精品解析：四川省什邡中学2025-2026学年九年级上学期数学期末试题

2025年秋季九年级数学期末试卷 注意： 1、请将试题答案全部完成在答题卷上，交卷时只交答题卷． 2、请将学校、班级、姓名、考号准确填写在答题卷的密封线相应位置上． （满分150分，120分钟完卷） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 4. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 9. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 10. 如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若正六边形的边长是1，则它的半径是________． 14. 若点与点关于原点对称，则___________． 15. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 16. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________． 17. 若m，n是两个不相等的实数，，，则代数式的值为___． 18. 如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是____________． 三、解答题（本题共7个小题，共90分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 （1）填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 22. 招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式； （3）当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 24. 如图，是的内接三角形，，．点在的延长线上，交于点，交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级数学期末试卷 注意： 1、请将试题答案全部完成在答题卷上，交卷时只交答题卷． 2、请将学校、班级、姓名、考号准确填写在答题卷的密封线相应位置上． （满分150分，120分钟完卷） 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 数学推理与运算离不开数学符号的规范使用，下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，解题的关键是掌握两种图形的判定方法（轴对称图形沿直线折叠后重合，中心对称图形绕中心旋转后重合）． 分别判断各选项图形是否同时满足轴对称和中心对称的判定条件． 【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； 故选：D． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 有最小值4 D. 顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数图象与各系数之间的关系，结合二次函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：在中，， 图象开口向下，故选项A错误； 二次函数的图象关于直线对称，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B正确； ∴当时，有最大值4，故选项C错误； ∵二次函数 ∴顶点坐标是，故选项D错误； 故选：B． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则度数是（　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握好旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质可得，，根据推断出，利用等腰三角形的性质计算出即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案． 【详解】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是： 故选：B． 6. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题中已知是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．此题考查了相似三角形的判定：有两个对应角相等的三角形相似；有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【详解】解：A、不能判定，符合题意； B、能判定，利用两边成比例夹角相等，不符合题意； C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似，不符合题意； D、能判定，两角对应相等的两个三角形相似，不符合题意． 故选：A． 7. 的半径为3，点在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆的关系解答. 【详解】∵点在外，的半径为3， ∴点到圆心的距离为>3， 故选：A. 【点睛】此题考查点与圆的位置关系：点与圆心的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内． 8. 如果四个点，，和在反比例函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征，结合非负性确定，是比较大小关系的关键． 通过点的纵坐标，确定反比例函数常数，再根据反比例函数的性质计算并比较，，的大小即可． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴． 对于点：， 对于点：， 对于点：． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为A． 9. 伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“标杆原理”的意义和价值．“标杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“标杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图像如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要（　　）m． A. 2 B. 1 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据杠杆的平衡条件列出方程，即可解得答案． 【详解】根据杠杆的平衡条件可得： ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握杠杆的平衡条件． 10. 如图，在中，弦垂直平分半径，点C是圆上的一点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，连接、，由垂直平分线的性质得，，再证、都是等边三角形，得出，求出，然后由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵弦垂直平分半径， ∴，， ∵， ∴， ∴、都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11. 黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：(舍去)， ， 故选：D． 12. 如图是抛物线的部分图像，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③抛物线另一个交点在到之间；④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当时，，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，即抛物线的对称轴为， ∴， ∴，故结论①错误； ②当时，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ③∵抛物线的顶点坐标为，即对称轴为， 又∵该抛物线与轴的一个交点在点和之间， ∴抛物线另一个交点在到之间，故结论③正确； ④将抛物线图像向下平移个单位后图像过原点， 即可得抛物线的图像， 画出直线，如下图， 根据图像可知，当时，， 即，故结论④正确； ⑤一元二次方程， 则 根据图像可知：， ∴， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故结论⑤正确． 综上所述，结论正确的有②③④⑤，共计4个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数间的关系，二次函数与不等式的关系，抛物线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 若正六边形的边长是1，则它的半径是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正六边形的边长等于正六边形的半径，即可求解． 【详解】正6边形的中心角为360°÷6=60°． 那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形． ∴它的外接圆半径是1． 14. 若点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．根据关于原点对称的点的坐标关系，横坐标和纵坐标均互为相反数，可求出和的值，再代入计算代数式． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得， ∴， ∴． 故答案为： 15. 已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为8cm ，则它的侧面积为_______cm2. 【答案】40π 【解析】 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】圆锥侧面积S=2π×5×8÷2=40π（cm2） 故答案为40π. 【点睛】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 16. 如图，电路图上有三个开关，，，和两个小灯泡，，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键． 先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让灯泡发光的结果数为2， ∴能让灯泡发光的概率为：， 故答案为：． 17. 若m，n是两个不相等的实数，，，则代数式的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系. 根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 18. 如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，M为的中点，连接．若的半径为2，则长的最大值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【详解】解：如图，当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的， 因此交于点M，此时的值最大， 由题意得，，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7个小题，共90分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握直接开方法和因式分解法是解题关键； （1）利用直接开方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ，； 20. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=， ∴∠ABF=， 在△ABF与△ADE中，， ∴△ABF≌△ADE（SAS）， ∴AF=AE； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，△ABF≌△ADE， ∴∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=， ∴∠FAE=， ∴△AEF是等腰直角三角形， 在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2， ∴AE=2DE=4， ∴△AEF的面积=． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键． 21. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A．决策类人工智能、B．人工智能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图： 项目 选择人数 频率 A．决策类人工智能 B．人工智能机器人 C．语音类人工智能 D．视觉类人工智能 （1）填空：______，______；扇统计图中C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度数为______； （2）若该中学共有600名九年级学生，那么估计该中学选择“D（人工智能机器人）”专业意向的学生有______人； （3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学选了“C（语音类人工智能）”，从中选2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，求出这两位同学选的项目一样的概率． 【答案】（1）；； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数（率）分布表、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． （1）用表格中的人数除以频率可得调查的人数，用的人数除以调查的人数可得的值，用调查的人数乘以的频率可得的值，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． （2）根据用样本估计总体，用乘以的频率，即可得出答案． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及这两位同学选的项目一样的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为（人）， ∴，，C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角 故答案为：；； 【小问2详解】 （人） 故答案为：； 【小问3详解】 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中两位同学选的项目一样的结果有2种， ∴这两位同学选的项目一样的概率为． 22. 招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式； （3）当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是，得到，求出的值即可； （2）设每把扇子降价元，则每把扇子的利润为元，扇子销售量为把，根据：利润＝（售价-进价）×销售量，可求出商店利润关于的函数关系式； （3）由，即可解决问题． 【小问1详解】 解：设游客人数的平均日增长率为， 由题意得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 设每把扇子降价元， 根据题意得：， ∴商店利润关于的函数关系式为； 【小问3详解】 ∵， 又∵， ∴， ∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元， 此时商品定价为：（元）， ∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的应用，平方的非负性的应用．解题的关键是由题意列出关于平均日增长率的方程；商店利润关于的函数关系式． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， （1）求函数的表达式； （2）根据图象写出使一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）或者 （3） 【解析】 【分析】（1）先把代入得到，据反比例函数的图象过点利用待定系数法求出k即可； （2）根据（1）中求得出B点坐标，结合以及函数图像进而求得结论； （3）根据待定系数法求出一次函数解析式，得到直线与y轴的交点坐标，将分割为，求出即可． 【小问1详解】 解：A、B点是一次函数与反比例函数的交点， ∴A，B点在一次函数上， ∴当时，；当时， ∴，， 将A点坐标代入反比例函数，∴，即， 即反比例函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：一次函数值大于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∵、， ∴一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：或者． 【小问3详解】 解：设一次函数与x轴的交点为， ． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识，根据已知得出B点坐标以及得出是解题关键． 24. 如图，是的内接三角形，，．点在的延长线上，交于点，交于点，，连接． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，三角形内角和定理证明即可； （2）连接，是直径，根据勾股定理，等腰三角形的性质，利用解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，是直径， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的证明和勾股定理是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式； （2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【小问1详解】 解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上， ∴点的坐标为：， ∴ ∵， 当时，有最大值为：． 答：时，有最大值． 【小问3详解】 解：设． 当为边时，根据平行四边形的性质知，且， ∴的横坐标等于的横坐标． 又∵直线的解析式为，则． 由，得， 解得，，．（不合题意，舍去） 如图，当为对角线时，知与应该重合，． 四边形为平行四边形则，横坐标为4， 代入得出为． 由此可得或或或． 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $