称的图形△AB,C; (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到 -2 10 △AB2C,画出△A2B2C,并求旋转过程 =1 中线段AC扫过的面积， =3 图10 21.(本小题满分8分)某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活 动，每个盲盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、 书画、玉器，且每种类型出现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒. (1)小华抽到“青铜器”的概率是 (2)求小华和小明抽到同一种纪念品的概率， 九年级数学试题第4页共6页 22.（本小题满分8分)如图11，某社区计划 20m 将一块长为20m、宽10m的矩形空地改 造成居民共享菜园，为方便居民照料和采 摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道 10m (图中阴影部分)，已知步道将菜园分成 9个面积均为16m2的矩形种植区，请求 图11 出步道的宽度： 23.（本小题满分10分)如图12，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径， 点D是半圆的中点.过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E,连接AD,CD, 设CD与AB交于点P. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)求证：∠ADC=∠E; B ③)若4。上乙4AC1,求A,E两点间的距离 图12 SACDE 24.（本小题满分12分)已知抛物线的解析式为y=ax2-4ax-5a,该抛物线与x 轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,其顶点为D. (1)若点C的坐标为(0,5)，请解决以下问题： ①求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ②过点B的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点E,求△BDE的面积. (2)已知M1,4),N(6,4),若该抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象， 求a的取值范围， 九年级数学试题第5页共6页 25.（本小题满分12分)在等腰△ABC中，AB=AC,点D为底边BC上一点（不 与端点B,C重合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE, 旋转角为∠a,连接DE. (1)如图13，若∠a=∠BAC=90°，BD<CD,连接CE,试探究以下问题： ①求∠ACE的度数； ②过点D作DF⊥BC,DF交CA的延长线于点F,连接BF点M是DE 的中点，点N是BF的中点，连接CM,MN.请用等式表示线段CM与 MN的数量关系，并证明. (2)如图14，若∠BAC=120°，∠a=60°，AB=4,连接BE,CE.当CE 取得最小值时，在直线AB上取一点P(不与点A重合)，连接PE,△APE 关于直线PE的轴对称图形为△QPE,连接BQ,求线段BQ的最大值. R A N E D B M B E 图13 图14 九年级数学试题第6页共6页九年级数学试题评分参考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1 5 6 7 8 9 10 B D C A A D C B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。） 11.(-3,4): 12.1: 13. 14.70° 15. 4 16. 6 【评分说明】11题非坐标形式不得分；12题填1或100%均可得满分：14题无单位“。”不扣 分 三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.(本小题满分4分)解方程：x2-2x-3=0. 解：移项，得x2-2x=3, 配方，得(x-1)2=4, 2分 开平方，得x-1=2或x-1=-2, 解得 x1=3或c2=-1. …2分 18.(本小题满分6分)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)补全表格，并画出二次函数的图象： (2)观察该图象，直接回答以下问题： ①当y随x的增大而减小时，写出x的取值范围： ②当y<0时，写出c的取值范围 解：(1)补全表格如下： 0 1 2 3 4 y 0 -1 0 3 函数图象如图所示： 2 -43-2-10 12545 …4分 【评分说明】开口方向正确得1分，顶点正确得1分，列表及图象全部正确得4分 1 (2)①x≤2.（或x<2) 5分 ②1<x<3. 6分 19.(本小题满分6分)如图9，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直 径，∠BAC=25°.求∠P的度数 0 B 图9 解：，PA与⊙O相切，AC为⊙O直径， 1分 ∴.CA⊥AP,即∠CAP=90° 2分 .∠CAB=25°， ∴.∠BAP=∠CAP-∠CAB=65°， 3分 PA,PB与⊙O相切，A,B为切点， ∴.PA=PB. 4分 ∴.∠ABP=∠BAP-65, 5分 .∠P=180°-∠ABP-∠BAP=50°.6分 20.如图10，在平面直角坐标系xOy中，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都在 格点上. (1)作出△ABC关于原点对称的图形△A,BC; (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△A2B2C,画出△A2B2C,并求旋转过程中线段 AC扫过的面积. y 6 5 B 2 1 -4-3-2个0 23 4 B2 B 3 解：(1)如图，△M1B1C1即为所求.2分 ·2· 【评分说明】正确作出三角形、正确标出顶点即可得满分；每找错一个顶点倒扣1分，小题 分扣完为止：顶点字母标记错误倒扣1分 （2)如图，△12B,C即为所求。4分 .AC=√12+22=√5， .5分 六4C扫过的面积为90x×(5一互 π .6分 360 4 【评分说明】正确作出三角形、正确标出顶点即可得满分；每找错一个顶点倒扣1分，小题 分扣完为止；顶点字母标记错误倒扣1分 21.(本小题满分8分)某博物馆为增强参观趣味性，推出了“文物盲盒”抽奖活动，每个盲 盒中装有一件仿制文物纪念品，共有四种类型：青铜器、陶瓷、书画、玉器，且每种类型出 现的可能性相等，小华和小明各购买了一个盲盒 (1)小华抽到“青铜器”的概率是 (2)求小华和小明抽到同一种纪念品的概率 解：D) 2分 (2)记青铜器、陶瓷、书画、玉器为A、B、C、D, 则根据题意列树状图如下： 小华 小明A B C DA B C D A B C DA B C D .4分 .共有16种等可能的结果， .5分 其中小华和小明抽到同一种纪念品的情况有4种， 6分 分别为（A,A),(B,B),(C,C),(D,D) .7分 P(轴到同一种纪念品)=是=士 8分 22.(本小题满分8分)如图11，某社区计划将一块长为20m、宽10m的矩形空地改造成居 民共享菜园，为方便居民照料和采摘，需要在菜园内部修建宽度相同的步道（图中阴影部分）】 己知步道将菜园分成9个面积均为l6m2的矩形种植区，请求出步道的宽度. 解：设步道宽为xm,由题意得 1分 (20-4x)(10-4x)=9×16. 3分 整理得2x2-15x+7=0. 解得x10.5,x2=7. 5分 .·20-4x>0且10-4x>0且x>0, ∴.0<x<2.5, 6分 .x=0.5. 7分 答：步道宽为0.5m. 8分 …3 23.(本小题满分10分)如图12，己知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D是 半圆的中点.过点D作DE∥AB,交CB的延长线于点E,连接AD,CD,设CD与AB交于点 P (1)求证：DE是⊙O的切线： (2)求证：∠ADC=∠E; (3)若4m SACDE 号4C1,求4，E丙点间的距离 解：（1)证明：如图，连接OD B E D为半圆的中点， .AD =BD 图12 ∴∠AOD-∠BOD=号∠AOB=90 1分 DE/AB, ∴.∠ODE=∠AOD=90. 2分 .OD⊥DE,OD为半径， .DE是⊙O切线： 3分 (2)证明：：AC=AC ∴.∠ADC-∠ABC 4分 .AB//DE, ∴.∠ABC=∠E. ..5分 .∠ADC=∠E .6分 (3)解：：AD=BD ∴.∠ACD=∠DCE. …7分 如图，作DF⊥CE于点F,DG⊥CA于点G. ∴.DF=DG SCACDG,SC DF, :g2= AC-DG SACDE CE-DF …8分 ,AC=1, 0 ,AB为直径， .∴.∠ACE=90° 9分 在R1CE中，AE-A+C®=VP+= 2 10分 …4… 24.（本小题满分12分)已知抛物线的解析式为y=ax2-4ac-5a,该抛物线与x轴交于A, B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C,其顶点为D. (1)若点C的坐标为(0,5)，请解决以下问题： ①求抛物线的解析式及顶点D的坐标： ②过点B的直线y=x+b与抛物线的另一个交点为点E,求△BDE的面积 (2)已知M(1,4),N(6,4),若该抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象，求a的取值范 围 解：(1)①当x=0时，y=-5a. 将C(0,5)代入得-5a=5,解得u=-1. 1分 ∴.y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9. .D为(2,9). 2分 ②当ax2-4x-5=0时，x2-4x-5=0. 解得x=-1,x2=5. .点A在点B左侧， ∴.A为(-1,0)，B为(5,0). 4分 将B(5,0)代入得5+b-0. .b=-5. .y=x-5. 当-x2+4x+5=x-5时， 解得x1=-2,x2=5. 当=-2时，y=-2-5=-7 .E为(-2，-7) 5分 过点D作DGy轴交直线BE于点G 当x-2时，y=2-5=-3. .G为(2，-3) DGD-=9-（-3)=12, Same-Sa0+Sa6=号DG.g=号×12x7-27分 (2)①若a0, .抛物线与x轴交于A(-1,0),B(5,0), 且抛物线与线段N只有一个交点， .当=6时y≥4. .36a-24a-5a≥4. a≥4 71 9分 ②若a<0,分情况讨论如下： 若顶点D在线段N上，则当=2时y=4: ..4a-8a-5a=4. a=-4 9 10分 若顶点D在线段N上方，则 .5 .抛物线与x轴交于A(-1,0),B(5,0), 且抛物线与线段MN只有一个交点， ∴.当x=1时y>4. ∴.a-4a-5a>4. asg 12分 综上，a的取值范闲为a≥号或a=专或a<号 25.(本小题满分12分)在等腰△ABC中，AB=AC,点D为底边BC上一点（不与端点 B,C重合)，连接AD.将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE,旋转角为∠α，连 接DE. (1)如图13，若∠α=∠BAC=90°，BD<CD,连接CE,试探究以下问题： ①求∠ACE的度数： ②过点D作DF⊥BC,DF交CA的延长线于点F,连接BF点M是DE的中点， 点N是BF的中点，连接CM,MN.请用等式表示线段CM与MN的数量关系， 并证明. (2)如图14，若∠BAC=120°，∠a=60°，AB=4,连接BB,CE.当CE取得最小值 时，在直线AB上取一点P(不与点A重合)，连接PE,△APE关于直线PE的轴对 称图形为△QPE,连接BQ,求线段BQ的最大值. F E D B M B D 图13 图14 解： (1)①，AB=AC,∠BAC=90°， '.∠ABC=∠ACB=45° ,∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE. 1分 .'在△ABD和△ACE中 AB-AC {∠BAD=∠CAE AD-AE .△ABD≌△ACE(SAS) 2分 ∴.∠ACE=∠ABD=45° 3分 .6 ②N=√2CM,理由如下： 如图，连接DN. .FD⊥BC,∠FCD-45°， ∴.∠DFC=180°-∠FDC-∠FCD=45°. ∴.DF=DC .∠DCE=∠DCF+∠ACE=90°， ,∴.∠DCE=∠BDF 又.BD=EC,FD=CD, ∴.△FBD≌△DEC(SAS). 4分 .∠BFD-∠CDE,BF=DE. .在Rt△DCE中，M为DE的中点， ·CM=DM=LDE. ,在Rt△BDF中，N为BF的中点， 'DN-BN-BF. .'DM=DN-CM. 5分 .∠NBD=∠NDB, ∴.∠NDB+∠EDC=∠FBD+∠BFD=90° .∠NDM=90° 6分 ∴.△NDM为等腰直角三角形 .∴.MM=√ND2+DMP=√2DM. .DM=CM, ∴.☑M=√2CM. 7分 【评卷说明】结论正确即可得1分. B<D (2)如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AF,连接EF .∠BAF=∠DAE, ∴.△ABD≌△AFE(SAS) .'AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠ABC=∠ACB=30° ∴.∠AFE=∠ABC=30° .7: 点E在射线FE上运动. 8分 当CE⊥EF时，此时CE取得最小值 记射线FE与线段AC的交点为E ,∠AC-60°，∠AFE-30°， ∴.∠AE'F-180°-（∠FAC+∠AFE)=90° .当点E运动到E处，CE取得最小值. 9分 .FA=BA=AC,∠1C-=60°， ∴.△AC为等边三角形 .FE⊥AC, ·AE=C=号AC=2. .'△APE与△QPE关于直线PE对称， .'.OE'=AE=2. .点2在以为圆心，2为半径的圆上运动.10分 .BQ≤BE+2 作EG⊥BA交BA延长线于点G .在Rt△AE'G中，∠GAE=60°， ∴.∠AE'G=90°-∠GAE=30°. ·AG号AE=1 ∴.EG=√AE2-AG2=√3. .'BG=AB+AG=5, ∴.EB=√BG2+EG=2W7. 11分 .BQ≤BE+2, .当且仅当B,E,Q三点共线时，BQ取得最大值为2√7+2. 12分