精品解析：陕西省榆林市府谷中学2025-2026学年高一上学期1月期末检测数学试题

府谷中学2025~2026学年第一学期高一年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合，根据补集的概念可得结果. 【详解】∵全集，∴. 故选：A. 2. 计算的值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C． 3. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【详解】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 4. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断. 【详解】当，时，，故A错误； 当时，，故B错误； ∵，，显然不能得到， 例如当，时，，故C错误； 若，，则，故D正确. 故选：D. 5. 函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 6. 我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将扇形面积公式代入面度数定义式，可得角，进而利用诱导公式求出余弦值. 【详解】设角所在的扇形的半径为，则扇形面积， 由题意，面度数为，所以， 所以. 故选：C. 7 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数在上是减函数求得，再根据函数在上单调递减求得，最后根据分段函数单调性法则可得，即可得解. 【详解】当时，， 因为函数是上减函数，所以函数在上是减函数， 所以，即；当时，，对称轴为， 因为函数在上单调递减，所以，即； 因为函数是上的减函数，所以，解得. 综上，故实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数， 且幂函数在上是减函数，故A正确； B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数， 且，则其在上单调递减，故B正确； C选项中，设，其定义域为，则， 故是偶函数，且函数在上单调递减, 函数在定义域上为增函数， 所以在 上单调递减,故C正确； D选项中，设，是， 且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误. 故选：ABC. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得到的函数为偶函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换规律求出变换后的解析式，再根据偶函数性质求出可得答案. 【详解】 ， 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象， 因为该函数为偶函数，所以，所以. 当时，；当时，， 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 无最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断A；根据对数函数的单调性比大小即可判断B；根据偶函数的性质，结合基本不等式计算即可判断CD. 【详解】因为的定义域为， 又， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，故A正确； 因为， 又，所以，故B错误； 因为是偶函数，所以的最大值即为在上的最大值． 当时，， 当且仅当时等号成立，所以，故C正确，D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入函数求解，进而可得解. 【详解】幂函数的图像经过点， ，解得 则 故答案为：4. 13. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果. 【详解】令，所以， 即函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知，若，则的最小值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指对互化及在上单调递增得，从而，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，且，所以， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时取得等号. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案； （2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， ． （2）． 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦、余弦函数的二倍角公式，正弦的和角公式，属于基础题. 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； （2）求函数在上的最值及其对应的的值． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为，减区间为； （2）时，最小值为，时，最大值为7． 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的图象与性质，准确计算，即可求解； （2）由，得到，结合正弦函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数最小正周期， 令，解得，所以对称中心为， 再令，解得， 所以函数减区间为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 所以当，即时，函数有最小值为， 当，即时，函数有最大值为7． 17 已知，，且. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【小问1详解】 ，，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； 【小问2详解】 ，所以，且，， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 18. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析，函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为： （3）0 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，，可得的值，再根据，可求的值，即可明确函数的解析式. （2）利用单调性的定义证明函数在区间和上的单调性，再结合函数的奇偶性，判断函数在，上的单调性. （3）先研究函数性质，得到，再结合函数奇偶性得到，进而可求所给式子的值. 【小问1详解】 因为函数是偶函数， 所以，即，所以，即， 又因为，所以， 所以. 【小问2详解】 任取，， 则有， 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 若，则有，则，，，， 所以，即，所以函数在上单调递增； 又因为函数是偶函数，所以函数在对称区间单调性相反，所以函数在和上均单调递减. 故函数的单调递减区间为：，；单调递增区间为：，. 【小问3详解】 因为，则，即， 又因为函数是偶函数，即，所以， 所以 . 19. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，求在区间上的最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【小问1详解】 由，得，解得. 【小问2详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025~2026学年第一学期高一年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算的值（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，，则 5. 函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 6. 我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得到的函数为偶函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于y轴对称 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为 D. 无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像经过点，则_________． 13. 函数的定义域为__________. 14. 已知，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间； （2）求函数在上的最值及其对应的的值． 17. 已知，，且. （1）求最大值； （2）求的最小值. 18. 函数是偶函数，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明函数在上单调递增，并求函数的单调区间； （3）求的值. 19. 已知函数. （1）若，求值； （2）若，求在区间上最大值； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $