第1部分 关键能力提升2 数学工具在力学问题中的应用-【金版教程】2026年高考物理大二轮专题复习冲刺方案全书word

　关键能力提升二　数学工具在力学问题中的应用

复习数学中的图像知识、二次函数知识、不等式知识、三角函数知识、数学归纳法与数列知识，并能在力学问题中灵活运用。

考点1　图解法在力学中的应用

有时用常规的物理方法不容易解题，但是可以画出物理过程的图像，结合图像可以比较容易和直观地得到启发，提高问题的分析效率和准确度。

例1　(2025·云南卷，6)如图所示，质量为m的滑块(视为质点)与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1>μ2。第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻力，则(　　)

A．t1<t2   B．t1>t2

C．x1>x2   D．x1<x2

[解析]　设MN段的长度为x0，滑块在除MN段外通过的位移为x′，则整个过程的位移为x＝x0＋x′，整个过程由动能定理得－μ1mgx0－μ2mgx′＝0－mv，由题意可知，滑块两次在MN段的位移x0相等，则两次在除MN段外通过的位移x′也一定相等，所以x1＝x2，C、D错误；由μmg＝ma可知，滑块在MN段的加速度大小为a1＝μ1g，在除MN段外的加速度大小为a2＝μ2g，因为μ1>μ2，则a1>a2，据此作出滑块第一次滑动的v­t图像如图中折线Ⅰ所示，由于第二次的释放点距离M较近，则滑块第二次到达M点的速度比第一次的大，根据v­t图像与t轴所围面积表示位移，可知两次滑块通过MN段时v­t图线与t轴所围梯形面积相等，由此可

作出滑块第二次滑动的v­t图像如图中折线Ⅱ所示，由图可直观地看出t1<t2，A正确，B错误。

[答案]　A

[跟进训练]　(2025·河北省保定市高三下一模)如图所示，轻弹簧上端固定在光滑斜面顶端，自由伸长时下端在B点(图中未画出)，下端连接某物体时物体恰能静止于斜面的A点。现对物体施加一个平行于斜面向上的力F，使物体沿斜面缓慢向上移动到B点，此过程中力F做功为W。则此过程中(　　)

A．物体机械能守恒

B．弹簧和物体组成的系统机械能守恒

C．力F的大小始终等于弹簧弹力的大小

D．弹簧弹性势能减小量等于W

答案：D

解析：物体沿斜面缓慢上升，动能不变，重力势能增大，物体的机械能增大，A错误；对于弹簧和物体组成的系统，因为有外力F做正功，系统机械能增大，B错误；设斜面倾角为θ，因为物体缓慢上升，始终处于受力平衡状态，因此有F＋F弹＝mgsinθ，设从A到B的距离为l，物体自A点开始运动的位移为x时，弹簧的拉力为F弹＝k(l－x)，则F与x的关系和F弹与x的关系分别如图中图线②和图线①所示，C错误；作用力与位移的图像中图线与x轴围成的面积即为对应力所做的功，由几何关系可知图线①与图线②在0～l间与横坐标围成的面积相等，因此二力做功相等，由功能关系可知，弹簧弹性势能减小量等于W，故D正确。

考点2　二次函数与不等式在力学中的应用

1．二次函数

表达式：y＝ax2＋bx＋c。

图像：抛物线。

常用规律：当x＝－时，有极值ym＝(若a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。

2．均值不等式

由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知

(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，其和最小；

(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，其积最大。

例2　如图所示为某游乐场一游戏设施，光滑半圆轨道半径R可调，玩家需将物块P(可视为质点)从A点滑上倾角为θ＝37°的传送带，并调整半径R以使通过D点后的落点距C尽可能远，传送带AB以vk＝6 m/s的速度顺时针匀速转动，AB长为1.8 m，BC长为14 m，AB与物块间的动摩擦因数为μ1＝0.5，BC与物块间的动摩擦因数为μ2＝0.1，物块在B点处没有机械能损失，平滑滑上BC。现物块P经过A点时的速度为vA＝10 m/s，重力加速度为g＝10 m/s2，求：

(1)物块在传送带上留下痕迹的长度；

(2)物块落点离C的最远距离xm；