精品解析：上海市青浦区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025学年第一学期九年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间100分钟，满分150分） 202601 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分） [每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列图形中一定相似的图形是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A、两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意； B、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； C、两个等腰梯形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2. 在 中 ， ， ．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义．直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ， ， ， ， ，故A错误，不符合题意； ，故B正确，符合题意； ；故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3. 已知实数及非零向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，根据向量模的性质，标量乘法后的模等于标量的绝对值乘以向量的模． 【详解】解：A、对于任意实数 和非零向量，有，故此选项正确，符合题意； B、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； C、选项中左边为向量，右边为标量，类型不匹配，故此选项错误，不符合题意； D、选项中当 时，，故不成立，故此选项错误，不符合题意． 故选：A． 4. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二次函数图象是抛物线，开口向上，通过分析当 时，可知图象不经过第三象限． 【详解】解： 二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线 ， 当时， 随 的增大而减小， 当 时， ， 当 时，，故所有的点均满足，故图象在第二象限，而不在第三象限， 该函数图象一定不经过第三象限． 故选：C． 5. 已知 是四边形 的对角线，，下列补充的条件中，不能判定 和 相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，关键掌握两角对应相等或两边对应成比例且夹角相等（ ）等判定方法．已知，结合各选项条件判断 与 是否相似． 【详解】解：∵， 选项A：∵，且，∴，故A能判定相似，不符合题意； 选项B：∵，且，∴，故B能判定相似，不符合题意； 选项C：∵，即，且，∴，故C能判定相似，不符合题意； 选项D：∵，即，但夹角 与不一定相等，故D不能判定相似，符合题意 ． 故选：D． 6. 学校在操场上举行庄严的升旗仪式，每个学生均站立在旗杆前方的水平地面上面向国旗行注目礼．已知国旗的初始位置距地面高度均大于或等于每个学生的身高．如果将看向国旗的视线与水平视线所形成的夹角定义为注视角，那么国旗从初始位置开始匀速上升至顶端的过程中，以下说法正确的是（ ） A. 每个学生的注视角大小不变 B. 每个学生的注视角逐渐减小 C. 每个学生的注视角逐渐增大 D. 同一时刻，相同身高学生的注视角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键注视角为视线与水平线的夹角，通过正切函数关系分析，国旗匀速上升时，高度增加导致正切值增大，从而注视角增大；选项D中，相同身高但水平距离不同时注视角不等. 【详解】设学生眼睛高度为h，水平距离为d，国旗初始高度，上升速度，时间t后国旗高度． ∵， 且， ，， 、、 、是定值， ∴随t增加而增加， ∴随t增加而增加， 又∵为锐角，的值随着的增大而增大， ∴逐渐增大， 故每个学生的注视角逐渐增大，故选项A、B说法错误，不符合题意，选项C说法正确，符合题意； 对于D，同一时刻相同，但d可能不同，即使h相同，也可能不等，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸每个小题相应位置的方框内] 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质．通过设参数将x和y用含同一参数的式子表示，再代入所求比例式化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， 则． 故答案为：． 8. 如果两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的相似比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据相似三角形的周长比等于相似比直接得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质，周长之比等于相似比， 周长之比为 ， 相似比为 ． 故答案为： ． 9. 在比例尺为的图纸上，一座建筑物的高是2厘米，它的实际高度是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例，正确掌握比例尺的定义是解题的关键． 设实际高度为x厘米，根据比例尺的定义“图上距离与实际距离的比等于比例尺”，列方程求解即可． 【详解】解：设实际高度为x厘米， 则，解得， 厘米米． 故答案为： ． 10. 抛物线与 轴的交点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令x=0，可求出抛物线与 轴的交点坐标． 【详解】解：当x=0时，y=0， ∴抛物线与 轴的交点坐标是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与 轴的交点坐标特征：与 轴的交点的横坐标为0，与x轴的交点的纵坐标为0． 11. 如果抛物线有最高点，那么实数 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质，抛物线有最高点时，开口向下，二次项系数小于零． 【详解】解：抛物线有最高点， 因此开口向下，二次项系数， 解得． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系 中，已知点、，则正弦值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点 作轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点 作轴于点C， ∵点、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知，，， ________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 14. 小海沿着坡度为的斜坡上行80米时，他的铅垂高度上升了________米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据坡度比垂直高度与水平距离的比为，利用勾股定理求解斜边与垂直高度的关系． 【详解】解：设铅垂高度上升了h米，则水平距离为米． 由勾股定理，得， 即， ， ， 解得． 故答案为∶40． 15. 等边三角形的周长为 ，面积为 ，则面积 关于周长 的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用等边三角形的性质得出AD的长，再利用三角形面积求法得出答案． 【详解】解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D． ∵等边三角形的周长为C，∴AB=BC=AC=，∴DC=BD=，∴AD==C，∴S=×C×=C2． 故答案为S=C2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形面积求法，正确表示出三角形的高是解题的关键． 16. 如图，正方形DEFG的顶点均在 的边上， ， ，BC边上的高的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是利用正方形的对边平行，得到，再根据相似三角形的高与对应边成比例列方程求解． 【详解】解：设 边上的高为． ∵正方形 的边， ∴． ∵， ，的高为， ∴，解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为： ． 17. 如图，点G是 的重心， ， ，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及重心的性质．延长 交 于点D，过点D作 于点E，根据重心的性质以及，可求出，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长 交 于点D，过点D作 于点E， ∵点G是 的重心， ， ∴， 在 中，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故答案为： 18. 如图，已知 中，，，．点M是 中点，点D在边 上，连接 ，将沿着直线 翻折，点B的对应点为点E．连接 ，如果，那么的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查翻折的性质，锐角三角函数的定义；过A点作，过点E作，利用锐角三角函数的定义可求出，，，平行线间的距离处处相等可得，然后分类讨论，可求出或，然后根据特殊角的三角函数值和翻折的性质即可求解． 【详解】解：过A点作， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 过点E作，当点E在A点左侧，如图所示： ∵点M是 中点， ∴， ∵将沿着直线 翻折，点B的对应点为点E， ∴，， ∵，，，即 、 为平行线间的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作，当点E在A点右侧，如图所示： 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 综上：或 ． 故答案为：或 ． 三、（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 已知抛物线． （1）写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； （2）将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）开口方向向上；对称轴为直线；当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大 （2）平移的距离为 【解析】 【分析】本题考查抛物线的图象性质和抛物线平移，关键是将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标，再结合平移的坐标变化计算距离． （1）先将抛物线解析式展开并转化为顶点式，根据二次项系数判断开口方向，根据顶点式确定对称轴，再结合开口方向分析函数的增减变化情况； （2）先确定原抛物线的顶点坐标，再计算原顶点与目标顶点的坐标差，利用勾股定理求出两点间的距离，即为平移的距离． 【小问1详解】 解：将抛物线展开得，转化为顶点式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上；对称轴为直线； ∵开口向上， ∴当时， 随 的增大而减小；当时， 随 的增大而增大； 【小问2详解】 解：由（1）知原抛物线的顶点 坐标为，目标顶点坐标为， 两点的横坐标差为，纵坐标差为， 根据勾股定理，平移的距离为． 21. 如图，在梯形 中， ，已知，点E是 的中点，连接交 于点G． （1）如果的面积等于5，求的面积； （2）设，，求向量关于向量、的分解式． 【答案】（1）45 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，向量的线性计算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，根据相似三角形的面积比等于相似比进行求解即可； （2）作，证明，推出，，证明四边形为平行四边形，得到，再根据三角形法则，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，点E是 的中点， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵的面积等于5， ∴的面积为； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 22. 某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 ，车位的三面围墙及墙 均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为 ，当前车门与车身夹角不小于 时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度 厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为 厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙 保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有 厘米的安全距离．(参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ．) 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位 区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； （2）已知车库门前有一条平行于 且与 距离 厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 【答案】（1） 如图，过前车门顶点向车身作垂线，垂足为点 ． 根据题意，车外后视镜完全打开时距离车身的距离为 ， ， ∵车外后视镜完全打开时与墙之间有 厘米的安全距离， ∴此时另一侧车身与墙 之间的距离为， 则车身与墙 之间的距离为 假设前车门 与车身的夹角 ， 在 中， ， ∴ ． ∵ ， ∴驾驶员能顺畅地从车中出来； （2） 考虑极限状态，如图，前车门顶点在墙 上，过点作 ，过点 作 ， 与交于点 ，容易得到 当前车门完全打开时与车身夹角为 ，即 ， 在 中， ， ， ∴ ， ． 由（1）， ，∴ 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 与人行道的距离为 厘米， ， ∴汽车不会占用到人行道． 【解析】 【分析】（1）先根据车身宽度与后视镜安全距离，算出车身与墙的可用间距，假设车门与车身夹角为临界值，求出车门横向伸出的距离，比较伸出距离与可用间距，判断能否顺畅下车即可； （2）考虑极限状态，假设前车门顶在墙 上，计算车门完全打开时的水平、垂直伸出长度，结合几何辅助线的线段关系，求出车头到 的总距离，与人行道距离比较，判断是否占用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用，从题干和图形中提取信息和画出正确的示意图是解决问题的关键． 23. 如图，在 中，点 在边 上， 、 的延长线交于点，连接 ，已知． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明， 结合已知的， 证明，得到 ，通过角的等量代换证明，根据平行线的性质得到，从而可证； （2）证明，得到，结合平行四边形的对应边相等，即，等量代换即可证明． 【小问1详解】 证明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）知，， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ． 24. 如图，平面直角坐标系 中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作 的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 【答案】（1） ， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，一般式化为顶点式，求出 点坐标； （2）①根据抛物线的解析式得到，进而得到点 在直线上移动，连接直线和抛物线的解析式，求出 的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点 在点 的下方时满足题意，即可得出结果； ②根据两条抛物线的 值相同，得到可以看作是，平移得到，根据，得到，结合平分推出，进而推出四边形为菱形，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 令，则， ∴点 在直线上运动， 令，解得， ∴直线与抛物线的交点为，即， 设点， ∵抛物线、的交点为点E，且在抛物线上，点E与点G之间的部分是上升的， ∴当点 在点 下方时，符合题意，即； ②∵，， ∴可以看作是平移得到， ∵ 为的顶点， 为的顶点， ∴ 是由 点平移得到， ∵， ∴点 是由点 平移得到，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得． 25. 中，已知， 平分 ． （1）如图1，如果，，求 的长； （2）如图2，过点 作 的垂线 ，与边 的延长线交于点 ． ①试猜想线段 与边 的数量关系，并证明； ②在线段上截取，连接 ，当时，探究是否存在实数 ，使得成立？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） 的长为 （2）①，证明见解析；②存在实数 ，且 【解析】 【分析】（1）利用角平分线性质得等角，进而判定等腰三角形，结合相似三角形的判定与性质，通过相似比计算线段长度； （2）①取 中点 ，连接 ，证明，即可； ②通过角度关系推导出特殊角度，结合等腰三角形性质与三角形相似，分析线段间的等量关系，进而确定 的值． 【小问1详解】 解：∵ 平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ，， ∴，， ∴， ∴，（负值舍去）． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，取 中点 ，连接 ， ∵， ∴是直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴ ， 同理：， ∴ 由（1）得， 设，则，，， 由（1）得，即 整理得，解得(负值舍去 由①得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴存在实数 ，且使得成立． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形判定与性质等知识，涉及角度关系推导与线段长度计算，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期终学业质量调研 数学试卷 （时间100分钟，满分150分） 202601 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分） [每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列图形中一定相似的图形是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 2. 在 中， ， ．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数及非零向量，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知 是四边形 的对角线，，下列补充的条件中，不能判定 和 相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校在操场上举行庄严的升旗仪式，每个学生均站立在旗杆前方的水平地面上面向国旗行注目礼．已知国旗的初始位置距地面高度均大于或等于每个学生的身高．如果将看向国旗的视线与水平视线所形成的夹角定义为注视角，那么国旗从初始位置开始匀速上升至顶端的过程中，以下说法正确的是（ ） A. 每个学生的注视角大小不变 B. 每个学生的注视角逐渐减小 C. 每个学生的注视角逐渐增大 D. 同一时刻，相同身高学生的注视角相等 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸每个小题相应位置的方框内] 7. 如果，那么______． 8. 如果两个相似三角形的周长之比是，那么这两个三角形的相似比是________． 9. 在比例尺为的图纸上，一座建筑物的高是2厘米，它的实际高度是________米． 10. 抛物线与 轴的交点坐标是_______． 11. 如果抛物线有最高点，那么实数 的取值范围是________． 12. 在平面直角坐标系 中，已知点、，则正弦值是________． 13. 如图，已知，，， ________． 14. 小海沿着坡度为的斜坡上行80米时，他的铅垂高度上升了________米． 15. 等边三角形的周长为 ，面积为，则面积关于周长 的函数解析式为________． 16. 如图，正方形DEFG的顶点均在 的边上， ， ，BC边上的高的长为________． 17. 如图，点G是 的重心， ， ，，则________． 18. 如图，已知 中，，，．点M是 中点，点D在边 上，连接 ，将沿着直线 翻折，点B的对应点为点E．连接 ，如果，那么的度数为________． 三、（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 已知抛物线． （1）写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； （2）将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 21. 如图，在梯形 中， ，已知，点E是 的中点，连接交 于点G． （1）如果的面积等于5，求的面积； （2）设，，求向量关于向量、的分解式． 22. 某小区为方便居民停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 ，车位的三面围墙及墙 均高于车顶，相关数据如图1所示．已知拟停在该车位的汽车前车门完全打开时与车身夹角为 ，当前车门与车身夹角不小于 时，驾驶员能顺畅地出来．图2是该汽车外形的部分数据，例如：数据②是前车门长度 厘米，数据④是车外后视镜完全打开时车身占用的宽度为 厘米．图3是车门打开的示意图．假设车身始终与墙 保持平行，车外后视镜完全打开时与墙之间有 厘米的安全距离．(参考数据： ， ， ， ， ， ， ， ， ．) 结合上述条件，回答下列问题： （1）当该汽车倒车停入车位 区域时，驾驶员是否能够顺畅地从车中出来？请说明理由； （2）已知车库门前有一条平行于 且与 距离 厘米的人行道，当驾驶室的车门能完全打开时，汽车是否占用到人行道？请说明理由．(精确到1厘米) 23. 如图，在 中，点 在边 上， 、 的延长线交于点 ，连接 ，已知． （1）求证：； （2）求证：． 24. 如图，平面直角坐标系 中，已知抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D． （1）求b的值和点D的坐标； （2）已知以点G为顶点的抛物线与抛物线相交． ①设抛物线、的交点为点E，在抛物线上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围； ②连接，过点G作 的平行线，交抛物线于点N，如果平分，求m的值． 25. 中，已知， 平分 ． （1）如图1，如果，，求 的长； （2）如图2，过点 作 的垂线 ，与边 的延长线交于点 ． ①试猜想线段 与边 的数量关系，并证明； ②在线段上截取，连接 ，当时，探究是否存在实数 ，使得成立？如果存在，请求出 的值；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $