专题01 相似三角形全章复习（期末复习讲义）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学相似三角形期末复习讲义通过表格系统梳理知识体系，涵盖相似多边形、比例线段等六大知识点，明确核心考点、复习目标及考情规律，用框架图呈现“判定 - 性质 - 应用”逻辑链条，突出相似三角形判定与性质的重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，含平行线分线段成比例等十一类题型，每个题型配备解题模板和典例变式，如画图探究题引导“准画图找相似”，培养几何直观与推理意识。基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，学生自主复习时能明确方向。

专题01 相似三角形（期末复习讲义） 知识点 核心考点 复习目标 考情规律 相似多边形 1.相似多边形的定义； 2.相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例、周长比=相似比、面积比=相似比²）； 1. 能准确判定两个多边形是否相似； 2. 熟练掌握相似比的计算，区分相似比的顺序； 3. 能运用相似多边形的性质求线段长、周长、面积； 4. 明确相似与全等的联系与区别 1. 题型：以选择题、填空题为主，偶尔结合特殊四边形出中档解答题； 2. 分值：3-6分，单独考查占比小，常与相似三角形综合； 3. 考查重点：相似多边形的判定、面积比与相似比的关系； 4. 易错点：忽略“边数相同”的判定条件、面积比忘记平方 比例线段 1. 线段的比（单位统一要求）； 2. 比例线段的定义与顺序性； 3. 比例的性质（基本性质、合比、分比、等比性质）； 4. 黄金分割的定义与比例关系 1. 能正确计算线段的比，统一单位； 2. 熟练运用比例性质化简计算、求解代数式； 3. 能判断黄金分割点，运用黄金比计算线段长； 4. 避免比例线段顺序混淆、性质应用忽略限制条件 1. 题型：选择题、填空题、解答题（计算部分）； 2. 分值：3-8分，常与相似三角形、几何计算结合； 3. 考查重点：比例性质的应用（设k法）、黄金分割的判定与计算； 4. 易错点：单位未统一、等比性质忽略“分母和≠0”、黄金分割线段位置混淆 三角形一边的平行线 1. 性质定理与推论（A/X型模型，对应线段成比例）； 2. 三角形重心的定义与性质（到顶点距离=2×到对边中点距离）； 3. 判定定理与推论（由比例线段判定平行）； 4. 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 能运用定理求线段长、证明比例关系； 2. 熟练掌握重心性质，解决相关计算； 3. 能由线段比例判定直线平行； 4. 识别A/X型模型，快速建立比例关系 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何证明与计算）； 2. 分值：4-8分，是相似三角形的基础铺垫考点； 3. 考查重点：A/X型模型的线段计算、重心性质的小题、平行线分线段成比例的应用； 4. 易错点：比例线段对应关系混淆、重心性质记忆错误（1:2关系颠倒） 相似三角形的判定 1. 判定定理1（平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似）； 2. 判定定理2（三边成比例）； 3. 判定定理3（两边成比例且夹角相等）； 4. 判定定理4（两角分别相等）； 5. 直角三角形相似的特殊判定； 6. 常见模型（平行线型、旋转型、斜交型、一线三等角型） 1. 能根据已知条件选择合适的判定定理； 2. 熟练识别常见相似模型，快速建立相似关系； 3. 掌握直角三角形相似的特殊判定方法； 4. 避免“两边成比例+任意角相等”的错误判定 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何证明核心考点）； 2. 分值：6-10分，解答题必考考点； 3. 考查重点：两角分别相等（AA）的判定、常见模型的识别与应用； 4. 易错点：忽略“夹角相等”的条件、直角三角形相似判定混淆“斜边+直角边”与“直角边+直角边” 相似三角形的性质 1. 核心性质（对应角相等、对应边成比例）； 2. 对应线段性质（对应高、中线、角平分线的比=相似比）； 3. 周长比=相似比、面积比=相似比²； 4. 实际应用（测河宽、测物体高度） 1. 能运用性质求线段长、角度、周长、面积； 2. 熟练掌握对应线段的比例关系，解决复杂几何计算； 3. 能运用相似三角形解决实际测量问题； 4. 牢记面积比与相似比的平方关系 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何计算与实际应用）； 2. 分值：6-12分，是中考几何核心分值考点； 3. 考查重点：面积比与相似比的关系、对应线段的比例计算、实际测量模型； 4. 易错点：面积比忘记平方、实际应用中模型建立错误 实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的定义与运算规定（长度、方向）； 2. 运算律（分配律、结合律）； 3. 平行向量定理（向量平行的充要条件）； 4. 单位向量的定义与表示； 5. 向量的线性组合与分解（平行四边形法则） 1. 掌握实数与向量相乘的运算，明确长度与方向的判定； 2. 能运用运算律化简向量表达式； 3. 会根据平行向量定理判定向量平行； 4. 能对向量进行线性分解，掌握平行四边形法则 1. 题型：以选择题、填空题为主，偶尔涉及向量分解的作图题； 2. 分值：3-4分，属于基础送分考点； 3. 考查重点：平行向量定理的应用、向量的线性分解、单位向量的理解； 4. 易错点：忽略向量方向的判断（k正负对方向的影响）、分解向量时未遵循平行四边形法则 知识点01 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】D 【分析】根据相似图形的判定，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等腰梯形的形状不唯一，则两个等腰梯形不一定相似，故本选项不符合题意； C、两个菱形的形状不唯一，则两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个正方形一定相似，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查相似图形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键． 1. 忽略定义域的“非空性”：若是空集，不构成函数； 2. 混淆“对应关系的唯一性”：一个只能对应一个，但一个可以对应多个 3. 混淆与：是关于的变量函数，是时的常量函数值（如中， 是变量，是常量）。 知识点02 比例线段 1.线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 2.比例线段 （1）定义：对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. （2）比例的相关性质 ①比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. ②比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 示例 已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】设比值为，用表示出、、，然后代入等式求出，从而得到、、，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：设，则，，， ， ， 解得：， ，，， ． 【点睛】本题考查了比例的性质，代数式求值．利用“设法”表示出、、求解更简便． 3.黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 示例 如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 【答案】C 【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点且， 是和的比例中项，， ， 故选项A、、不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 1. 忽略线段比的“单位统一”：计算两条线段的比时，若长度单位不同（如厘米和米），未统一单位就直接计算，会导致结果错误。 2. 混淆比例线段的“顺序性”：四条线段成比例是，若随意调换顺序（如错写为）， 会误判成比例关系。 3. 比例性质应用时“忽略限制条件”： - 合比、分比性质中，忽略“”的前提，直接套用公式； - 等比性质中，忽略“”的条件，盲目使用。 4. 黄金分割中“混淆线段位置”：若点是的黄金分割点，当时，错把当作黄金分割 比（实际应为）。 知识点03 三角形一边的平行线 1.三角形一边的平行线性质定理与推论 （1）性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. 两种常见类型： “A ”型 “X ”型 （2）推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 示例 如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例；熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是本题的关键． 2.三角形的重心 概念 三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 性质 三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 示例 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 【答案】12 【分析】由三角形的重心及GFAB可知，然后可得BF=4，则有BE=6，进而问题可求解． 【详解】解：∵点G是△ABC的重心，GFAB， ∴， ∵EF＝2， ∴BF=4， ∴BE=6， ∵AE是BC边上的中线， ∴BC=2BE=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 3.三角形一边的平行线判定定理与推论 判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 示例 如图，，如果，，，那么 ．    【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得， 经检验，满足所列方程， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应． 4.平行线分线段成比例定理 定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 示例 如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平行线间线段成比例即可求出答案； （2）如图，先将平移经过A点，把线段分成和两部分求解即可． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴长为，长为． （2）如图，将直线向左平移到直线交于H点，交于G点， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行线间线段成比例定理，熟练掌握线段中的比例关系是解题关键． 知识点04 相似三角形的判定 1.相似三角形 （1）概念：三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 对应顶点:点和点,点和点,点 和点; 对应角:和,和,和; 对应边:和，和,和. 2.平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 应用结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 示例 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】利用平行线分线段成比例定理，由l1∥l2∥l3，得到，然后由已知，求得. 故答案为． 点睛：此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题关键． 3.相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 示例 如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】可利用平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断即可． 【详解】解：， ； 四边形是平行四边形， ，， ，； 同理，，，， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 4.相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 示例 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】求出的三边长，然后根据三角形相似的判定方法可对各选项进行判定即可． 【详解】解：在中，，，，，    选项B，C，D中的三角形都没有， 而在选项中，三角形的钝角为，它的两边分别为1和， ∵， ∴A选项中的三角形与相似． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 5.相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 示例 如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 【答案】(1)；理由见解析 (2)，且 【分析】（1）由正方形的性质可知，，根据是的中点，，可得，，继而证明，即可得出结论； （2）由的性质可得，，，因为，所以，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，且．理由如下： 由（1）知，，， 则， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答本题的关键． 6.相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 示例 如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，可直接证明，即可判断A；由角平分线的定义得出，再结合三角形外角的性质即可得出，从而可证，即可判断B；由，，可直接证明，即可判断C；没有条件证明，即可判断D． 【详解】∵，， ∴，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴， 故C正确，不符合题意； 在和中只有，不能证明，故D错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 7. 直角三角形相似的判定方法 判定方法1：由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 判定方法2：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 示例 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 【答案】见解析 【试题分析】（1）根据勾股定理，计算出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）利用三边对应成比例，两三角形相似进行验证即可. 【试题解析】（1）根据勾股定理，得：AC=、AB==、BC=，则,利用勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形； （2））根据勾股定理，得：DE=、DF=、EF=，则DF：DE：EF=1:2:= AC：AB：BC ，利用三边对应成比例，两三角形相似得：△ABC△DEF. 【方法点睛】本题目是一道考查学生三角形的判定方法，主要运用了勾股定理的逆定理证明直角三角形，利用三边对应成比例，两三角形相似.难度适中. 8.常见相似三角形模型 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 旋转型 条件所示, 结论: 斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 示例 如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：由图得： 当或或时，与相似； 也可． 选项中角不是成比例的两边的夹角． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 知识点05 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 5.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的应用 主要类型： （1）利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 ①如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . ②如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 2.利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 示例 学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 【答案】米 【分析】根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 知识点06 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 3.实数与向量相乘满足的运算律 （1）实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） （2）实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 4.平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 示例 下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果，那么或 【答案】C 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、如果或，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果、为实数，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果（为实数），那么，故本选项错误，符合题意； D、如果，那么或，故本选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质，属于中考常考题型． 5.单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 6.向量的线性运算与线性组合 （1）向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. （2）向量的线性组合：如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 示例 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设． (1)___________（用向量表示）； (2)求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，经过的重心，可得，即可求得； （2）过点B作，在上截取，连接，即为所求． 【详解】（1）解：∵，经过的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图：过点B作，在上截取，连接，即为所求． 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的运算法则． 7.向量的分解 （1）分向量与分解式：根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. （2）线性组合的方法：平行四边形法则 示例 如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F，得出，，进而得出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：过点A作的平行线，过点C作的平行线，两直线相交于点F， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则，， ∴，， 故答案为：，． （2）如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【点睛】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 题型一 平行线分线段成比例（重点） 解｜题｜技｜巧 1. 常考核心模型：A型、X型 2. 找准对应关系：严格遵循“平行线段对应成比例”，注意线段的“前后顺序”（如A型中“上：全=上：全”）； 3. 灵活用推论：若平行线截三角形两边，直接用“三角形一边的平行线分另一边所得线段对应成比例”简化计算； 4. 遇多组平行线：通过“中间线段”进行比例代换（如由、，得）. 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，分别求出线段之间的数量关系，逐一计算，比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∵， ∴的差最大； 故选D． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式计算即可，灵活运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，推导出进而证明是解题的关键． 由，证明，得，由，证明，再证明，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 【答案】5 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，过点作，，交于点，根据平行线分线段成比例，得到，证明，求出的长，勾股定理求出的长，锐角三角形函数求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，，交于点，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 故答案为：5． 题型二 黄金分割（重点） 答｜题｜模｜板 1. 明确黄金分割定义：若点是的黄金分割点，分“”和“”两种情况，对应比例式为（或反之）； 2. 牢记黄金比数值：黄金分割比为，可直接代入计算线段长度； 3. 抓“比例中项”关系：黄金分割的本质是“较长线段是全线段与较短线段的比例中项”，据此可将线段关系转化为乘积式（如）. 【典例2】（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故A符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、∵是边上的高， ∴与面积的比值为， 故C不符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：A． 【变式1】如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】设较短的线段，则，根据黄金分割点的性质列方程并求解，即可得到答案． 【详解】设较短的线段 ∵的长为2 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴或（经检验均为方程的根） ，故舍去 ∵ ∴ ∴较短的线段 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握黄金分割点、分式方程、一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，已知，延长至点D，使，连接交于点G．某同学得到以下两个结论： ①G是线段的黄金分割点；②． 关于结论①和②，下列说法正确的是（  ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】本题主要考查了正方形的性质、黄金分割的定义等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． ①设，则，进而得， ，证明和相似得 ，然后根据黄金分割的定义可对结论①进行判断；②根据， 得， ，再分别求出、、、，由此得，据此可对结论②进行判断，综上所述即可解答． 【详解】解：①∵在， ∴设，则，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴G是线段EF的黄金分割点，故结论①正确； ②∵， ∴设，， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴， ∴．故结论②正确， 综上所述：结论①和②都正确． 故选：D． 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，过点作交于点，证明，得到，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵是梯形的“黄金分割线”， ∴，， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式4】（2025·上海黄浦·一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、黄金分割 【分析】本题考查矩形的性质，翻折变换，黄金分割，相似三角形的判定和性质，设与交于点，由矩形的性质可得，，，，则，由折叠性质可知：，，故，设，，，根据勾股定理求出，则，再证明，最后由相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵矩形是一个黄金矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴设，，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 平行向量（重点） 答｜题｜模｜板 1. 判定平行向量：先看方向（相同或相反），再看“长度成比例”（平行向量是“共线向量”，满足，为非零实数）； 2. 结合线段比例：平行向量对应的线段平行，可直接套用“平行线分线段成比例”定理，将向量比例转化为线段比例； 3. 注意向量方向性：若向量方向相反，比例式中需带负号，但线段长度为正，计算时需区分“向量比”与“线段比”. 【典例3】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质和向量的知识，掌握了以上知识是解题的关键； （1）利用已知条件证出，再得出，然后代入计算即可求解． （2）先求得，再根据，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，   解得：； （2）解：∵， ∴， 又∵与同向， ∴， ∵，   ∴； 【变式2】（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【答案】(1) (2)， 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解； （2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，， ∴∽， ∴则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴∽， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴则， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行线分线段成比例性质可得，再由可得，从而得出，再证，可得，再由平行线的判定即可得出结论； （2）由得出，可得出，再由可得．进而可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 又， ． 【变式4】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 【答案】(1)； (2)平行 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、向量的线性运算 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平面向量，掌握平面向量是解题的关键． （1），； （2）根据，，得出与是平行向量； （3）根据，得出，从而得到，根据，求出，从而得到． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴与是平行向量， 故答案为：平行； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 三角形内接四边形问题（重点） 答｜题｜模｜板 1. 常见模型：内接四边形多为平行四边形（如矩形、菱形），利用“四边形对边平行”的性质，构造三角形的“A型相似”； 2. 设参列方程：设内接平行四边形的一边长为，利用相似比（如“小三角形边长：原三角形边长=相似比”）建立关于的方程； 3. 抓“平行”核心：通过四边形的平行边，找到原三角形被截得的小三角形与原三角形相似，进而转化线段关系. 【典例4】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【答案】16 【知识点】根据正方形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；也考查了正方形的性质． 设正方形的边长为，则，证明，则利用相似三角形的性质得到，即，然后解方程即可得到答案．灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形为正方形， ∴， ， ， ∴， ∴，即， 解得x， 即正方形的边长为． 故答案为：． 【变式2】（2025·上海静安·一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【答案】72 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质得到的值是解题的关键． 根据题意可证，得到，由题意设，则，由此列式得，解得，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∵两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形的面积是， 故答案为：72 ． 【变式3】（上海市崇明区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（一模））如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设交于点，由题意得， ，，，得出四边形是矩形，由得到，继而得到，即，计算即可求解． 【详解】解：设交于点，如图， 长方形的边在的边上，顶点分别在、上， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 题型五 画图探究问题（中考T23新题型）（重点） 答｜题｜模｜板 1. 先“准画图”：按题目条件（如“过某点作平行线”“截取某长度线段”）精准绘制图形，标注已知边长、角度； 2. 再“找相似”：从画图结果中识别等角（公共角、对顶角、平行线的同位角）或比例线段，锁定可能的相似三角形； 3. 分情况讨论：若图形有多种画法（如点的位置不同），需分类探究每种情况的相似关系，避免遗漏. 【典例5】（2025·上海静安·一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【答案】(1)③，错误原因见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）由三角形一边的平行线的判定方法错误可得答案； （2）如图，在上截取，过点G作交于点H．证明，证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：第③步出现错误；错用三角形一边的平行线的判定定理； （2）证明：如图，在上截取，过点G作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 在与中，，，       ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【答案】探究：证明见解析；运用： 【知识点】利用矩形的性质证明、相似多边形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，相似多边形的性质是解题的关键． 【探究】连接，证明，得出，，则可得出答案；【运用】由矩形的性质得出，证出，由结论“四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似”证明四边形四边形，则可得出答案． 【详解】【探究】证明：连接，如图所示： ∵四边形与四边形相似， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 【运用】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形四边形， ∴． 【变式2】（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【答案】(1)存在，见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形： （1）根据锐角的正切值可以得到，故过点的直线交边于点，使得，即可； （2）根据相似的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：存在，分割方案：（答案不唯一）如图： 过点的直线交边于点，使得，         证明：，，，，， ，，，， ， 即， ，                      ，， ； （2） ，                                               ，，， ，                                               ． 【变式3】（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 【答案】(1)的值等于3； (2)图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）过点E作，交于点G．由“线垂”三角形的定义求得，由等腰三角形的性质求得，证明，，推出，，据此求解即可； （2）在边上取点M，使，联结，那么是“线垂三角形”，是“分角”，证明，得到，则也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，延长至点G，使，联结，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，交于点G．    由是“线垂”三角形的“分角”，， 可知， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴的值等于3 ∴的值等于3； （2）解：在边上取点M，使，联结，    那么是“线垂三角形”，是“分角”， 可得， ∵为公共角， ∴， ∴， ∴也是“线垂三角形”，是“分角”； （3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N， 由（2）得， ∴， 可得， 又∵， ∴． ∴． ∴，． 延长至点G，使，联结， ∵，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， ∴． 【点睛】本题考查了“线垂三角形”的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型六 翻折、旋转问题（难点） 答｜题｜模｜板 1. 抓“变换不变量”：翻折/旋转前后，对应边相等、对应角相等，利用这些不变量得到等角、等线段； 2. 构造相似条件：通过翻折/旋转得到的等角，结合原图形的角（如公共角），凑出相似三角形的“两组等角”； 3. 转化线段关系：翻折/旋转后的线段长度不变，可将其代入相似比例式，求解未知线段. 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 【答案】4或 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形判定方法是解题关键，分两种情况讨论分别根据相似三角形性质分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， 当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，则有， ∴，即， 又， ∴； 同理，当分的两个三角形相似存在 当时，有， ∴， 同理，当时，， ∴， 又， ∴， ∴； 综上，的长是4或． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分点的对称点落在对角线上和落在对角线上两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点的对称点落在对角线上时， 由折叠可得，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点的对称点落在对角线上时，设与相交于点， 由折叠可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 综上，长为或， 故答案为：或． 【变式2】（上海市松江区2024-2025学年九年级上学期期末质量监控数学试卷）如图，在中，，，是边上一点，将沿直线翻折，点的对应点为，如果，那么的值为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算与运用，折叠的性质，相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，设，运用勾股定理可得，分类讨论：如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点，运用勾股定理可得，由平行可证，可得解得，，再证，可得即可求解；将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点，运用勾股定理可得，由折叠与平行的性质可得，则，再证，得到即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设， ∴， 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，设交于点， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 同理，， ∴， ∴， 解得，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即， 整理得，， ∵， ∴； 如图所示，将沿直线翻折，点的对应点为，，延长交于点， ∴， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【变式3】（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作于点，交于点，先判断出得，由相似三角形的性质得，结合等腰三角形的性质，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，，则，，，整理得，，化简得 ，设，，可得，即可求解． 【详解】解：过点作于点，交于点， ， ， ，， ， ， ， ，与相似， ， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， 则， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， 解得：（负值已舍）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，能熟练利用相似三角形的性质进行求解是解题的关键． 【变式4】如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作，利用勾股定理求出，根据旋转的性质得到相应结论，求出证明，求出，，证明，求出，，设，最后证明，得到，求出，从而可得． 【详解】解：如图，过点作， 在矩形中，，， ∴， 由旋转可知：，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是添加辅助线，充分运用相似三角形的性质求出相应线段的长． 题型七 巧妙运用辅助线解决相似三角形综合问题（难点） 答｜题｜模｜板 1. 常用辅助线：作平行线（构造A型、X型相似）、连接线段（构造公共角、对顶角）、作垂线（构造直角三角形相似）； 2. 辅助线逻辑：缺“平行线”则作平行（补相似模型），缺“等角”则连线段（造公共角），缺“直角”则作垂线（凑直角相似）； 3. 结合已知条件：辅助线需围绕题目已给的“比例、等角”条件展开，避免无目的作线. 【典例7】（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【答案】10 【知识点】重心的有关性质、由平行判断成比例的线段、解直角三角形的相关计算 【分析】此题主要考查了三角形的重心，解直角三角形，平行线分线段成比例．连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，解得，，证明四边形是矩形得，，然后利用平行线分线段成比例求得得，据此可得点A、O的距离． 【详解】解：连接并延长交于点E，在的延长线上取一点H，使，连接，延长交于点F，如图所示： ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵点O是的重心， ∴，都是的中线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点A、O的距离为10． 故答案为：10． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 【答案】4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积． 【详解】解：过点A作于点H， ∵的面积为9， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由，，，得，，，所以，，，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 【变式3】（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 【变式4】（2025·上海松江·一模）如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，延长交于点，设，则，，由正方形的性质可知，，故，，根据相似三角形的性质求出，则，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 设， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型八 锐角三角比在相似三角形中的运用（重难点） 答｜题｜模｜板 1. 利用“相似角相等”：相似三角形的对应角相等，因此对应角的锐角三角比相等（如）； 2. 转化线段关系：用三角比表示线段长度（如），再代入相似比例式； 3. 联动计算：若已知某角的三角比，可通过相似将其转化为另一三角形中对应角的三角比，简化复杂线段的计算. 【典例8】（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）设，根据题意进行角度计算，得出，即可得证； （2）延长交延长线于H，求出的长度，即可得出的值； （3）过A作于M，设，根据相似三角形和勾股定理，得出结果． 【详解】（1）解：证明：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：延长交延长线于H，过A作于M， ∵E是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过A作于M， ∵， ∴， ∴， 由（2）可设，则 ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的值为或． 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明，由相似三角形的性质得出，设，，由勾股定理得出，再根据余切的定义求解即可． （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，过点作于点，由相似三角形的性质可得出，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再结合三角形的面积得出，进一步即可得出答案． （3）分两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴ （2）解：过点分别作于点，于点， 过点作于点，过点作于点， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解∶∵，与相似， 当，此时， ∴ 且为等边三角形， 设，则，，， 又∵， ∴， 即，， （舍）， ∴， 当，此时， 则，， ∴， 设，， 则， 解得． ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，余切的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)5 (3)或或2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、已知正切值求边长 【分析】（1）先由矩形的性质证明，即可得； （2）延长、交于，设，由得，则，证明得，进而得，，再由得，进而可得关于x的一元二次方程，解方程即可； （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；根据三种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ， ， ， 又∵，， ； （2）解：延长、交于， 设， ， ， 则， ，， ， ， ，， ， ，即， ∴， 解得，（舍）， ； （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ； ②当时， 过点作，垂足为点，交于（如图），则， ， ， ， 则， ； ③当时， 过点作（如图），则， ， ， ，则，， ，，， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． （1）延长，交的延长线于点，可证得，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，设作于，可证得，，从而，进而得出，从而得出，，从而得出，，进而得出，，，，，进一步得出结果； （3）设，，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于，从而，，，可证得，从而，从而得出，从而得出，根据，根据，从而得出，从而，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长，交的延长线于点，作于， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，设，则，， ，， 在中， ，， ， ； （3）解：如图3，以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，作于， 设，， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式4】（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)ⅰ）；ⅱ）的正切值为或． 【知识点】重心的有关性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，得出，则可得出结论； （2）i）延长至G，使，连接，证明，得出，证出，则可得出答案； ii）分三种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：i）延长至G，使，连接， ∵直线经过的重心， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ii）当时显然不成立． 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，连接， ∵， ∴D，B，，C四点共圆（拓展）， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，的正切值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型九 相似三角形乘积式证明（重难点） 答｜题｜模｜板 1. “乘积转比例”：先将乘积式（如）变形为比例式（）； 2. “找相似三角形”：根据比例式的分子、分母，锁定对应的两个三角形（如与）； 3. “证相似得比例”：证明锁定的三角形相似（用AA、SAS等），从而得到比例式，再反向转化为乘积式. 【典例9】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先证明，得到，，又因为，所以，然后证明，得到，即可得证； （2）延长、交于点，由已知条件得，又，所以，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：， ， 在与中，，， ， ，， 又， ， 在与中，，是公共角， ， ， 即； （2）解：延长、交于点，如图： ，，由三角形内角和可得， ， 又， ， 在与中，，， ， ， 即． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）已知：如图，梯形中，，为对角线，． (1)求证：； (2)E为的中点，作，交边于点F，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）先证明，可得，再由可得，结合，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）如图， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 即：， ∴ ∴ 【变式2】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵   ∴， ∴，   ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，   ∴， ∵，， ∴ ∴   ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识： （1）由，证明， 得，所以，则； （2）由相似三角形的性质得，推导出，由， ，得，则 ， ，而，所以，则，所以，则 【详解】（1） （2） ， ， 【变式4】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）证明，得到，结合，即可得证． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ； （2）作交边于点 ，    由（1）得， ， 又， ， ， ， 又， ． 题型十 特殊三角形和四边形在相似三角形中的运用问题（重难点） 答｜题｜模｜板 1. 用“特殊图形性质”补条件： - 等腰三角形：利用“底角相等”“顶角相等”得等角； - 矩形/正方形：利用“直角相等”“对边平行”得等角或平行关系； 2. 结合相似判定：用特殊图形的性质凑出“两组等角”或“两边成比例且夹角相等”，快速判定相似； 3. 简化比例计算：特殊图形的边长有等量关系（如正方形边长相等），可代入比例式减少未知量. 【典例10】（2025·上海宝山·一模）如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过F作，垂足为点H，利用等角的三角函数值相等可得，，设，则，可得，所以，求出x值，再利用勾股定理求出即可； （2）同（1）思路，证，即可得解； （3）分两种情况讨论，为直角或为直角，然后利用相似三角形得出比例线段，设参建立方程求解即可． 【详解】（1）解：过F作，垂足为点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ， 设，则， ， , ∵， ∴， ∴； （2）解：过F作，垂足为点H， 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图， 此时， ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 同理，得， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 解得， ∴ ； 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式1】（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据题意，，证明即可求证； （2）根据题意可得，则有，由，得到，如图所示，作，垂足是，由勾股定理、三角函数的计算得到，在中，，则有，得到，再根据，即可求解； （3）根据等腰三角形的判定和性质分类讨论：第一种情况：当时，可证平分，根据角平分线的性质，锐角三角函数即的计算可解得；第二种情况：当时，可得，则，即，即可求解；第三种情况：当时，结合（2）的计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 如图所示，作，垂足是，    ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ，即， ； （3）解：若是等腰三角形，那么或或， 第一种情况：当时， ， ， 又， ， ，即  ， ， ∵， ∴， ∴， ， 在中，， ，即 第二种情况：当时 ， ， ， ，即， ； 第三种情况：当时， ， ， 又， ， ， ， 由（2）可知，在中，， ， ， ，即； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)为或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点、作的垂线，垂足分别为、，通过解直角三角形求出、，利用勾股定理求出，即可解答； （2）连接并延长交于点，根据题意得到是的垂直平分线，证明，列出比例式即可解答； （3）若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况：当时，证明，求出，即可解答；当时，证明，求得，，过作，垂足为，求出，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， ，，， ，， 点是边的中点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，； （2）解：如图，连接并延长交于点， 点是的重心， 点是的三条中线的交点， 是的中线， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：若是以为腰的等腰三角形，分以下两种情况： 当时，如图： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图： ， ， ， ， ， ， 即， ，， 过作，垂足为， ， ， ， ， ； 综上，为或． 【点睛】本题考查三角形的综合运用，主要考查勾股定理、重心的性质、解直角三角形、垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 或 【知识点】求角的余弦值、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由可求得，由勾股定理可求得，由可求得，在中，由勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）①设，则，，过点作，交延长线于点，由可得，结合，可证得，于是可得，则，进而可得，由等角对等边可得，过点作于点，由三线合一可得，由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，则，由平行线分线段成比例定理可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，设，则，，整理得，则，由勾股定理可得，则，由此即可求出的值； ②过点作交延长线于点，然后分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解即可求出的余弦值． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 又， ， 在中，，， ∴； （2）解：①， 设，则，， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 如图，过点作于点，则可得， 又， ， 由勾股定理可得：， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 整理，得：， ， 在中，，， ， ， ； ②，，， ， 如图，过点作交延长线于点， 分三种情况讨论： ）当时， ， ∴， 但不平行，故此种情况不存在； ）当时， 如图，过点作，垂足为， ， 又， ， ， ， ， ， 又， ， ， 由①可知：此时， ， ； ）当时， 同理可得：， 设， 如图，延长至点，使得，连接， 又，， ， ， 过P作于H，则，， ， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， 整理，得：， 解得：， ， ； 综上，或， 即：的余弦值为或． 【点睛】本题主要考查了已知正弦值求边长，相似三角形的判定与性质，等角对等边，三线合一，角平分线的性质定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，两直线平行内错角相等，线段的和与差，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理，同位角相等两直线平行，求角的余弦值，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 【变式4】（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）可得，，则，，即可证明； （2）先证明，再证明，再根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质求证． 【详解】（1）证明：平行四边形 ，  ， ∴，，                                   ，                                                                                     ； （2）证明：如图，连接， ， ，又， ， ，                                            ，， ，，   ，                                             平行四边形， ， ， ， ， ，                                               ，又，    ，                                             即，   ，                                                     平行四边形， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型十一 相似三角形与函数综合（重难点） 答｜题｜模｜板 1. “坐标转线段”：将函数图象上点的坐标转化为线段长度（如点对应的水平线段长为，竖直线段长为）； 2. “相似转函数式”：利用相似比例式，将线段关系转化为含的等式，进而推导函数解析式（一次、二次函数）； 3. “函数解求线段”：若已知函数解析式，可先求出点坐标对应的线段长，再代入相似比例式求解未知量. 【典例11】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】二次函数图象的平移、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出点，再将点代入，得，解得，可得答案； （2）①先求出新拋物线表达式为，过点作轴，垂足为，得出，可求得，，从而得出，再将点代入，即可求解； ②分两种情况：Ⅰ．当点在线段的延长线上时，Ⅱ．当点在射线上时，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过直线上的点 点在第四象限， 设点，由，得点， 将点代入，得，解得， 得该抛物线的表达式为； （2）解：①抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线， 新拋物线表达式为， 如图，过点作轴，垂足为， 在中，， ， ， 点， 将点代入， 解得； ②设直线与新抛物线的对称轴交于点，则点的坐标为， 点的坐标为 ， 直线平行于轴， ， ， ， ， 分两种情况： Ⅰ．当点在线段的延长线上时， ， ， ， ， 点的坐标为， Ⅱ．当点在射线上时， ， ， 点在的延长线上， 在直线上取点， 同理可得 ， ， ， ， 点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 【点睛】本题考查了二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解直角三角及相似三角形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或 【知识点】函数解析式、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得到，则，即，如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理可得，，，根据三角函数的计算得到，在中，，，，可求出，， 则，在中，由勾股定理可得，所以有，由此即可求解； （4）由（3）可知，分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， 如图所示，连接，过点作于点， ∵，是中点，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴. （4）解：由（3）可知， 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数解析式的计算，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． 【变式3】（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【答案】(1)a (2)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由，即可求解； （2）①证明，得到，，即可求解； ②证明为等腰直角三角形，且与相似，则为等腰直角三角形，进而求解． 【详解】（1）解：设点A、B的坐标分别为：，， 由抛物线的表达式知，点， 则； （2）解：①，且，则为等腰直角三角形，设点， 过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、N， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则，， 即且， 整理得：，则， 故抛物线的表达式为：； ②由点A、B的坐标得：， 解得：， 则点A、B的坐标分别为：、， 由得：，即点； ∵，且， 则为等腰直角三角形， ∵与相似，则为等腰直角三角形， 过点A作轴于点M，则点， 则， 故当点E和点M重合时，即点，符合题意； 如图，取，则为等腰直角三角形， 即点符合题意， 综上，或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似，解直角三角形，求抛物线解析式等知识点，数据处理是解题的关键． 【变式4】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 【答案】(1)对称轴是直线，点的坐标为 (2)点坐标为 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据对称轴方程求出对称轴，再根据轴对称的性质求出点B的坐标； （2）过点P作轴于点G，将抛物线先写成交点式，再化成顶点式求出顶点D及线段的中点坐标，根据相似三角形的判定列方程求解； （3）延长交轴于点，求出点的坐标，证，根据相似三角形的性质求出，然后在中，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线对称轴是直线． ∵点与点关于对称轴对称，点， ∴点的坐标为：． （2）抛物线与轴交于点， ， ，点坐标为，顶点的坐标为 如图，设的中点为，则点的坐标． 设点的坐标为． 作轴，垂足为点． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点坐标为； （3）如图，延长交轴于点， ∵点，点坐标为． ∴直线的函数解析式为：． ∴点的坐标为． 又∵， ∴． 在与中，，， ∴． ， ∴，又，， ∴． 在中，，，， ， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合，考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．利用点的坐标表示线段的长度、数学形结合及构造辅助线是解本题的关键． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2025·上海杨浦·一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断． 【详解】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意； 一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意， 故选：A． 2．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．利用相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，故选项A不符合题意； B、两个直角三角形不一定相似，故选项B不符合题意； C、含角的两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意； D、含角的两个等腰三角形一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， ． 故答案为：． 4．（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质：熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的高线比等于相似比，设未知数，列出一元一次方程，进行求解即可 【详解】解：由题意得：两个相似三角形的相似比为：， ∴两个三角形的高线比为， 设较大三角形的高为（厘米），较小三角形的高为（厘米）， ∴， 解得：， ∴两个三角形的高的长度和为（厘米）， 故答案为：． 5．（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 【答案】3 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据题意，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍， ∴相似比为， ∴周长扩大为原来的3倍， 故答案为：3 ． 6．（2025·上海黄浦·一模）如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记以上知识点是解答本题的关键． 先根据三角形的内角和等于求出另一个角的度数，从而确定出最小的角的度数，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：三角形的两个内角分别为和， 第三个内角为， 这个三角形的最小的内角的度数为， 两个三角形是相似三角形， 另一个三角形的最小内角的度数为， 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作线段(尺规作图)、成比例线段、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 2．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先用含、的代数式表示出和，证明，得到，即，化简得，设，化简得到关于的一元二次方程，解出的值，即得到的值，再由，代入数据即可解答． 【详解】解：连接，如图： 设正方形的边长为，正方形的边长为， 则，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， 两边同除以得：， 令，则， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， ， 故答案为：． 3．（2025·上海虹口·一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么 ． 【答案】或 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，作于， 求解，，，，，作的中线，为的重心，线段是的“重似线段”，分两种情况：当时，当时，过作交于，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作于，，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 作的中线，为的重心， ∴， ∵线段是的“重似线段”， ∴当时， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，过作交于， ∴，，， ∵， ∴，， ∴，，在上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴． 综上：或； 故答案为：或； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值、已知正切值求边长、向量的线性运算 【分析】（）证明，即得，得到，进而得到，，再根据向量的加减法则计算即可； （）由正切可得，得到，再由勾股定理得，进而由，得到，即得，最后由正弦的定义计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，向量的线性运算，锐角三角函数，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作，垂足为点，由求出，由勾股定理的出，，所以，由，， 得到，进而可得出结论； （2）根据平行线的性质以及角的和差关系证出，由，得到，，所以，求出，进而可求出的长； （3）过点作，垂足为点，根据，得到，证明出，可得，由，可得，然后分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时；当点在线段上时；即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作，垂足为点， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 当点在线段的延长线上时， 由，可得， 设， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段上时，可得， 设， ，，， ，， ， ， ， 综上所述的值为或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $定义 相似多边形 性质 线段的比 基本性质 比例线段 ①合此性情：若号-号对g.我。-06，e+d均不为0 ②分此性香片-导时片学友六台0-，6-为不为0 比例线段 其他性质 ③更比性0：带-5，则是-合友台-号(aAcd均不为0 ④等比性质：若号号=-日，对8G1g（6+d4+m20) 黄金分到一0 D E A”型 “X”型 性质定理 推论 霜形被的高健两边所在的直线截得的三角形的 三角形一边的平行线 三角形一边的平行 安窖素贺界行务售终能弱编的两边所得的对应线段成比帆 线判定定理与推论 推色条的的长形的第三边 平行线分线段「 定理两条直线被三条平行的直线所载截得的对应线段成比例. 成比例定理 非装香系流高如果在一线上的线相 平行线分钱段成比例 化 ☐E 定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 定理2三边成比例的两个三角形相似 定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 定理4两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形 相似三角形的判定 一判定方法1：一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似 直角三角形 判定方法2：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似 平行线型一 产 常见相似三角形模型 4公凶 在 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的性质 3.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比 5.相似三角形面积的比等于相似比的平方 应用 实数与向量相乘 实效与向量相乘的运算的规定 实数与向量相乘 去我与有生和长天尚选用( 平行向量定理 单位向量 向量的线性运算与线性组合定义 相似多边形 性质 线段的比 基本性质 比例线段 比例线段 其他性质 黄金分割 性质定理 ·推论 三角形一边的平行线 三角形一边的平行厂判定定理： 线判定定理与推论 C推论： 平行线公线铅 一定理 成比例定理 推论 平行线分线段成比例 牛二龙“的 定理1 定理2 定理3 相似三角形的判定 定理4 相似三角形 判定方法1 直角三角形 判定方法2 平行线型一画图： 旋转型 画图： 常见相似三角形模型 斜交型 画图 线三等角型一画图： 1.相似三角形的对应角，对应边 2.相似三角形对应线段的比等于， 相似三角形的性质 3.相似三角形的对应、对应线、对应线的比等于相似比 4.相似三角形周长的比等于 5.相似三角形面积的比等于相似比的 应用 实数与向量相乘 实数与向量相乘的运算的规定 实数与向量相乘满足的运算律 厂分配律 实数与向量相乘 C结合律 平行向量定理 单位向量 向量的线性运算与线性组合 专题01 相似三角形（期末复习讲义） 知识点 核心考点 复习目标 考情规律 相似多边形 1.相似多边形的定义； 2.相似多边形的性质（对应角相等、对应边成比例、周长比=相似比、面积比=相似比²）； 1. 能准确判定两个多边形是否相似； 2. 熟练掌握相似比的计算，区分相似比的顺序； 3. 能运用相似多边形的性质求线段长、周长、面积； 4. 明确相似与全等的联系与区别 1. 题型：以选择题、填空题为主，偶尔结合特殊四边形出中档解答题； 2. 分值：3-6分，单独考查占比小，常与相似三角形综合； 3. 考查重点：相似多边形的判定、面积比与相似比的关系； 4. 易错点：忽略“边数相同”的判定条件、面积比忘记平方 比例线段 1. 线段的比（单位统一要求）； 2. 比例线段的定义与顺序性； 3. 比例的性质（基本性质、合比、分比、等比性质）； 4. 黄金分割的定义与比例关系 1. 能正确计算线段的比，统一单位； 2. 熟练运用比例性质化简计算、求解代数式； 3. 能判断黄金分割点，运用黄金比计算线段长； 4. 避免比例线段顺序混淆、性质应用忽略限制条件 1. 题型：选择题、填空题、解答题（计算部分）； 2. 分值：3-8分，常与相似三角形、几何计算结合； 3. 考查重点：比例性质的应用（设k法）、黄金分割的判定与计算； 4. 易错点：单位未统一、等比性质忽略“分母和≠0”、黄金分割线段位置混淆 三角形一边的平行线 1. 性质定理与推论（A/X型模型，对应线段成比例）； 2. 三角形重心的定义与性质（到顶点距离=2×到对边中点距离）； 3. 判定定理与推论（由比例线段判定平行）； 4. 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 能运用定理求线段长、证明比例关系； 2. 熟练掌握重心性质，解决相关计算； 3. 能由线段比例判定直线平行； 4. 识别A/X型模型，快速建立比例关系 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何证明与计算）； 2. 分值：4-8分，是相似三角形的基础铺垫考点； 3. 考查重点：A/X型模型的线段计算、重心性质的小题、平行线分线段成比例的应用； 4. 易错点：比例线段对应关系混淆、重心性质记忆错误（1:2关系颠倒） 相似三角形的判定 1. 判定定理1（平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似）； 2. 判定定理2（三边成比例）； 3. 判定定理3（两边成比例且夹角相等）； 4. 判定定理4（两角分别相等）； 5. 直角三角形相似的特殊判定； 6. 常见模型（平行线型、旋转型、斜交型、一线三等角型） 1. 能根据已知条件选择合适的判定定理； 2. 熟练识别常见相似模型，快速建立相似关系； 3. 掌握直角三角形相似的特殊判定方法； 4. 避免“两边成比例+任意角相等”的错误判定 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何证明核心考点）； 2. 分值：6-10分，解答题必考考点； 3. 考查重点：两角分别相等（AA）的判定、常见模型的识别与应用； 4. 易错点：忽略“夹角相等”的条件、直角三角形相似判定混淆“斜边+直角边”与“直角边+直角边” 相似三角形的性质 1. 核心性质（对应角相等、对应边成比例）； 2. 对应线段性质（对应高、中线、角平分线的比=相似比）； 3. 周长比=相似比、面积比=相似比²； 4. 实际应用（测河宽、测物体高度） 1. 能运用性质求线段长、角度、周长、面积； 2. 熟练掌握对应线段的比例关系，解决复杂几何计算； 3. 能运用相似三角形解决实际测量问题； 4. 牢记面积比与相似比的平方关系 1. 题型：选择题、填空题、解答题（几何计算与实际应用）； 2. 分值：6-12分，是中考几何核心分值考点； 3. 考查重点：面积比与相似比的关系、对应线段的比例计算、实际测量模型； 4. 易错点：面积比忘记平方、实际应用中模型建立错误 实数与向量相乘 1. 实数与向量相乘的定义与运算规定（长度、方向）； 2. 运算律（分配律、结合律）； 3. 平行向量定理（向量平行的充要条件）； 4. 单位向量的定义与表示； 5. 向量的线性组合与分解（平行四边形法则） 1. 掌握实数与向量相乘的运算，明确长度与方向的判定； 2. 能运用运算律化简向量表达式； 3. 会根据平行向量定理判定向量平行； 4. 能对向量进行线性分解，掌握平行四边形法则 1. 题型：以选择题、填空题为主，偶尔涉及向量分解的作图题； 2. 分值：3-4分，属于基础送分考点； 3. 考查重点：平行向量定理的应用、向量的线性分解、单位向量的理解； 4. 易错点：忽略向量方向的判断（k正负对方向的影响）、分解向量时未遵循平行四边形法则 知识点01 相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做. 相似多边形对应边的比叫做 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 下列命题中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等腰梯形一定相似 C．两个菱形一定相似 D．两个正方形一定相似 1. 忽略定义域的“非空性”：若是空集，不构成函数； 2. 混淆“对应关系的唯一性”：一个只能对应一个，但一个可以对应多个 3. 混淆与：是关于的变量函数，是时的常量函数值（如中， 是变量，是常量）。 知识点02 比例线段 1.线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 2.比例线段 （1）定义：对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. （2）比例的相关性质 ①比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. ②比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 示例 已知：，，求代数式的值． 3.黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 示例 如果点是线段的黄金分割点且，那么下列结论错误的为（   ） A． B．是和的比例中项 C． D． 1. 忽略线段比的“单位统一”：计算两条线段的比时，若长度单位不同（如厘米和米），未统一单位就直接计算，会导致结果错误。 2. 混淆比例线段的“顺序性”：四条线段成比例是，若随意调换顺序（如错写为）， 会误判成比例关系。 3. 比例性质应用时“忽略限制条件”： - 合比、分比性质中，忽略“”的前提，直接套用公式； - 等比性质中，忽略“”的条件，盲目使用。 4. 黄金分割中“混淆线段位置”：若点是的黄金分割点，当时，错把当作黄金分割 比（实际应为）。 知识点03 三角形一边的平行线 1.三角形一边的平行线性质定理与推论 （1）性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. 两种常见类型： “A ”型 “X ”型 （2）推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 示例 如图，已知，，，那么的长等于（    ） A．4 B． C． D．8 2.三角形的重心 概念 三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 性质 三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 示例 如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，若EF＝2，那么BC长为 ． 3.三角形一边的平行线判定定理与推论 判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 示例 如图，，如果，，，那么 ．    4.平行线分线段成比例定理 定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 示例 如图，已知直线，直线和被、、所截．若，，． (1)求、的长； (2)如果，，求的长． 知识点04 相似三角形的判定 1.相似三角形 （1）概念：三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 对应顶点:点和点,点和点,点 和点; 对应角:和,和,和; 对应边:和，和,和. 2.平行线分线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 应用结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 示例 如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为 ． 3.相似三角形的判定定理1 定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 示例 如图，在中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，则图中相似三角形的组数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4.相似三角形的判定定理2 定理:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 示例 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是（    ）    A．   B．   C．   D．   5.相似三角形的判定定理3 定理:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 示例 如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点． (1)与是否相似？为什么？ (2)试问：与有什么关系？ 6.相似三角形的判定定理4 定理:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 示例 如图，在中，平分，点D在边上，线段与交于点E，且，下列结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 7. 直角三角形相似的判定方法 判定方法1：由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 判定方法2：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 示例 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； 8.常见相似三角形模型 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 旋转型 条件所示, 结论: 斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 示例 如图，下列条件不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 相似三角形的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.相似三角形对应线段的比等于相似比. 3.相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 4.相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 5.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 6.相似三角形的应用 主要类型： （1）利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 ①如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . ②如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 2.利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 示例 学校数学兴趣小组为了测量操场旗杆的高度，做了如下的探索： 他们根据物理中“光的反射定理”，利用一面镜子和一把皮尺，设计了如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在距离旗杆底部（B）米的点E处，然后沿着直线后退到点D处，此时恰好在镜子里看到旗杆顶部A，即．再用皮尺测得为米，观察者目高为米． 根据上述测量方案及数据，求旗杆的高度． 知识点06 实数与向量相乘 1.实数与向量相乘 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 3.实数与向量相乘满足的运算律 （1）实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） （2）实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 4.平行向量定理 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 示例 下列命题中，错误的是（    ） A．如果或，那么 B．如果、为实数，那么 C．如果（为实数），那么 D．如果，那么或 5.单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 6.向量的线性运算与线性组合 （1）向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. （2）向量的线性组合：如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 示例 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设． (1)___________（用向量表示）； (2)求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 7.向量的分解 （1）分向量与分解式：根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. （2）线性组合的方法：平行四边形法则 示例 如图，已知中，，，，． 设， (1)请直接写出向量、关于、的分解式，______；______． (2)连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】 题型一 平行线分线段成比例（重点） 解｜题｜技｜巧 1. 常考核心模型：A型、X型 2. 找准对应关系：严格遵循“平行线段对应成比例”，注意线段的“前后顺序”（如A型中“上：全=上：全”）； 3. 灵活用推论：若平行线截三角形两边，直接用“三角形一边的平行线分另一边所得线段对应成比例”简化计算； 4. 遇多组平行线：通过“中间线段”进行比例代换（如由、，得）. 【典例1】（2025·上海嘉定·一模）如图，两条不平行的直线与直线相交于点，四条平行线分别交直线于点、、、，分别交直线于点、、、，则有．如果，，，那么在下列结果中，线段之差最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海虹口·一模）如图，直线，如果，，那么长 ． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，是四边形内一点，点分别在线段上，，，，，，，那么的长是 ． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，，且和之间的距离是和之间的距离是的三个顶点分别在上，与交于点，如果，那么的长是 ． 题型二 黄金分割（重点） 答｜题｜模｜板 1. 明确黄金分割定义：若点是的黄金分割点，分“”和“”两种情况，对应比例式为（或反之）； 2. 牢记黄金比数值：黄金分割比为，可直接代入计算线段长度； 3. 抓“比例中项”关系：黄金分割的本质是“较长线段是全线段与较短线段的比例中项”，据此可将线段关系转化为乘积式（如）. 【典例2】（2025·上海闵行·一模）形状与大小都确定的一个锐角三角形，点是边上一点，下列条件不能唯一确定与面积的比值的是（    ） A．点是边的黄金分割点 B．点是边的中点 C．是边上的高 D．是的平分线 【变式1】如果线段的长为2，点是线段的黄金分割点，那么较短的线段 ． 【变式2】（2025·上海宝山·一模）如图，已知，延长至点D，使，连接交于点G．某同学得到以下两个结论： ①G是线段的黄金分割点；②． 关于结论①和②，下列说法正确的是（  ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都错误 D．①和②都正确 【变式3】（2025·上海嘉定·一模）平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点分别是两腰的黄金分割点时，我们称这条线段是梯形的“黄金分割线”．如图，在梯形中，，，，点、分别在边、上，如果是梯形的“黄金分割线”，那么 ． 【变式4】（2025·上海黄浦·一模）将一张矩形纸片进行如图所示的操作：沿对角线折叠，得到折痕；折叠纸片使边落在折痕上，点落在点处，得到折痕；过点折叠纸片，使点分别落在边、上，展开得到折痕．如果矩形是一个黄金矩形，其中，那么这张矩形纸片的两条邻边 ． 【图形提示】 题型三 平行向量（重点） 答｜题｜模｜板 1. 判定平行向量：先看方向（相同或相反），再看“长度成比例”（平行向量是“共线向量”，满足，为非零实数）； 2. 结合线段比例：平行向量对应的线段平行，可直接套用“平行线分线段成比例”定理，将向量比例转化为线段比例； 3. 注意向量方向性：若向量方向相反，比例式中需带负号，但线段长度为正，计算时需区分“向量比”与“线段比”. 【典例3】（2025·上海长宁·一模）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【变式1】（2025·上海崇明·一模）如图，四边形中，，与相交于点，，，．      (1)求的长； (2)设，，试用、表示． 【变式2】（2025·上海普陀·一模）如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G． (1)求的值； (2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示） 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）如图，与相交于点，点在线段上，且，连接． (1)求证：； (2)设，当时，求向量（用向量表示）． 【变式4】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，点、在射线上，点、在射线上，、交于点，．设，． (1)_____，_____（结果用含向量、的式子表示） (2)由（1）可知与是_____向量． (3)如果，那么_____． 题型四 三角形内接四边形问题（重点） 答｜题｜模｜板 1. 常见模型：内接四边形多为平行四边形（如矩形、菱形），利用“四边形对边平行”的性质，构造三角形的“A型相似”； 2. 设参列方程：设内接平行四边形的一边长为，利用相似比（如“小三角形边长：原三角形边长=相似比”）建立关于的方程； 3. 抓“平行”核心：通过四边形的平行边，找到原三角形被截得的小三角形与原三角形相似，进而转化线段关系. 【典例4】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）在数学活动课上，需要用三角形纸片裁剪出一张正方形纸片．如图，现有三角形纸片（），．裁剪出的正方形的一个顶点是直角顶点，那么正方形的边长是 ． 【变式2】（2025·上海静安·一模）在两条直角边长分别是和的直角三角形的内部作矩形，如果分别在两条直角边上（如图所示），，那么矩形的面积是 ．    【变式3】（上海市崇明区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题（一模））如图，长方形的边在的边上，顶点分别在、上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是 ． 题型五 画图探究问题（中考T23新题型）（重点） 答｜题｜模｜板 1. 先“准画图”：按题目条件（如“过某点作平行线”“截取某长度线段”）精准绘制图形，标注已知边长、角度； 2. 再“找相似”：从画图结果中识别等角（公共角、对顶角、平行线的同位角）或比例线段，锁定可能的相似三角形； 3. 分情况讨论：若图形有多种画法（如点的位置不同），需分类探究每种情况的相似关系，避免遗漏. 【典例5】（2025·上海静安·一模）如图，在与中，，．求证：． 以下是小明同学证明本题的过程： 证明：如图，在、上分别截取，，连接． 在与中，      ① ∴． ∵，又，     ② ∴．               ∴．            ③ ∴， ∴． ④ (1)有同学认为小明的证明过程不正确，那么你认为他是从第 部分开始出现 问题（填①或②或③或④）．请简述小明出错的原因； (2)小红认为：本题可以用添加辅助线——平行线，构造熟悉的基本图形解决．请你用小红的思路完成本题的证明过程． 【变式1】（2025·上海宝山·一模）学完“相似三角形”之后，小明和同学尝试探索相似四边形的判定与性质，以下是他们的思考 【定义】如果两个四边形的四个角对应相等，四条边对应成比例，那么这两个四边形相似．两个相似四边形的对应边的比等于相似比． 【思考】类比相似三角形，对相似四边形的判定与性质提出了许多猜测，如： ①四条边对应成比例，且有一组角对应相等的两个四边形相似； ②四个角对应相等，且有两条相邻的边对应成比例的两个四边形相似； ③相似四边形的面积的比等于相似比的平方． …… 【探究】请完成上述猜测中第③个结论的证明． 已知：如图，四边形与四边形相似，点分别与点对应 求证：． 证明： 【运用】同学们通过讨论，证明了上述猜测都是正确的．试运用这些结论，解决问题：如图，分别是边上的点，，，试求的值． 【变式2】（2025·上海金山·一模）如图，和都是直角三角形纸片，且和不相似．其中，，，（）．是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把和分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为）与没有分割的三角形相似． (1)如果存在，请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； (2)按照你写出的分割方案，求出的值（可以用或或或的代数式表示）． 【变式3】（2025·上海普陀·一模）在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立． 利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题： 已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．    (1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值； (2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由； (3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系． 题型六 翻折、旋转问题（难点） 答｜题｜模｜板 1. 抓“变换不变量”：翻折/旋转前后，对应边相等、对应角相等，利用这些不变量得到等角、等线段； 2. 构造相似条件：通过翻折/旋转得到的等角，结合原图形的角（如公共角），凑出相似三角形的“两组等角”； 3. 转化线段关系：翻折/旋转后的线段长度不变，可将其代入相似比例式，求解未知线段. 【典例6】（2025·上海奉贤·一模）如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是 ． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）四边形中，，，，，，将沿过点的一条直线折叠，点的对称点落在四边形的对角线上，折痕交边于点（点不与点重合），那么长为 ． 【变式2】（上海市松江区2024-2025学年九年级上学期期末质量监控数学试卷）如图，在中，，，是边上一点，将沿直线翻折，点的对应点为，如果，那么的值为 ． 【变式3】（2025·上海闵行·一模）在等腰中，，是边上的高，将线段绕着点D逆时针旋转，点A旋转到点E，与边交于点F，且，如果与相似，那么的值为 ． 【变式4】如图，已知在矩形中，，，将矩形绕点C旋转，使点B恰好落在对角线上的点处，点A、D分别落在点、处，边、分别与边交于点M、N，那么线段的长为 ． 题型七 巧妙运用辅助线解决相似三角形综合问题（难点） 答｜题｜模｜板 1. 常用辅助线：作平行线（构造A型、X型相似）、连接线段（构造公共角、对顶角）、作垂线（构造直角三角形相似）； 2. 辅助线逻辑：缺“平行线”则作平行（补相似模型），缺“等角”则连线段（造公共角），缺“直角”则作垂线（凑直角相似）； 3. 结合已知条件：辅助线需围绕题目已给的“比例、等角”条件展开，避免无目的作线. 【典例7】（2025·上海黄浦·一模）如图，已知点O是的重心，，，如果，那么点A、O的距离为 ． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 【变式3】（2025·上海静安·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为 ． 【变式4】（2025·上海松江·一模）如图，正方形中，点分别在边上，且，连接，交于点，如果，那么的值为 ． 题型八 锐角三角比在相似三角形中的运用（重难点） 答｜题｜模｜板 1. 利用“相似角相等”：相似三角形的对应角相等，因此对应角的锐角三角比相等（如）； 2. 转化线段关系：用三角比表示线段长度（如），再代入相似比例式； 3. 联动计算：若已知某角的三角比，可通过相似将其转化为另一三角形中对应角的三角比，简化复杂线段的计算. 【典例8】（2025·上海虹口·一模）如图，在梯形中，，，，是的中点，、交于点，且． (1)求证：； (2)如果，求的值； (3)如果，求的值． 【变式1】（2025·上海长宁·一模）已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． (1)如图1，如果，，求的余切值： (2)如图2，连接交于点，如果，求的值； (3)如果，，，与相似，求的长． 【变式2】（2025·上海松江·一模）在矩形中，，．点E、F分别在边AB、BC上，，垂足为点． (1)求的值； (2)当时，求的长； (3)连接，如果是等腰三角形，求的正切值． 【变式3】（2025·上海青浦·一模）已知梯形中，，点在边上，，，联结． (1)如图1，联结，求与的面积之比； (2)如图2，如果，求的正切值； (3)如图3，联结交于点，如果，且，求边的长． 【变式4】（2025·上海闵行·一模）如图1，在中，，，点在边上，直线经过点，与线段交于点，且点关于的对称点在射线上． (1)如图2，当点与点重合时，求证：； (2)当点在线段的延长线上时，联结，交于点． ⅰ）当直线经过的重心时，求的值； ⅱ）如果是直角三角形且，求的正切值． 题型九 相似三角形乘积式证明（重难点） 答｜题｜模｜板 1. “乘积转比例”：先将乘积式（如）变形为比例式（）； 2. “找相似三角形”：根据比例式的分子、分母，锁定对应的两个三角形（如与）； 3. “证相似得比例”：证明锁定的三角形相似（用AA、SAS等），从而得到比例式，再反向转化为乘积式. 【典例9】（2025·上海杨浦·一模）已知：如图，中，，点是边上一点，过点作交延长线于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）已知：如图，梯形中，，为对角线，． (1)求证：； (2)E为的中点，作，交边于点F，求证：． 【变式2】（2025·上海长宁·一模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． (1)求证：； (2)如果点是边的中点，求证：． 【变式3】（2025·上海虹口·一模）如图，在中，，点在边上，过点作垂直交于点，连接、交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式4】（2025·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，是梯形对角线，．    (1)求证：； (2)以为一边作交边于点，求证：． 题型十 特殊三角形和四边形在相似三角形中的运用问题（重难点） 答｜题｜模｜板 1. 用“特殊图形性质”补条件： - 等腰三角形：利用“底角相等”“顶角相等”得等角； - 矩形/正方形：利用“直角相等”“对边平行”得等角或平行关系； 2. 结合相似判定：用特殊图形的性质凑出“两组等角”或“两边成比例且夹角相等”，快速判定相似； 3. 简化比例计算：特殊图形的边长有等量关系（如正方形边长相等），可代入比例式减少未知量. 【典例10】（2025·上海宝山·一模）如图，已知中，，，，点E、F分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点D． (1)当时，求的长； (2)当时，求值； (3)连接，如果是直角三角形，求这时四边形的面积． 【变式1】（2025·上海崇明·一模）已知中，，，，，垂足为，点是线段上一点（不与、重合），过点作交的延长线于点与交于点，连接．    (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)当是等腰三角形时，求的长． 【变式2】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，，，点是边的中点，点，是射线上的动点（点在左边），以为一边作． (1)求的长； (2)当点是的重心时，求的值： (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【变式3】（2025·上海杨浦·一模）已知中，，点在边上，． (1)如图1，当，时，求的长； (2)点是边上一点，满足． ①如图2，当时，求的值； ②当是等腰三角形时，求的余弦值． 【变式4】（2025·上海金山·一模）已知：如图，点是平行四边形的对角线上的一点，射线与交于点，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求证：四边形是菱形． 题型十一 相似三角形与函数综合（重难点） 答｜题｜模｜板 1. “坐标转线段”：将函数图象上点的坐标转化为线段长度（如点对应的水平线段长为，竖直线段长为）； 2. “相似转函数式”：利用相似比例式，将线段关系转化为含的等式，进而推导函数解析式（一次、二次函数）； 3. “函数解求线段”：若已知函数解析式，可先求出点坐标对应的线段长，再代入相似比例式求解未知量. 【典例11】（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【变式1】（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知． (1)求该拋物线的表达式； (2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果． ①求的值； ②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标． 【变式2】（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 【变式3】（2025·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为D，点A、B在抛物线上，且都在y轴右侧，横坐标分别是m，． (1)连接、，求的值（结果用含a的代数式表示）； (2)如果y轴上存在点C，使得，且， ①求抛物线的表达式； ②若，点E在y轴上，且与相似，求点E的坐标 【变式4】（2025·上海杨浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点和点，顶点为． (1)求此抛物线的对称轴及点的坐标； (2)点是该抛物线上的一点，设对称轴与轴交于点，如果恰好平分线段，求点的坐标（用含的式子表示）； (3)在（2）的条件下，连接、，当时，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1（2025·上海杨浦·一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（） A．各个内角的大小始终保持不变 B．各条边的长度始终保持不变 C．三角形的面积始终保持不变 D．三角形的周长始终保持不变 2．（2025·上海金山·一模）下列说法中，正确的是（    ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．含角的两个等腰三角形一定相似 D．含角的两个等腰三角形一定相似 3．（2025·上海长宁·一模）如图，，如果，，，那么的长是 ． 4．（2025·上海金山·一模）已知两个相似三角形的一组对应边长分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差厘米，那么这两条高的长度和为 厘米． 5．（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的倍，那么它的周长扩大为原来的 倍． 6．（2025·上海黄浦·一模）如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的两个内角分别为和，那么另一个三角形中最小内角的度数为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·一模）如图，已知正方形与正方形，为边上一点，的延长线交于点，如果，连接，那么 ． 3．（2025·上海虹口·一模）过三角形的重心作一条直线与这个三角形两边相交，如果截得的三角形与原三角形相似，那么我们把这条直线叫做这个三角形的“重似线”，这条直线与两边交点之间的线段叫做这个三角形的“重似线段”．如图，在中，，，，点、分别在边、上，如果线段是的“重似线段”，那么 ． 4．（2025·上海长宁·一模）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． (1)找出图中相等的线段并说明理由； (2)如果，求的长． 5．（2025·上海黄浦·一模）如图，在四边形中，，，，对角线、交于点． (1)设，，试用、的线性组合表示向量． (2)已知，，求的值． 6．（2025·上海黄浦·一模）已知平行四边形中，，，，是边上一动点，过点作，交射线于点，交于点，是上的点，，连接． (1)求证：； (2)当时，求线段的长； (3)当时，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $