精品解析：上海市实验学校东滩高级中学2026届高三上学期9月摸底测试数学试题

2025上海市崇明区实验学校东滩高级中学高三数学9月摸底测试 （满分100分，时间60分钟） 一、填空题 1. 求值：__________． 2. 方程的解集为__________． 3. 已知的最小正周期为，则__________． 4. 函数的单调增区间是______. 5. 方程的实根的个数为__________个． 6. 若直线是函数的一条对称轴，则__________． 7. ，则实数的取值范围为__________． 8. 函数，的值域是_____． 9. 函数，的反函数为__________． 10. 若，则的最大值是 . 11. 将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 12. 已知是周期为2的函数，当时，，则的解集是______________. 四、选择题 13. 使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 15. 、为第一象限的角，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 五、解答题： 17. 解方程. 18. 求函数的定义域与值域. 19. 关于的方程在上有实数解，求的取值范围. 20. 已知函数在一个周期的闭区间上的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求这个函数的对称中心和对称轴； （3）若是偶函数，求的一个可能取值． 21. 已知函数，． （1）求的最大值和最小值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 22. 已知函数，． （1）设是函数图象的一条对称轴，求的值． （2）求函数的单调递增区间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025上海市崇明区实验学校东滩高级中学高三数学9月摸底测试 （满分100分，时间60分钟） 一、填空题 1. 求值：__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，及两角差的正弦公式求解． 【详解】，， 则， 故答案为： 2. 方程的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、化简得到正弦函数的表达式，再结合给定区间求解的值. 【详解】由，化简得， 根据正弦函数的性质，时，（）或（），即（）或（）， 因为， 所以，当时，或； 当时，或； 当时，（超出范围，舍去），同理时也超出范围，故舍去. 故答案为：. 3. 已知的最小正周期为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用二倍角正弦公式化简函数表达式，再根据正弦函数的周期公式求解的值. 【详解】依题意得， 已知最小正周期， 代入周期公式得：，解得. 故答案为：. 4. 函数的单调增区间是______. 【答案】， 【解析】 【分析】根据三角函数的性质可得解. 【详解】由， 令，， 解得，， 即函数的单调递增区间为，， 故答案为：，. 5. 方程的实根的个数为__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】画出函数的图象，特别要注意过点与的最大值为1，结合图象易知答案. 【详解】的值域为；的定义域为，且当时，； 因此，只需在范围内寻找交点，再观察图象可得3个交点. 故答案为：3. 6. 若直线是函数的一条对称轴，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正余弦型函数图象在对称轴上取得最值可得结果. 【详解】因为， 所以的最大值为，最小值为. 又直线是函数的一条对称轴， 所以在时取得最值，即. 故答案为：. 7. ，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由反余弦函数的定义域及单调性进行求解． 【详解】依题意得，，得， 得， 故实数的取值范围为： 故答案为： 8. 函数，的值域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据的范围求出的范围，从而求出值域． 【详解】当时，， 由于反余弦函数是定义域上的减函数， 且 所以值域为 故答案为． 【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域．属于基础题． 9. 函数，的反函数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反函数定义求解. 【详解】因为，所以，， 因为，，令， 则，所以，即， 解得，将互换，得到反函数，， 故答案为：. 10. 若，则的最大值是 . 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 根据面积公式，得， 所以； 根据余弦定理，得， 代入上式，得 ， 所以当时，的最大值为8，即时，的最大值为， 此时，，，满足条件， 所以的最大值为. 11. 将的图像向右平移__________个单位可得到的图像（只需填出符合条件的一个值）. 【答案】（答案不唯一，符合表达式即可） 【解析】 【分析】根据平移规则并利用正切函数周期性求解即可. 【详解】设的图像向右平移个单位得到的图像， 则， 由于正切函数的周期是，所以， 可得， 取，可得. 故答案为：（答案不唯一，符合表达式即可） 12. 已知是周期为2的函数，当时，，则的解集是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由于的周期为，而是周期为2的函数，当时，，说明真正的表达式应该是，再根据函数图像求解即可 【详解】由题可先画出在的一个完整图像，如图 由题意可知，是周期为2的函数，当时，，说明的图像若要满足题意，需将所有为负值部分图像向上翻折，即，再画出图像，如图： 由，我们以轴为对称轴时，则可得，即，而的周期为，故符合题意的取值的集合为 故答案为 【点睛】本题考查由周期性求三角函数解析式，周期函数具体值的求法，解题关键在于能理解绝对值在函数表达式中的几何意义，属于中档题 四、选择题 13. 使成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用反正弦函数的定义域求解得出. 【详解】令，则有意义的条件是， 解得， 验证：当时，恒成立 故答案选：B 14. 下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项中函数的奇偶性与在上的单调性即可. 【详解】对于A，，是奇函数，在上单调递减，在上单调递增，不符合题意； 对于B，，是偶函数，在上单调递减，不符合题意； 对于C，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数， 当时，，所以在上单调递增，符合题意； 对于D，令，则，即， 所以定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，当时，， 所以在上单调递减，不符合题意. 故选：C. 15. 、为第一象限的角，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的性质以及充要条件的定义即可判断选项. 【详解】验证充分性：取，，则，但，此时， 故不能推出，充分性不成立； 验证必要性：取，则，满足，但； 故不能推出，必要性不成立. 故选：D. 16. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】根据反三角函数定义域先确定函数定义域，结合二倍角公式化简函数从而求单调性. 【详解】函数定义域为， 且 ， 所以函数单调递增区间是. 故选：C 五、解答题： 17. 解方程. 【答案】 【解析】 【分析】求解一元二次方程得，再根据正弦函数性质和反三角函数求解. 【详解】方程， 即， 所以或（舍）， 所以， . 故答案为： 18. 求函数的定义域与值域. 【答案】定义域：R ，值域为： 【解析】 【分析】根据反正切函数的性质即可求解定义域，结合二次函数的性质，即可求解值域. 【详解】由于， 故，定义域为R， 令，且， ，故值域为. 19. 关于的方程在上有实数解，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式可得进而根据三角函数的范围求解最值即可得解. 【详解】其中为锐角，且 于是， 由于，故，故，因此的最大值为1，的最小值为 故， . 20. 已知函数在一个周期的闭区间上的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求这个函数的对称中心和对称轴； （3）若是偶函数，求的一个可能取值． 【答案】（1） （2）对称中心；对称轴： （3）（答案不唯一，满足即可）. 【解析】 【分析】（1）根据图象确定，得到解析式； （2）整体代换求解对称中心和对称轴； （3）根据诱导公式列方程求解. 【小问1详解】 由图，， 又，解得，所以， 因为过点，所以，即， 所以，解得，又，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得；由，得， 所以的对称中心；对称轴：； 【小问3详解】 ， 若是偶函数，则，解得. 所以的一个可能取值为. 21. 已知函数，． （1）求的最大值和最小值； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）． 又，，即， ． （2），， 且， ，即的取值范围是． 22. 已知函数，． （1）设是函数图象的一条对称轴，求的值． （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1）或,（2）（）． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用倍角公式把函数解析式化为，再由对称轴的计算方法得，即（）．所以．最后分为奇数或偶数两种情况求出的值为或． （Ⅱ）先求出，再由，得函数的单调递增区间为（） 试题解析：（I）由题设知． 因为是函数图象的一条对称轴，所以， 即（）．所以． 当为偶数时，， 当为奇数时，． （II） ． 当，即（）时， 函数是增函数， 故函数的单调递增区间是（）． 考点�：辅助角公式的应用�对称轴的求法�求三角函数单调性区间 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $