精品解析：上海市闵行区部分学校2026届高三上学期1月学业质量调研数学试题

2025学年高三年级1月学业质量调研数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 3. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，进而求出其前8项的和. 【详解】在等差数列中，，则公差， 所以. 故答案为：36 5. 到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 6. 在中，已知，则的值为__________. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，而， 因此，即，所以. 故答案为： 7. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 8. 已知，则的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：. 10. 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析向量关系，建立平面直角坐标系，设点的坐标，根据已知条件得到，消去m得到，借助三角函数的值域得到的取值范围，最后最后求的最小值即可. 【详解】已知，则这两个向量垂直，所以. 则Q再以MN为直径的圆上. 以原点O建立平面直角坐标系，设，，，. 由，可得，对于， 从解出，代入中，经过化简可以得到. 将代入，得到，进一步变形为. 因为，所以. 当时，解方程， 令，则方程变为，可得. 因为，所以（舍去），则； 当时，，，或者， 又因为且存在其他条件限制，所以. 因为，当取最小值时，. 故答案为：. 11. 设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，结合已知条件分析得出，由绝对值三角不等式分析得出，令，分析其奇偶性，可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，令，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】令，其中，则恒成立， 所以函数在上单调递增，且， 作出函数的图象如下图所示： 由结合图可知，，由，可得， 对任意的，， 所以，故，即， 由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 即，即， 令，其中，则， 则不满足， 则， 所以函数为偶函数， 所以当时，由可得，可得， 令，其中，则函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，，，则, 由题意可知，当时，满足不等式的整数解有且只有个，如下图所示： 所以，即， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分析函数的单调性以及得出，然后再求解不等式整数解的个数时，利用图象能够清晰地将不等关系利用图形的形式呈现得更为具体、直观. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号,则根据分类讨论可得出,根据,两边同乘可得,即可选出选项. 【详解】解:由题知,则同号, 当时,有, 当时,有, 故能推出, 当成立时,又, 对不等式两边同时乘以可得, 故“”是“”的充分必要条件. 故选:C 14. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，小时后，处理池中的残留物为，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为， 根据题意可得，即，解得. 因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时. 故选：B. 15. 已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A. B. C. ． D. 【答案】A 【解析】 【分析】点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，求出以为邻边的平行四边形面积和点到平面距离，由柱体的体积公式即可得出答案. 【详解】空间中的动点P满足， 则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体， 将正四面体放入如图所示的正方体中， 则正四面体的内切球心O为正方体的中心， 设正方体的棱长为，所以，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 又因为点到平面距离为， 以为邻边的平行六面体的体积为：. 故选：A. 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 【答案】B 【解析】 【分析】结合定义将命题①转化为至多有一个解，讨论，求的范围，判断命题①；结合定义将命题②转化为函数是增函数或减函数，结合导数与函数的单调性关系求的范围，判断②，由此确定结论. 【详解】因为为“函数”， 所以函数的图象与的图象至多只能有一个交点， 所以方程组至多只有一个交点， 所以对于任意的至多只有一个解， 当时，函数的图象与的图象至多只有一个交点，满足条件， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 作函数的图象如下： 当时，与有两个交点，不满足要求， 当时，因为函数，都在，上单调递减， 所以函数在上单调递减，在上单调递减， 其图象如下， 所以对于任意的，直线与函数的图象都有两个交点， 所以不满足要求， 故，命题①正确. 因为函数为“函数”， 所以对任意的关于的方程至多只有一个解， 所以方程至多只有一个解， 所以函数的图象至多只有一个交点， 所以函数是增函数或减函数， 又， 所以或， 由，可得， 当时，， 由，可得， 当时，， 当时，，当时，， 函数的定义域为， 函数的导函数， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递减， 当时，，当时，， 当且时，， 当且时，， 当时，， 当时，， 其图象大致如下， 所以，即， 所以满足条件的整数的值有，有且只有三个. 所以满足条件的整数的值有三个，②错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于结合定义将函数为“函数”.转化为函数的图象与对任意的至多只有一个交点，再结合函数方程知识处理. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，又，从而， 由得， 从而， 所以的面积. 【小问2详解】 由， 又，当且仅当时取等号， 从而，所以， 又因为中，，从而， 所以的范围是. 18. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． 【小问2详解】 ， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【答案】（1）； （2）茎叶图： （3）甲乙获胜的概率分别为，奖金分别为万元和万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，写出比赛结果的样本空间. （2）绘制击杀数分布的茎叶图. （3）利用相互独立事件的概率及对立事件的概率估计概率，再按概率分配奖金. 【小问1详解】 用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜， 所以所求样本空间. 【小问2详解】 甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图， 【小问3详解】 乙队获胜的事件为，则，， 因此甲队获胜的概率为， 由此分配10万元奖金，甲队分得（万元），乙队分得万元. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）存在；或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. 【小问2详解】 由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. 【小问3详解】 由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 21. 设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. （1）设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； （2）设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【答案】（1）或； （2）； （3）证明如下： 令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 【解析】 【分析】（1）根据条件数列，，，，具有性质“”，结合新定义列不等式求的取值； （2）假设存在，满足条件，根据定义列不等式，等价转化不等式可求结论； （3）先证明，再结合作差法和导数方法证明，，由此证明数列具有性质“”，再通过放缩求，比较其与的大小. 【小问1详解】 已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； 【小问2详解】 假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年高三年级1月学业质量调研数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 集合，则__________. 2. 函数的最小正周期为__________. 3. 设为虚数单位，若为纯虚数，则实数_________. 4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________. 5. 到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________. 6. 在中，已知，则的值为__________. 7. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 8. 已知，则的解集是_______． 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 10. 设平面上四点、、、满足：，，若，则的最小值为________. 11. 设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 12. 设，函数的表达式为，若，且关于的方程的整数解有且仅有个，则的取值范围是________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 设,则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 15. 已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A. B. C. ． D. 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称函数为“函数”.对于命题； ①设，若函数为“函数”，则； ②设，若函数为“函数”，则满足条件的的整数值至少有4个. 则下列结论中正确的是（ ） A. ①为真②为真 B. ①为真②为假 C. ①为假②为真 D. ①为假②为假 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 在中，已知. （1）若且，求的面积； （2）若求的取值范围. 18. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 21. 设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. （1）设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； （2）设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； （3）设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $